Reglerteknik I: F10. Tillståndsåterkoppling med observatörer. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik

Transkript

1 Reglerteknik I: F10 Tillståndsåterkoppling med observatörer Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14

2 2 / 14 F9: Frågestund

3 F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då a kan inverkan av alla x(t) observeras i y(t) b är det O = 0 c är systemet också stabilt 2 / 14

4 F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då a kan inverkan av alla x(t) observeras i y(t) b är det O = 0 c är systemet också stabilt 2) En tillståndsbeskrivning av G(s) är en minimial realisering. a A:s egenvärden < G(s):s poler b A:s egenvärden = G(s):s poler c det finns mer kompakta tillståndsbeskrivningar 2 / 14

5 F9: Frågestund 1) När ett system är observerbart då a kan inverkan av alla x(t) observeras i y(t) b är det O = 0 c är systemet också stabilt 2) En tillståndsbeskrivning av G(s) är en minimial realisering. a A:s egenvärden < G(s):s poler b A:s egenvärden = G(s):s poler c det finns mer kompakta tillståndsbeskrivningar 3) För ett styrbart system med tillståndsåterkoppling a krävs ej extra information om system b kan det slutna systemets poler designas godtyckligt c är det slutna systemet stabilt 2 / 14

6 Reglering mha. tillståndsåterkoppling Tillståndsbeskrivning av linjärt tidsinvariant system ẋ = Ax + Bu y = Cx u x y (si A) 1 B C 3 / 14

7 Reglering mha. tillståndsåterkoppling Regulator baserat på återkopplade tillstånd u = Lx + r ger slutet system ẋ = (A BL)x + B r y = Cx där r är filtrerad referenssignal. 3 / 14

8 Reglering mha. tillståndsåterkoppling Regulator baserat på återkopplade tillstånd u = Lx + r ger slutet system ẋ = (A BL)x + B r y = Cx där r är filtrerad referenssignal. r u x y (si A) 1 B C + L 3 / 14

9 Polplacering Tumregler för design av L Egenvärden/poler ges av det(si A + BL) = 0 som vi kan designa Im{s} Re{s} 4 / 14

10 Polplacering Tumregler för design av L Egenvärden/poler ges av det(si A + BL) = 0 som vi kan designa Im{s} Re{s} 4 / 14 Avstånd till origo: snabbare slutet system men mer störningskänsligt

11 Filtrerad referenssignal Med enkel omskalning r(t) = l 0r(t) Slutna systemet Y (s) = G c (s) R(s) där G c (s) = C(sI A + BL) 1 B med filtrerad referenssignal r = l 0 r L R(s) = l 0 R(s): 5 / 14

12 Filtrerad referenssignal Med enkel omskalning r(t) = l 0r(t) Slutna systemet Y (s) = G c (s) R(s) där G c (s) = C(sI A + BL) 1 B med filtrerad referenssignal r = l 0 r L R(s) = l 0 R(s): Y (s) = G c (s)l 0 R(s) I regel vill vi åtminstone ha G c (0)l 0 = 1 5 / 14

13 Filtrerad referenssignal Med enkel omskalning r(t) = l 0r(t) Slutna systemet Y (s) = G c (s) R(s) där G c (s) = C(sI A + BL) 1 B med filtrerad referenssignal r = l 0 r L R(s) = l 0 R(s): Y (s) = G c (s)l 0 R(s) I regel vill vi åtminstone ha G c (0)l 0 = 1 l 0 = 1 G c (0) = 1 C( A + BL) 1 B Mer generellt: R(s) = F r (s)r(s) 5 / 14

14 Skattning av tillstånd Via simulering Regulatorn u = Lx + r kräver tillstånd x som är oftast okänt. I praktiken, reglera med u = Lˆx + r där ˆx är en skattning av x. 6 / 14

15 Skattning av tillstånd Via simulering Regulatorn u = Lx + r kräver tillstånd x som är oftast okänt. I praktiken, reglera med u = Lˆx + r där ˆx är en skattning av x. Naiv idé: Skatta x genom simulering av tillstånden där ˆx 0 är initial gissning. ˆx = Aˆx + Bu, ˆx(0) = ˆx 0 6 / 14

16 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Ex.: Dämpare y Tillståndsbeskrivning: [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + u(t), x(0) = x k/m 0 1/m 0 y(t) = [ 1 0 ] x(t) u 7 / 14

17 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Exempel med impuls u input u(t), output y(t) u(t) y(t) t [s] System med initialtillstånd x 0 7 / 14

18 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med ideal initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 = x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 0 +

19 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med ideal initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 = x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 20

20 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med ideal initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 = x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 100

