TSIU61: Reglerteknik. Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning

Transkript

1 TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Innehåll föreläsning 6 TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 6 Stabilitet Specifikationer med frekvensbeskrivning Gustaf Hendeby ˆ Sammanfattning av föreläsning 5 ˆ Formalisering av stabilitet och bodediagram ˆ Specifikationer i frekvensplanet ˆ Samband mellan bodediagram och stegsvar hendeby@isy.liu.se TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Sammanfattning av föreläsning 5 (/4) TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Sammanfattning från föreläsning 5 (2/4) Sinus in, sinus ut Förutsätter att G(s) är stabilt, alla poler har negativ realdel. Bodediagram u(t) = sin(ω 0 t) efter transienter = y(t) = G ( 0 t) sin ( 0 t + arg G( 0 ) ) ˆ G() kallas frekvensfunktion (frekvenssvar) ˆ Ett bodediagram består av två figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av ω. G() Amplitudkurva (beloppskurva) log-log-skala (ofta i db). 2. arg G() Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala.. Seriekoppling av system är enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer.

2 TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 G(s) = s + p TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 G(s) = s + p Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 0 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 0-potens G() : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 G(s) = s 2 + 2ζs + Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen. TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Sammanfattning från föreläsning 5 (4/4) allmänna system Allmän rationell överföringsfunktion: G(s) = K( + s z )( + s z 2 )... ( + s ) s p ( + s p )( + s p 2 )... ( + s ) Amplitudkurva: log G() = log K p log ω + log + z + + log + log + p log + Faskurva: arg G() = p90 + arctan ω z + + arctan ω arctan ω p arctan ω Tumregel ˆ Brytpunk i täljaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning ökar med. ˆ Brytpunk i nämnaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med.

3 TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Stabilitet och bodediagram: intuition (/2) Tankeexperiment Stabilitet För frekvensen ω 0 gäller att: G o ( 0 ) = arg G o ( 0 ) = 80 Omkopplaren i läga A (stationärt tillstånd): y(t) = G o ( 0 ) sin ( ω 0 t + arg G o ( 0 ) ) = sin(ω 0 t π) = sin(ω 0 t) TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Stabilitet och bodediagram: intuition (2/2) Tankeexperiment TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Stabilitet och bodediagram Självsvängning (stabilitetsgräns) G( 0 ) = 0 arg G( 0 ) = 80 ˆ I punkten B är signalen y(t) = sin(ω 0 t) ˆ Momentan förändring från A till B medför nu att systemet upprätthåller en sjävsvängning ˆ Två fall: Fall, G o ( 0 ) < : Fall 2, G o ( 0 ) > : Svängningens amplitud avtar. Svängningens amplitud ökar. Stabil Instabil

4 TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Några användbara begrepp TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT 206 / 7 Stabilitet för det slutna systemet arg G o ϕ m A m G o Stabilitetsregler 80 Hjälpmedel för att analysera stabilitet hos det slutna systemet så här långt: ω c Skärfrekvens, ω c : G( c ) = ω p Fasmarginal, ϕ m : ϕ m = arg G o ( C ) ( 80 ) Amplitudmarginal, A m : A m = G o( p) Fas-skärfrekvens, ω p : arg G o ( p ) = 80 ω [rad/s] ˆ Slutna systemets poler ligger alla i VHP (negativ realdel) ˆ Bodediagrammet för det öppna systemet (amplitud- och fasmarginal) TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Specifikationer för det sluta systemet Specifikationer i frekvensplanet Y (s) = G c (s)r(s) = G o(s) + G o (s) R(s)

5 TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Samband mellan bodediagram och stegsvar TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Fundera på till nästa föreläsning G o (s) = s a + dvs en brytpunkt i s = a Vi vill ha en regulator som uppfyller: ˆ Snabbare: ω c,d = 5 rad/s ˆ Mer dämpad: minst ϕ m = 50 ˆ Stationära felet då insignalen är ett steg: max 5 % Fundera i termer av P, I och D på hur ni mha bodediagrammet skulle lösa detta. TSIU6 Föreläsning 6 Gustaf Hendeby HT / 7 Några begrepp som får summera föreläsning 6 Sammanfattning Kretsförstärkning: Annat namn för det öppna systemet (F (s)g(s)) Skärfrekvens, ω c : G o ( c ) = Fasmarginal, ϕ m : ϕ m = arg G o ( 0 ) ( 80 ) Amplitudmarginal, A m : A m = G o( p) Fas-skärfrekvens, ϕ p : arg G o ( p ) = 80 Bandbredd: Anger det ω-värde för vilket förstärkningen sjunkit under 3 db Resonanstopp: En förstärkningstopp i närheten av en viss frekvens Resonansfrekvens: Den frekvens kring vilken det finns en resonanstopp