TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 5

Transkript

1 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning 5 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet

2 Föreläsningar / 23 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 2 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 3 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.

3 Samplad reglering 2 / 23 Idag används oftast datorer för reglering Samplad reglering: r(t) r(kt S ) u(kt S ) u(t) y(t) Sample Regulator Hold System y(kt S ) Fördelar med samplad reglering: enkelt att implementera godtyckliga funktioner (t.ex. tidsfördröjningar, olinjäriteter, logiska uttryck), billigare hårdvara, bättre flexibilitet Nackdelar: fler parametrar att välja, kan försämra regleringen

4 Samplad reglering... 3 / 23 Tidsdiskreta regulatorer kan fås på två sätt: I. Vid tidsdiskret reglerdesign baserad på en tidsdiskret systembeskrivning II. Vid en tidsdiskret implementering av en tidskontinuerlig regulator

5 Samplade in- och utsignaler 4 / 23 y(t) u(kt S ) y(kt S ) t u(t) t t t

6 Sampling av signaler 5 / y(t) y (t) y 2 (t) y(kt S ).5.5

7 Samplingsteoremet 6 / 23 Hur ska samplingsfrekvensen väljas för att inte någon information ska gå förlorad vid samplingen? Samplingsteoremet: En signal som inte innehåller några signalkomponenter över frekvensen ω kan exakt rekonstrueras från samplade värden om samplingsfrekvensen ω S uppfyller olikheten ω ω S 2. Frekvensen ω N = ω S 2 brukar kallas nyquistfrekvensen.

8 Samplande regulatorer 7 / 23 I reglersystem brukar man använda tumregeln att samplingsfrekvensen ω S ska vara 2 gånger den önskade bandbredden ω B, d.v.s. 2 gånger den snabbaste frekvens som man vill att det slutna systemet ska kunna följa. Det kan dock finnas signalkomponenter (t.ex. mätbrus) som kan leda till vikningsdistorsion om man inte lågpassfiltrerar (med ett antialiasfilter) före samplingen. y(t) ỹ(t) ỹ(kt S ) LP-filter Sampling

9 Tidsdiskreta systembeskrivningar 8 / 23 Man behöver en tidsdiskret modell och tidsdiskreta reglertekniska analysverktyg då man direkt designar en tidsdiskret regulator har gjort en tidsdiskret implementering av en tidskontinuerlig regulator och den inte fungerar som väntat ska ta fram en robust allmän metod för tidsdiskret implementering av tidskontinuerliga regulatorer (som ska garantera att man aldrig hamnar i situationen i föreg. punkt)

10 Z-transformen 9 / 23 Den tidsdiskreta motsvarigheten till laplacetransformen är z-transformen: Y (z) = Z{y(k)}(z) = y(k)z k k= (y(k) = för k < )

11 Z-transformen... / 23 Några egenskaper: Z{ Z{ay(k) + bv(k)} = ay (z) + bv (z) Z{y(k )} = z Y (z) + y( ) Z{y(k + )} = zy (z) zy() k y(k m)v(m)} = Y (z)v (z) m= Slutvärdesteoremet (om y(k) konvergerar): lim k y(k) = lim(z )Y (z) z

12 Överföringsfunktion / 23 En allmän rationell överföringsfunktion utan direktterm G TS (z) = B(z) A(z) = b z n b n z n + a z n a n svarar mot en differensekvation y(k + n) + a y(k + n ) a n y(k) = b u(k + n ) b n u(k) Alternativt skrivsätt: G TS (z) = impulssvaret (viktfunktionen). g TS (m)z m, där g TS (m) är m=

13 Stabilitet 2 / 23 Ett system är insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. Ett tidsdiskret system med överföringsfunktion H(z) är insignal-utsignalstabilt om och endast om alla poler till H(z) har ett avstånd till origo som är mindre än ett, d.v.s. om de ligger innanför enhetscirkeln. (Enhetscirkeln = {z C : z = })

14 Poler, impulssvar och stegsvar 3 / 23 Ett första ordningens system med en pol i. z Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

15 Poler, impulssvar och stegsvar 4 / 23 Ett första ordningens system z + med en pol i. Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

16 Poler, impulssvar och stegsvar 5 / 23 Ett första ordningens system med en pol i. z Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

17 Poler, impulssvar och stegsvar 6 / 23 Ett första ordningens system a z a med en pol i z = a =.2. Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

18 Poler, impulssvar och stegsvar 7 / 23 Ett första ordningens system a z a med en pol i z = a =.6. Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

19 Poler, impulssvar och stegsvar 8 / 23 Ett andra ordningens system 2r cos(γ) + r 2 z 2 2r cos(γ)z + r 2 med poler i z = re ±iγ =.95e ±i.65. Impulssvar (överst) och stegsvar (nederst):

20 Eulers metod 9 / 23 Med hjälp av Eulers metod kan man transformera en tidskontinuerlig överföringsfunktion till en tidsdiskret. Ersätt s med z T S z OBS! Se till att samplingsfrekvensen är tillräckligt hög (tumregeln). Eulers metod ger en ganska grov approximation. Tustins formel är bättre...

21 Tustins formel 2 / 23 Med hjälp av Tustins formel (bilinjär transformation) kan man transformera en tidskontinuerlig överföringsfunktion till en tidsdiskret. Ersätt s med 2(z ) T S (z + ) OBS! Se till att samplingsfrekvensen är tillräckligt hög (tumregeln). Tustins formel används typiskt för tidsdiskret implementering av regulatorer.

22 Exempel: Tustins formel 2 / 23 En approximativ tidsdiskret motsvarighet till F (s) = 3 s + 2 kan beräknas m.h.a. Tustins formel. Resultat: F TS (z) = 3 2(z ) T S (z+) + 2 = 3T S (z + ) 2(T S + )z + 2(T S )

23 Exempel: Tustins formel / (T S =.2 s)

24 Sammanfattning 23 / 23 Samplingsteoremet, nyquistfrekvensen z-transformen Differensekvationer Insignal-utsignalstabilitet Regulatorimplementering med Eulers metod eller Tustins formel

25