Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12

Transkript

1 Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 12 Sammanfattning av föreläsning 11 Återkoppling av skattade tillstånd Integralverkan Återblick på kursen

2 Sammanfattning föreläsning 11 2 Tillstånden innehåller all information vi behöver för prediktion av systemets framtid. Borde sålunda innehålla allt vi behöver för reglering. Ansats: Slutna systemet Återkopplingsvektorn kan beräknas genom att man placerar polerna (väljer L så att A-BL får önskade egenvärden: det(si-(a-bl)) = önskat polpolynom) Alternativt kan man beräkna ett L som minimerar en funktion som beskriver vår kompromiss mellan god reglering och små insignaler (LQ-reglering)

3 Sammanfattning föreläsning 11 3 I verkligheten kan man nästan aldrig mäta hela tillståndet x(t). För att skatta (rekonstruera) tillståndet x(t) från mätdata y(t) drivs en simulerad modell med samma insignal som det verkliga systemet. Mätdata som inte stämmer överrens med simuleringens utsignal används för att korrigera tillståndsskattningen via en förstärkning K. Denna konstruktion kallas en observatör Genom att placera egenvärdena för A-KC kan man forma observatörens beteende (skattningssnabbhet vs. känslighet för mätfel η(t))

4 Integralverkan i tillståndsåterkoppling 4 Innan vi börjar med det centrala ämnet för denna föreläsning går vi tillbaka till tillståndsåterkopplingar Fråga: Hur får man in integralverkan i en tillståndsåterkoppling? Som vi har gjort nu så har vi bestämt L r för att undvika stationära fel vid stegsvar. Detta är dock inte tillräckligt om det finns störningar eller om modellen är fel. Integralverkan behövs Antag att en konstant störning v(t) verkar på systemet Hur kan vi utvidga tillståndsåterkopplingen så att y(t) r(t) trots v(t)?

5 Integralverkan i tillståndsåterkoppling 5 Inför ett integratortillstånd Fullständig tillståndsmodell Tillståndsåterkoppla den utvidgade tillståndsvektorn Om stabilt och v(t) och r(t) konstanta, gäller stationärt att Cx(t)+r(t)=0 enligt andra raden i den utvidgade tillståndsmodellen!

6 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 6 Fråga: Vi har konstruerat en regulator baserad på tillstånden Vad händer om vi använder de skattade tillstånden istället? Är systemet fortfarande stabilt? Vad händer med prestanda?

7 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 7 System r(t) L r Σ u(t) y(t) Observatör -L

8 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 8 Vi har alltså två kopplade system (det verkliga systemet och vår simulering) Detta är ett linjärt system med 2n tillstånd (systemets tillstånd och observatörens tillstånd). Vi kan använda standard egenvärdesanalys för att studera stabilitet. Det visar sig dock vara mycket enklare om vi gör ett basbyte och arbetar med skattningsfelet istället för skattningen.

9 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 9 Kopplade ekvationer i de nya variablerna I matrisform Stabilt om A-BL och A-KC stabila! Återkoppling och observatör kan designas separat

10 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 10 Skattningsfelet e(t) är uppenbart ej styrbart (drivs enbart av sig självt) Detta visar sig i att överföringsfunktionen från r(t) till y(t) endast har n poler (de icke styrbara polerna i observatören försvinner) Samma som utan observatör! För bra för att vara sant? Vad vi inte ser är transienta förlopp som uppkommer p.g.a att skattningsfelet inte är noll initialt

11 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 11 Fråga: Kan vår återkoppling från skattade tillstånd tolkas som en vanlig återkoppling från mätsignal y(t) samt framkoppling från r(t)? Regulatorn definieras av följande ekvationer Regulatorn är alltså ett linjärt system med två insignaler (r(t) och y(t)) och en utsignal (u(t))

12 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 12 Laplacetransformering ger Bryt ut skattningen Vi identifierar följande regulator

13 Tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd 13 Precis som tidigare kan vi definiera känslighetsfunktioner Kan även räknas ut explicit genom att titta på överföringsfunktionen från en störning v(t) till utsignal y(t)=cx+v(t) (definition av känslighetsfunktionen) Aha! Även om inte slutna systemet beror på observatören K så ser vi att känslighetsfunktionerna gör det. K kan alltså påverka robusthet osv

14 Avancerade observatörskoncept 14 Reducerade observatörer Om vi kan mäta vissa tillstånd exakt så finns det ingen anledning att skatta dessa Inte lika rättframma beräkningar dock Kalmanfilter Att välja polplacering för observatören är inte uppenbart En mer avancerad metod är att använda ett optimalitetskoncept liknande LQreglering. Finn en observatör som är optimal, givet antagande om hur mycket störningar respektive mätbrus som verkar på systemet. Lösningen visar sig vara linjär återkoppling av skattningsfelet, dvs standard observatör

15 Återblick på kursen 15 Kursen handlar om återkoppling av linjära system, som vi sett kan representeras på ett flertal olika sätt

16 Återblick på kursen 16 Vi har definierat rötter till karakteristiska ekvationen, poler till överföringsfunktionen och egenvärden till A-matrisen Alla dessa begrepp är en och samma sak, nämligen de parametrar som finns i exponentialfunktionerna som definierar den homogena (begynnelsevärdesberoende) lösningen till den underliggande differentialekvationen

