TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

Transkript

1 TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp Tid: Torsdag 20 oktober 20, kl Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: jartan Halvorsen, kommer och svarar på frågor ungefär kl Tillåtna hjälpmedel: ursboken(glad-ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Denna del av tentamen är icke-obligatorisk. Poäng som du får på denna delen gäller ut detta läsåret (t.o.m om-tentamen i augusti). Bonuspoäng från inlämningsuppgifter läggs till poäng från denna del och ger betyg enligt de (preliminära) gränserna nedan: Preliminära betygsgränser: Betyg 3: Godkänt på del A Betyg 4: Godkänt på del A och minst 0 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) Betyg 5: Godkänt på del A och minst 8 poäng på del B (inkl. bonuspoäng) OBS: Svar och lösningar lämnas in på separata papper. Endast en uppgift per ark. Skriv din tentakod på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCA TILL!

2 Uppgift Medel-artärtrycket (Mean arterial pressure, MAP) är en viktig indikator för hur djupt en patient som undergår kirurgi är nedsövd. Figuren nedan visar ett blockschema för regleringen av MAP med hjälp av återkoppling. Regulatorn ställer in en ventil som styr mängden narkosmedel z till patienten, baserad på skillnaden mellan önskad blodtryck y ref och uppmätt blodtryck y. Det kirurgiske ingreppet innebär en störning v(t) på systemet. Inverkan av narkosmedlet och störningen på patientens blodtryck är framtagen experimentellt och beskrivs med överföringsfunktionen. Antag proportionell återkoppling F(s) =. y ref F u z w s v y (a) Bestäm det stationära värdet på utsignalen när störningen v(t) är ett enhetssteg. Låt y ref (t) = 0. (p) (b) Bestämdetstationärareglerfeletnärreferenssignalenärenrampy ref (t) = t, t > 0. Låt v(t) = 0. (p) (c) Ställ upp en tillståndsmodell för systemet som beskriver patienten. Det vill säga för det öppna systemet från w(t) till blodtrycket y(t). (2p) (d) Utvidga tillståndsmodellen i (c) till en tillståndsmodell av det öppna systemet från ventilpositionen u(t) till blodtrycket y(t). Låt signalen z(t) vara en av tillståndsvariablerna. (2p) Uppgift 2 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Tillståndsmodellen ẋ = Ax + Bu med diagonal matris A är styrbar endast om vektorn B har alla element skild från noll. (b) Ett system som är insignal-utsignal stabilt är också asymptotiskt stabilt. känslighetsfunktionen T(s) har samma nollställen. (c) FörsystemetY(S) = s+ U(s)medinsignalenu(t) = sintblirutsignalen s+ efter lång tid y(t) = sin(t π/2) = cost. (d) För systemet Y(S) = s+ U(s) med insignalen u(t) = sint blir utsignalen s efter lång tid y(t) = sin(t π/2) = cost. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst 0 poäng.

3 Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (4p) Uppgift 3 Blockdiagrammet nedanför visar regulatorn för en tänkt fjärrstyrd borr-rigg som ska operera på månens yta och styras från jorden. För enkelhetens skuld betraktar vi styrningen av endast en av riggens frihetsgrader. Information om riggens läge fördröjs på grund av avståndet mellan månen och jorden. Likaså är styrsignalen från jorden till riggen på månen fördröjd. Tiden det tar för en signal att färdas mellan jorden och månen är T =.28s. Tidskonstanten för borr-riggen är τ = 0.25s. r u e 2Ts τs+ y e 2Ts (a) Systemet regleras med proportionell återkoppling från reglerfelet: u(t) = (r(t) y(t)). retsförstärkningen blir därmed G o (s) = e 2Ts. Nedan sτ+ visas Bodediagrammet för fallet = G o (iω) 0.7 arg G o (iω) Vad är den maximala skärfrekvensen som kan åstadkommas om kravet på fasmarginalen är ϕ m 45? Vad blir värdet på i det fallet? Hur stor blir fasmarginalen A m? (3p) (b) En regleringenjör föreslår att man kan använda ett lead-filter F = τ Ds+ βτ D för att åstadkomma ett snabbare system med bättre dämpning. s+ Han föreslår därför ett filter som ger skärfrekvens ω c = och ϕ m 50. Nedanför visas Bodediagrammet för kretsförstärkningen med det föreslagna 2

4 lead-filtret. Argumentera varför detta är ett dåligt val av regulator. (2p) G o (iω) 0.8 arg G o (iω) Uppgift 4 Betrakta systemet [ ] 0 ẋ(t) = x(t)+ 0 2 y(t) = [ 0 ] x(t). [ ] u(t), (a) Bestämtillståndsåterkopplingenu(t) = Lx(t)+my ref såattdetåterkopplade systemet har dubbelpol i 4. (3p) (b) Tillstånden går inte att mäta, utan måste skattas med hjälp av en observatör. Varför går det inte att placera observatörens poler godtyckligt? (p) (c) Exakt hur begränsas placeringen av observatörens två poler? (p) 3

5 Lösningar till tentamen i Reglerteknik I 5hp, del B (a) retsförstärkningen blir G o = s. Överföringsfunktionen från störningen till utsignalen blir G v (s) = +G o = + s = s s +. Antag att väljs så att det slutna systemet är stabilt. Slutvärdesteoremet ger då undersett limy(t) = lim sy(s) = G v (0) = 0 på grund av integralverkan i kretsförstärkningen. (b) Det slutna systemet från y ref till y blir Slutvärdesteoremet ger G c (s) = s + s = s +. undersett lime(t) = lim s(y ref (s) Y(s)) = lim (c) s +G o s 2lim = 4 s+.