Reglerteori. Föreläsning 8. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 8 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Sammanfattning av föreläsning 7 H 2 och H syntes. Gör W u G wu, W S S, W T T små. H 2 : Minimera ( W u G wu W SS W T T 2 2 ) dω H : Sätt absolut gräns på W u G wu, W S S, W T T för alla ω. Leder till algebraiska Riccatiekvationer.

4 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari För- och nackdelar med H 2, H (+) Hanterar direkt kraven på S, T, G wu (+) Talar om när krav är omöjliga (via γ) (+) Lätt väga olika krav (i frekvensplanet) mot varandra (-) Kan vara svårt att detaljstyra uppförandet i tidsplanet (-) Ger ofta komplicerade regulatorer (antalet regulatortillstånd = sammanlagda antalet i G, W u, W S, W T )

5 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Linjär ervariabel regulatorsyntes Sammanfattning Gör RGA-analys Använd enkla enkretsregulatorer av typ PID om RGAn visar att det är möjligt. Använd annars linjärkvadratisk eller H 2 /H -syntes

6 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Olinjära system 1. Olinjäriteter (kap 11) 2. Stabilitet (kap 12) 3. Cirkelkriteriet (kap 12) 4. Fasplan (kap 13) 5. Beskrivande funktion (kap 14) 6. Olinjära regulatorer (kap 15 16) 7. Exakt linjärisering (kap 17)

7 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Amplitudberoende stegsvar DC-motor med steg av olika amplitud blått: stegamplitud 1 rött: stegamplitud 5 (skalat med 1/5)

8 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Rampsvar och sinussvar, DC-motor rött: insignal, blått: utsignal

9 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Ramp + sinussvar, DC-motor Blått: y. Rött: r, Grönt: y då r är en ren ramp

10 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Styrsignalen före och efter mättning rött: före mättning; blått: efter mättning

11 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Slutsatser Superpositionsprincipen gäller inte Speciellt: Stegsvarets kvalitativa utseende är amplitudberoende Inverkan av olika insignaler är inte additiv

12 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Stationära punkter, linjärisering ẋ = f(x, u) y = h(x) Stationär punkt, (jämviktspunkt, singulär punkt) x, ū: ( x, ū konstanter) Linjärisering: f( x, ū) = 0, ȳ = h( x) d (x x) = A(x x) + B(u ū), y ȳ = C(x x) dt A = f x ( x, ū), B = f u ( x, ū), C = h x ( x)

13 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Viktigaste (?) olinjära systemet ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 + b sin(θ x 1 ) Förenklad modell av generator (vattenkraft, kärnkraft, kolkraft,vindkraft,...) Modell av faslåsningskrets (frekvens- och fasdemodulering, generering av stabiliserade frekvenser,...) x 1 vinkel(fas)läge, x 2 vinkelhastighet.

14 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Faslåsningskrets (phase locked loop, PLL) v = sin(ω o t + θ) Π vy lågpassfilter φ y = cos(ω o t + φ) oscillator x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 + b sin(θ x 1 )

15 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Elektrisk generator x 1 = φ, x 2 = φ ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = ax 2 b sin(x 1 ) x 1 fasläge, x 2 derivata fasläge (avvikelser från önskat) foto: Alessio Sbarbaro. Wikimedia

16 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Stabilitet 1. Stabilitet: Denition 2. Ljapunovfunktioner 3. Stabilitet via linjärisering 4. Lågförstärkningssatsen 5. Cirkelkriteriet

17 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Stabilitet Denition: En jämviktspunkt x 0 är stabil om det till varje ɛ nns ett δ sådant att x(t, x 1 ) x 0 < ɛ för alla t > 0 så snart x 1 x 0 < δ. Asymptotiskt stabil om det dessutom nns ett δ > 0 sådant att x(t, x 1 ) x 0, t så snart x 1 x 0 < δ. Globalt asymptotiskt stabil om δ ovan kan tas godtyckligt stort.

18 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Ljapunovfunktioner Medför V (x 0 ) = 0, V (x) > 0, x x 0 V (x) x V x(x)f(x) < 0, x x 0 ẋ = f(x) har en globalt asymptotiskt stabil lösning x(t) = x 0. Om V har ovanstående egenskaper i omgivning av x 0 så gäller (lokal) asymptotisk stabilitet. Räcker om V x(x)f(x) 0 och ingen lösning (utom x = x o ) förlöper helt i det område där V x(x)f(x) = 0.

19 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Ljapunovfunktion för faslåsningskrets V = 1 2 x2 2 + (1 cos x 1 ) 3 V x x2

20 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Linjärisering Sats: Om ett linjäriserat system är asymptotiskt stabilt så är också det ursprungliga systemet asymptotiskt stabilt. Motivering: Skriv systemet som ẋ = Ax + g(x) där g innehåller kvadratiska och högre ordningens termer. Konstruera en Ljapunovfunktion V = x T Sx för ẋ = Ax genom att lösa A T S + SA = Q, Q > 0, S > 0 Detta V är Ljapunovfunktion även då termen g tas med om x är tillräckligt litet.

21 Föreläsning 8 Torkel Glad Februari Cirkelkriteriet Linjärt system G(s) återkopplat med statisk olinjäritet f(x) f(0) = 0, k 1 f(x) x k 2 Stabilt om nyquistkurvan till G(iω) inte omcirklar eller går in i cirkeln. Im 1 k 1 1 k 2 Re G(iω)

22 Tack