TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp

Transkript

1 TENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp - 0 Tid: måndag 8 Maj 0, kl 4-9 Plats: Polacksbacken Ansvarig lärare: Bengt Carlsson, tel Bengt kommer till tentasalen ca kl 6 och besvarar ev frågor. Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet Modellering av dynamiska system, miniräknare, Laplace-tabell, matematisk och/eller fysikalisk formelsamling. (Kurskompendiet får innehålla normala instuderingsanteckningar men inte lösningar till räkneuppgifter) Preliminära betygsgränser: 5 3 < 0, 0 4 < 5, =maxpoäng. För den sista uppgiften gäller: Du får poäng för det som ger mest: [antalet erhållna bonuspoäng, poäng på uppgiften] OBS: Endast en uppgift per ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Notera försättsbladet som finns på sista sidan LYCKA TILL!

2 Uppgift Den elektriska kretsen i figur?? består av en spole med induktans L =, ett motstånd med resistans R = och en kondensator med kapacitans C =. Insignalen är spänningen v(t). Vi betraktar följande tre olika system: Utsignalen är spänningen över spolen. Kallas system S L. Utsignalen är spänningen över resistansen. Kallas system S R. Utsignalen är spänningen över kondensatorn. Kallas system S C. + L R v(t) C Figure : Elektriska krets. Nedan finns stegsvar (insignal enhetssteg) för ett av systemen samt bodediagram för de två andra. Avgör vilket system som hör till respektive figur. Motivera ditt val väl. Sammanfatta ditt svar på formen: Stegsvaret - S X, Bodediagram B - S X, Bodediagram B-S X (4p).4 Step Response. Amplitude Time (seconds) Figure : Stegsvar för ett av systemen.

3 Bode Diagram Magnitude (abs) B B B Phase (deg) 45 0 B Frequency (rad/s) Figure 3: Bodediagram för två av systemen. Notera att amplitudskalan är linjär och att argumentkurvan ges i grader. Uppgift Ett (stabilt) system är beskrivet av följande differentialekvation ẏ(t)+ay(t) = u(t τ). Insignal till systemet är en sinussignal u(t) = sin(4t). Utsignalen från systemet blev (efter lång tid) y(t) = 0.447sin(4t 5.07) Bestäm med ledning av detta parametrarna a och τ. (4p) Uppgift 3 Betrakta det tidsdiskreta systemet [ ] [ ] a x(k +) = x(k)+ u(k) 0 0 där a och b är reella konstanter. y(k) = [ 0 b ] x(k) Finns några värden på a och b som gör systemet stabilt? (4p)

4 Uppgift 4 Ange och motivera kort för vart och ett av följande påståenden om det är sant eller falskt. (a) Systemen G(s) =, G(s) = e s, G(s) = s s+ (beloppskurva). har samma amplitudkurva (b) Systemet G(s) = (s+)(s+) s+ har en lägre bandbredd än systemet G(s) = (c) Systemet G(s) = 5 s +4s+5 kan skrivas på diagonalform. (d) Om insignalen till det stabila systemet G(s) = s +4 är u(t) = sin(t) blir utsignalen efter lång tid y(t) = 0. Varje rätt motiverat svar ger poäng, (felmotiverat eller uteblivet svar till ett påstående ger 0 poäng på den deluppgiften). (4p) 3

5 Uppgift 5 Parametern K i följande system skattas med med minstakvadratmetoden: där e(k) är vitt brus med varians λ. y(k) = Ku(k)+e(k) (a) Vid ett experiment användes följande insignalsekvens: u() =, u() =, u(3) =, u(4) = Ange en annan insignalsekvens som ger samma variansfel för den skattade parametern. (p) (b) Finnsdetnågoninsignalsekvens u(k),k =,...,4somgörattparametern K inte kan skattas med minstakvadratmetoden (förutom det urartade fallet att u(k) är identiskt 0 för alla k)? Motivera! (p) 4