21 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med fel initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 0 +

22 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med fel initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 20

23 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering Naiv skattning med fel initial gissning: ˆx = Aˆx + Bu, ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 100

24 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd via simulering x och ˆx motsvarar olika utsignaler: y = Cx versus ŷ = C ˆx output y(t) y(t) C ˆx(t) t [s] 8 / 14

25 Skattning av tillstånd Korrigera tillståndsskattning Idé: Återkoppla felet y C ˆx för att korrigera ˆx Observatör: en skattare med korrektionsterm ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx(0) = ˆx 0 }{{} korrektion 9 / 14

26 Skattning av tillstånd Korrigera tillståndsskattning Idé: Återkoppla felet y C ˆx för att korrigera ˆx Observatör: en skattare med korrektionsterm Med matrisen ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx(0) = ˆx 0 }{{} korrektion k 1 k 2 K =. k n kan vi designa skattarens egenskaper. 9 / 14

27 Skattning av tillstånd Korrigera tillståndsskattning Idé: Återkoppla felet y C ˆx för att korrigera ˆx Observatör: en skattare med korrektionsterm ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx(0) = ˆx 0 }{{} korrektion u x y (si A) 1 B C ˆx Obs. 9 / 14

28 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd med observatör Skattning med observatör: ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 0 +

29 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd med observatör Skattning med observatör: ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 20

30 Bygg intuition från enkla system Skattning av tillstånd med observatör Skattning med observatör: ˆx = Aˆx + Bu + K ( y C ˆx ), ˆx 0 x x 2 (hastighet) [m/s] / x 1 (position) [m] x versus ˆx vid t = 100

31 Skattning av tillstånd Skattningsfel och observerbarhet Skattningsfel: x x ˆx [Tavla: härled skattningsfelens utveckling] 11 / 14

32 Skattning av tillstånd Skattningsfel och observerbarhet Skattningsfel: Resultat 9.2 x x ˆx [Tavla: härled skattningsfelens utveckling] Tillståndsbeskrivning är observerbart (jmfr. det O 0) matrisen K kan väljas så att skattningsfelet x avtar godtyckligt snabbt 11 / 14

33 Skattning av tillstånd Skattningsfel och observerbarhet Skattningsfel: Resultat 9.2 x x ˆx [Tavla: härled skattningsfelens utveckling] Tillståndsbeskrivning är observerbart (jmfr. det O 0) matrisen K kan väljas så att skattningsfelet x avtar godtyckligt snabbt K löses ur polynom det(si A + KC) = 0 med önskade rötter 11 / 14

34 Skattning av tillstånd Skattningsfel och observerbarhet Skattningsfel: x x ˆx Resultat 9.2 [Tavla: härled skattningsfelens utveckling] Tillståndsbeskrivning är observerbart (jmfr. det O 0) matrisen K kan väljas så att skattningsfelet x avtar godtyckligt snabbt K löses ur polynom det(si A + KC) = 0 med önskade rötter Snabbt observatör ˆx är dock mer känslig för mätbrus! 11 / 14

35 Återkoppling från skattade tillstånd Skattningsfelets inverkan Tillståndsbeskrivning ẋ = Ax + Bu y = Cx och reglering med u = Lˆx + r [Tavla: härled det slutna systemet med skattningsfelet x] 12 / 14

36 Återkoppling från skattade tillstånd Skattningsfelets inverkan Reglering med u = Lˆx + r ger slutet system: ẋ = (A BL)x + y = Cx skattningsfelets inverkan {}}{ BL x +B r där x = (A KC) x Notera: om x går snabbt mot / 14

37 Återkoppling från skattade tillstånd Det slutna systemet r + u x y (si A) 1 B C L ˆx Obs. ẋ = (A BL)x + x = (A KC) x skattningsfelets inverkan {}}{ BL x +B r y = Cx [Tavla: skriv slutet system om på matrisform] 13 / 14

38 Återkoppling från skattade tillstånd Det slutna systemet Det slutna systemet med skattningsfel kan skrivas som [ẋ ] [ ] [ ] [ ] A BL BL x B = + r x 0 A KC x 0 }{{}}{{}}{{}}{{} x Ā x B y = [ C 0 ] [ ] x }{{} x }{{} C x med utökad tillståndsvektor x. Dvs. Y (s) = G c (s)r(s) där G c (s) = C(sI Ā) 1 B =C(sI A + BL) 1 B 13 / 14 samma som polplacering med kända tillstånd! Se kap. 9.5

39 Återblick Tumregler för polplacering Val av filtrerad referenssignal Skattning med observatör Återkoppling från skattade tillstånd 14 / 14