17 Återblick på kursen 17 Med hjälp av en återkoppling kan vi ändra det ursprungliga systemets beteende Vi började med en PID-regulator Genom att välja förstärkningarna kan man flytta på polerna på det slutna systemet, dvs styra differentialekvationernas lösningar P används för att få en initial återkoppling och reglera snabbhet I används för att få y(t)=r(t) stationärt D används för att reducera oscillationer Lämpliga val av förstärkningarna fås genom analys av polernas position som funktion av förstärkningarna

18 Återblick på kursen 18 Rotort är en sådan analysmetod. Rotorter ger oss inte lösningen på precis hur vi skall välja förstärkningarna, men kan hjälpa oss att dra generella slutsatser (möjligt att stabilisera, kan komplexa poler erhållas, när blir det instabilt, vad händer för små förstärkningar, )

19 Återblick på kursen 19 Ett linjärt system karakteriseras av hur det förstärker och fasförskjuter en sinussignal G(s)

20 Återblick på kursen 20 Den logaritmiska amplitudfuntionen blir så gott som styckvist linjär i log-log skala. Kurvan bryter ner när pol passeras, och upp när nollställe passeras

21 Återblick på kursen 21 Systemegenskaper kan ses i stegsvar, polposition, Bodediagram och överföringsfunktion. Viktigt att förstå kopplingar

22 Återblick på kursen 22 Bodediagrammet avslöjar även vad som händer om man sluter loopen med en P-återkoppling med K=1 G O (s) -1 Stabilitet kräver att arg(g(iω))>-180 då G(iω) =1

23 Återblick på kursen 23 Genom att byta ut P- regulatorn mot en mer avancerad regulator kan man erhålla mer fas och ändra skärfrekvensen Lead-länken väljer önskad punkt där man vill ha förstärkning 1 i kretsförstärkningen, samt hur mycket fasmarginal man har där Lag-länken används för att öka förstärkningen i frekvensen 0

24 Återblick på kursen 24 Reglerdesign handlar till stor del om kompromissen mellan liten känslighetsfunktion och liten komplementär känslighetsfunktion Mätbrus dämpas ej Störningar dämpas ej Mätbrus dämpas väl Störningar dämpas väl

25 Återblick på kursen 25 Tillståndsmodeller gav oss en alternativ syn på linjära system Laplacetransformera Observerbar form Styrbar form Stabilitetsanalys görs genom analys av egenvärdena till A, som visar sig vara det samma som polerna till överföringsfunktionen Med en tillståndsåterkoppling u=-lx kan systemets beteende ändras genom att placera polerna för det slutna systemets tillståndsmatris A-BL Fördelen med tillståndsmetodiken är att den lämpar sig väl för datorstödd design av regulatorer (LQ-design t.ex)

26 Återblick på kursen 26 Observatörer ger oss möjlighet att implementera tillståndsåterkopplingar då vi inte kan mäta alla tillstånd exakt Genom att analysera det kompletta systemet med observatör och återkoppling av skattade tillstånd ser vi att det inte är något annat än en vanlig återkoppling av y. Tillståndsåterkoppling och observatörsdesign ger oss dock ett alternativt, och i vissa fall, mer metodiskt sätt att designa regulatorn

27 Återblick på kursen 27 Vad ingår inte i TSRT15 Underrumstolkning av styrbarhet och observerbarhet (vi nöjer oss med determinantkriterierna) Hall-, Nichols- och Nyquistdiagram (vi nöjer oss med Bodediagram ) Kaskadstrukturer och Smith-prediktor (vi nöjer oss med återkoppling och framkoppling) Implementering

28 But wait, there s more på ISY! 28 Reglerteknik fortsättningskurs M Analys av olinjära system, reglering av system med flera in- och utsignaler, optimala observatörer Modellbygge och simulering Strukturerat tänkande vid modellering av system, mer avancerade modelltyper, framtagning av modeller från mätdata Industriell reglerteknik Mer avancerade reglermetoder och reglerstrukturer, diskreta system (av/på-reglering), datorimplementering. Projektkurs Ofta företagsprojekt (flervariabelt reglersystem för turbomotor, golfspelande robot, autonom undervattensfarkost, navigering av autonomt flygplan med videolänk, )

29 But wait, there s more på ISY! 29 Fordonsdynamik med reglering (på fordonssystem) Modellering och reglering av fordon (främst bilar) Fordonssystem (på fordonssystem) Allt du behöver veta om moderna bilar... Konstruktion med mikrodatorer (på datorteknik) Projektkurs med konstruktion av apparater styrda med mikrodatorer (mikrodatorkurs, ej en reglerkurs, men kul trots det!)

30 och på IEI Mekaniksystem - projektkurs Praktiska projekt som innehåller reglerteknik och signalbehandling Mekatronik Servosystem, sensorer, signalbehandling, olinjära effekter, reglerstrukturer

31 Sammanfattning 31 Sammanfattning av dagens föreläsning Integralverkan kan erhållas, men kräver att man utökar sin modell med ett extra tillstånd Tillståndsåterkoppling och observatör kan designas separat utan att förstöra stabilitet för varandra Slutna systemets överföringsfunktion beror ej på observatören! Det gör däremot känslighetsfunktionerna Polplacering är svårt för observatörer, smidigt att använda Kalmanfilter i MATLAB som räknar ut optimala placeringar

32 Sammanfattning 32 Viktiga begrepp Integratortillstånd: Ett artificiellt tillstånd i regulatorn som integrerar reglerfelet, och används för att få integralverkan i en tillståndsåterkoppling Reducerad observatör: En observatör som bara skattar de tillstånd som den faktiskt inte kan mätta Kalmanfilter: En observatör som har designats baserat på en modell över hur stora störningar och mätbrus är relativt varandra