Reglerteori. Föreläsning 3. Torkel Glad

Transkript

1 Reglerteori. Föreläsning 3 Torkel Glad

2

3 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av föreläsning 2 Det mesta av teorin för envariabla linjära system generaliseras lätt till ervariabla (era in- och utsignaler). Väsentliga skillnader nns när det gäller styr- och observerbar kanonisk form beräkning av poler och nollställen ur överföringsfunktionen. tolkning av förstärkning av sinussignaler.

4 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Sammanfattning av föreläsning 2, forts Poler och nollställen ur G(s): Polpolynomet är minsta gemensamma nämnaren till alla underdeterminanter till G(s). Polerna är polpolynomets nollställen. Nollställespolynomet är största gemensamma delaren till täljarna till de maximala underdeterminanterna (normerade så att de har polpolynomet till nämnare)

5 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Störningar Beskrivning av störningar Standardframställning av stört system på tillståndsform Observatörer Kalmanltret

6 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Modeller och störningar Den fundamentala orsaken till att reglerteknik behövs är att verkligheten inte kan förutses exakt. Ett sätt att modellera detta är att addera signaler, störningar, i modellerna. Y (s) = G(s)(U(s) + W (s)), Y (s) = G(s)U(s) + V (s) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + v(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) + e(t) Hur beskriver man att något är delvis känt, delvis okänt?

7 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Exempel på störningar Soluppvärmt hus: solintensiteten som funktion av tiden tid (timmar) 3 fogbredd 2 1 Elsvetsning: fogbredd som funktion av strömstyrka stromstyrka tid (sekunder)

8 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Storleksmått på skalära störningar Vårt storleksmått: z 2 (t) dt Om integralen inte konvergerar kan man använda måttet lim N 1 N z 2 (t) dt N 0 Detta är en grov beskrivning (ett enda tal)

9 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Mer informativt storleksmått Hur förhåller sig z-värden som ligger på tidsavståndet τ? Ett mått är 1 N r z (τ) = lim z(t)z(t τ) dt N N 0 För stokastisk signal med lämpliga regularitetsegenskaper (ergodicitet) fås r z (τ) = Ez(t)z(t τ) (E: matematiskt väntevärde, medelvärde) dvs kovariansfunktionen för signalen.

10 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Störningarnas medelvärde De storleksmått vi tittar på är mest informativa om medelvärdet hos signalen är noll: N m z = lim N 1 N eller för en stokastisk ergodisk signal: 0 m z = Ez(t) = 0 z(t) dt = 0 Om detta inte är fallet kan man dela upp signalen: z(t) = m z + z 2 (t) där z 2 har medelvärdet noll. För linjära system kan inverkan av de båda signalkomponenterna analyseras var för sig (superposition).

11 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Vektorvärda störningar Om z är en vektor kan graden av koppling mellan z i och z j beskrivas av 1 N r ij (τ) = lim z i (t)z j (t τ) dt N N 0 Dessa mått kan kombineras till en matris N R z (τ) = lim N 1 N 0 z(t)z T (t τ) dt Om z är en stokastisk ergodisk signal får man dvs, kovariansmatrisen för z. R z (τ) = Ez(t)z T (t τ)

12 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Signalspektra Översätt storleksmåttet till frekvensplanet genom Fouriertransformering: Φ z (ω) = R z (τ)e iωτ dτ Φ(ω) kallas spektrum. Tolkning: element Φ ii mäter energiinnehållet vid frekvensen ω hos z i element Φ ij mäter kopplingen vid frekvensen ω mellan z i och z j. Elementet Φ ij (ω) kallas korsspektrum mellan z i och z j. Φ ij (ω) = 0: z i och z j okorrelerade

13 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Fler tolkningar av spektrum För en deterministisk signal z med lämpligt normerad Fouriertransform Z(iω) gäller Φ z (ω) = Z(iω)Z(iω) där betyder konjugat-transponat.

14 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Några signaler och deras spektra a b a b c d c d

15 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Spektra och överföringsfunktioner u G(s) y Vilket spektrum får y om u har spektrum Φ u (ω)? Y (iω) = G(iω)U(iω), U, Y Fouriertransformer Φ y (ω) = Y (iω)y (iω) = G(iω)U(iω)U(iω) G(iω) Alltså Φ y (ω) = G(iω)Φ u (ω)g(iω)

16 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Störsignaler från enhetsstörningar Antag att w har spektrum Φ w (ω). Antag att vi kan hitta en överföringsfunktion G(s) sådan att G(iω)RG(iω) = Φ w (ω), för konstant R. Vi har då utfört en spektralfaktorisering Då kan w tänkas genererad som utsignal till G med en insignal v, där Φ v (ω) = R. v är vitt brus (lika mycket energi på alla frekvenser) Om v och w är skalärer och Φ w en rationell funktion är detta lätt att göra, och man kan välja G så att alla poler ligger i vänster halvplan. Kan göras även i matrisfallet om spektrum är en rationell funktion.

17 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Tillståndsmodell med störningar ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + Nw 1 (t) y(t) = Cx(t) + D y u(t) + w 2 (t) Skriv om w 1 och w 2 som utsignaler till linjära system w 1 = G 1 v 1, w 2 = G 2 v 2, där v 1, v 2 är vita. Om G 1, G 2 skrivs på tillståndform får man x(t) = Ā x(t) + Bu(t) + Nv 1 (t) y(t) = C x(t) + D y u(t) + v 2 (t) där x är x utökad med tillstånden i G 1, G 2 Ā, B osv är A, B osv utökade med tillståndsbeskrivningen av G 1, G 2.

18 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Hur stort blir x med vitt brus in? ẋ = Ax + Bv, Φ v (ω) = R Överföringsfunktionen från v till x är (si A) 1 B. Spektrum blir då Φ x (ω) = (iω A) 1 BRB T ( iωi A) T Om vi är intresserade av Π x = R x (0) = 1 2π fås det enkelt ur ekvationen Φ x (ω)dω AΠ x + Π x A T + BRB T = 0

19 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Observatör skattar tillståndet d ˆx(t) = Aˆx(t) + Bu(t) + K(y(t) C ˆx(t) Du(t)) dt Felet: x(t) = x(t) ˆx(t): Val av K:... d dt x(t) = (A KC) x(t) + Nv 1 Kv 2

20 Föreläsning 1 Torkel Glad Januari Kalmanlter: den optimala observatören där P bestäms ur K = P C T R 1 2 AP +P A T P C T R 1 2 CP +NR 1N T = 0, Riccatiekvationen Optimalitet 1: Det linjära lter som har minst medelkvadratfel (för alla brus där kovarianser är denierade) Optimalitet 2: (för Gaussiska brus) Det bästa ltret (linjärt eller olinjärt) för många kriterier. ˆx blir betingat väntevärde, givet observationerna.

21 Tack