6 Uppgift 6 Ett olinjärt dynamiskt system ges av ẋ = ax x x 3 ẋ = x bx x 3 Konstanterna a och b är positiva. Ta fram villkor på a och b så att origo blir en asymptotiskt stabil jämviktspunkt för systemet. (5p) Uppgift 7 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna- se förstasidan för poängberäkning. Betrakta följande system y(k) = b u(k )+b u(k )+... +b n u(k n)+e(k) där e(k) är vitt brus med medelvärde 0, varians Ee(k) = λ och okorrelerat med u. Insignalen u(k) = Asin(ωk) där 0 < ω < π och A > 0). Parametrarna ska skattas med minstakvadratmetoden. Visa att parametrarna kan bestämmas entydigt då antalet data går mot oändligheten för n = men inte för n = 3. (6p) Ledning : Då antalet data går mot oändligheten gäller att Eu(k)u(k τ) = A cos(ωτ), τ = 0,,... Ledning : Följande trigonometriska samband kan vara användbart cos(ω) = cos (ω) 5

7 Lösningar till tentamen i Dynamiska system Uppgift Från kompendiet sid 57 har vi att (vi kallar systemen G isf S) G C (s) = LCs +RCs+ fördetvåandrasystemenfås(bytutz 3, sefigur3.9,motimpedansen för spole respektive resistans) G L (s) = G R (s) = LCs LCs +RCs+ RCs LCs +RCs+ G C (s) är det enda systemet som har statisk förstärkning och måste således vara det system som visas i stegsvaret. G R ( = 0 vilket stämmer med B (man kan också använda att argg R (0) = π/ [rad] vilketstämmermedfaskurvanförb). G L ( = vilketstämmermed B (man kan också använda att argg L (0) = π [rad] vilket stämmer med faskurvan för B). Sammanfattningsvis: Stegsvaret-G C (S C ),BodediagramB-G L (S L ), Bodediagram B - G R (S R ). Uppgift Systemets överföringsfunktion är G(s) = e sτ s+a vilket ger G(iω) = w +a samt argg(iω) = ωτ arctan w a. Sinus-in-sinus-ut ger att = 4. Enkla räkningar ger a +a. För fasvridningen fås argg(i4) = 4τ arctan 4 = 5.07 vilket ger τ. Notera även exempel 3. i kompendiet Uppgift 3 För en tidsdiskret modell av typen x(k +) = Fx(k)+Gu(k) y(k) = H d x(k) ges polerna av egenvärdena till matrisen F. För stabilitet ska polerna ligga strikt innanför enhetcirkeln. Egenvärdena (polerna) fås från det(qi F) = q + q + a = 0 dvs q, = ± a. Vi ser att oberoende hur a väljs kommer en pol att ha minst en realdel större än eller lika med (b påverkar ej stabiliteten). Svar: Nej

8 Uppgift 4 a) Sant ty alla systemet har G(iω) = b) Falskt. För båda systemen gäller att G(0) =. Vidare fås / = ω +. Vi ser att denna kvot är > då ω > 0 iω+ (iω+)(iω+) alltså har systemet med en pol den största bandbredden. (Bandbredd finns definierat i avsnitt 3..3 i kompendiet) c) Falskt ty ej rent reella poler. d) Sant ty G(iω) = 0 för ω = (Sinus-in-sinus-ut gäller dock blir amplituden på utsignalen för det här fallet noll. Ett sådant system kan vara intressant att använda då man har en signal som har påverkats av en periodisk störning, t ex om en 50Hz signal (nätspänningen) har påverkat signalen. ) Uppgift 5 a) Enligt kompendiet(sid ) är var( ˆK) = λ N k= u (k) det räcker alltså att hitta en sekvens som har samma kvadratsumma (dvs 4). Välj t ex u() =, u() = 0, u(3) = 0, u(4) = 0 b) Nej ty nämnaren i minstakvadratskattningen är större än noll så fort minst ett värde av insignalen är skilt från noll (då fler än en parameter skattas fås en matris som ska vara inverterbar) Uppgift 6 Linjärisering av systemet omkring origo (som är en stationär punkt)ger A = ( a b Egenvärdena (polerna) ges av det(si A) = 0 vilket ger ) s +s(a+b)+ab För ett andra ordningens system gäller att kofficienterna måste(nödvändigt och tillräckligt villkor) vara positiva för stabilitet ( Påskläxan ). Enligt uppgift är a och b positiva så (a+b) är positiv. Således är villkoret ab >. Anmärkning: För system av högre ordning än två är positiva koefficienter nödvändigt men inte tillräckligt villkor för stabilitet. Uppgift 7 Visas på begäran.