DIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)

Transkript

1 DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM Impulssvaret h[n] är givet som TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 3 Tillämpad Fysik Och Elektronik 1

2 π 1 0 π Ω Låga frekvenser dämpas. Högpass-filter! 0-1 -π 0 π Ω TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 4 STABILITETSREGEL I TIDSDISKRETA FALLET Ett LTI system H(z)=B(z)/A(z) är stabilt om systemets poler, dvs nollställen till polynomet A(z), ligger inom j enhetscirkeln i komplexa planet Stabilt j TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 5 KOMPLEXA POLER Poler utanför reella axeln är alltid komplexkonjugerade j x j x TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 6 Tillämpad Fysik Och Elektronik 2

3 POLERNAS BELOPP OCH ARGUMENT zp = Re jω0 j Ω0 ger resonsvinkelfrekvens R resonansens styrka R x Ω j x TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 7 abs(h) Ω0 π/2 π ω TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 8 NOLLSTÄLLENS BELOPP OCH ARGUMENT z0 = Re jω0 j Ω0 ger resonsvinkelfrekvens R resonansens styrka R o Ω j o I praktiken läggs nollställen oftast innanför enhetscirkeln TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 9 Tillämpad Fysik Och Elektronik 3

4 abs(h) Ω0 π/2 π ω TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 10 DIGITALA FILTER Digitala filter förekommer t.ex.: I Photoshop och andra PC-programvaror som filtrerar. I apparater med signalprocessorer, t.ex. mobiltelefoner, bärbara CD-spelare m.m. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 11 DIGITALA FILTER Man kan filtrera för att nå ett flertal olika ändamål. För ljud kan man tänka sig: Eko Vibrato Körsimulering Lågpassfiltrering Distordering Transformering (växla frekvens) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 12 Tillämpad Fysik Och Elektronik 4

5 DIGITALA FILTER Det finns två olika typer av linjära digitala filter FIR - icke rekursivt filter, FIR = Finite Impulse Response IIR - rekursivt filter, IIR = Infinite Impulse Response TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 13 FIR - FILTER Ett FIR-filter med N st tappar har matematiska uttrycket Överföringsfunktionen blir: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 14 FIR - filter Ett FIR-filter med tre tappar: x[n] h[0] S y[n] Z -1 Z -1 Z -1 h[1] h[2] h[3] S S S TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 15 Tillämpad Fysik Och Elektronik 5

6 FIR - FILTER Ett FIR-filter har ändlig impulsrespons. Om man skickar in en enhetspuls, blir utsignalen noll efter N antal klockcykler. De är på grund av detta stabila. De är faslinjära. Alla frekvenskomponenter har samma tidsfördröjning. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 16 EXEMPEL. MEDELVÄRDESFILTER (FIR) Utsignalen från filtret skall vara medelvärdet av de tre senaste insignalerna Överföringsfunktionen: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 17 Impulssvar: Utsignalen blir noll efter ett ändligt antal steg ( = 3) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 18 Tillämpad Fysik Och Elektronik 6

7 Stegsvar: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 19 Frekvensegenskaper: LP-filter! (i detta exempel) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 20 IIR-FILTER Ett IIR-filter har ett matematiskt uttryck: Filtrets överföringsfunktion med tre tappar TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 21 Tillämpad Fysik Och Elektronik 7

8 IIR-FILTER x[n] b[0] S y[n] Z -1 b[1] S a[1] Z -1 Z -1 b[2] S a[2] Z -1 Z -1 b[3] S a[3] Z -1 TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 22 IIR-FILTER Avsevärt mer effektiva om man ser på beräkningstider för filtret Stabiliteten kan vara sämre än för FIR De är inte faslinjära som FIR-filter IIR har poler. Dessa avgör stabiliteten. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 23 EXEMPEL IIR-FILTER Vi gör en negativ återkoppling av halva föregående utsignal. Överföringsfunktion TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 24 Tillämpad Fysik Och Elektronik 8

9 Impulssvar: Utsignalen avtar (filtret är stabilt). Utsignalen når dock exakt noll först efter ett oändligt antal steg. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 25 Stegsvar: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 26 Frekvenssvarssvar: HP-filter! (i detta exempel) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 27 Tillämpad Fysik Och Elektronik 9

10 EXEMPEL FIR-FILTER Vi skall dimensionera ett FIR-filter av lågpasstyp med passband upp till 900 Hz och spärrband från 1100 Hz. Filtret finns i ett system med samplingsfrekvens 8 khz. Frekvenser över 1100 Hz ska dämpas minst 40 db Tillämpad Fysik och Elektronik, Umeå Universitet28 DESIGN AV LÅGPASSFILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 29 DESIGN AV LÅGPASSFILTER Rita figuren med normerade frekvenser (fs=2 π) Transitionsvidden ω= π*200/4000= π/20 Corner frequency ω c = π*1000/4000= π/4 - π 0 π π*900/4000 π*1100/4000 Rad/s TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 30 Tillämpad Fysik Och Elektronik 10

11 IDEALT FILTER Ansätt ett idealt filter med gräns-frekvens π/4 enligt formeln TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 31 EGENSKAPER HOS DET IDEALA FILTRET Belopps och faskaraktär H H - π 0 π π*1/4 Streckade linjen = fasvinkeln för H = -α ω Rad/s TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 32 STEG 3. BERÄKNA IMPULSSVARET För att få impulssvaret inverstransformerar vi överföringsfunktionen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 33 Tillämpad Fysik Och Elektronik 11

12 I VÅRT FALL FÅR VI: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 34 VI PLOTTAR IMPULSSVARET α=0 (rött, vänster ) och α=25 (svart, höger) med hjälp av alfa fördröjs impulssvaret Impulssvaret är ICKE-KAUSALT! TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 35 IMPULSSVARET GÖRS DISKRET Här har vi alfa=18 och vi avläser impulssvaret varje sekund mellan 0 och 36 sekunder TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 36 Tillämpad Fysik Och Elektronik 12

13 BRA MEN INTE PERFEKT 1.4 Vi kollar resultatet genom att göra en diskret fouriertransform av resultatet. Vi får då överföringsfunktionen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 37 VI ÖKAR GRADTALET 1.4 Med alfa=60 och impuls-svaret i 120 punkter får vi följande överföringsfunktion fortfarande rippel TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 38 LÄGG ETT FÖNSTER ÖVER IMPULSSVARET Om man multiplicerar impulssvaret med ett fönster - exempelvis ett hammingfönster kan man reducera ripplet Hammingfönstret beskrivs av funktionen TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 39 Tillämpad Fysik Och Elektronik 13

14 FÖNSTERFUNKTIONER Det finns ett antal standardfönster - Hamming, Hanning, Blackman, Bartlett, Kaiser, Hann e.t.c Så här ser ett Hammingfönster av gradtal 128 ut TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 40 IMPULSSVAR - MED OCH UTAN HAMMINGFÖNSTER Här har vi alfa=18.vi avläser impulssvaret varje sekund mellan 0 och 36 sekunder rött=utan och heldragen=med fönster TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 41 ÖVERFÖRINGSFUNKTION - MED OCH UTAN HAMMINGFÖNSTER Vi beräknar och ritar överföringsfunk-tioner för ett filter med gradtal 37. Alfa = TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 42 Tillämpad Fysik Och Elektronik 14

15 ÖKAT GRADTAL GER BÄTTRE ÖVERFÖRINGSFUNKTION Vi testar gradtal TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 43 FILTERDESIGN I MATLAB (FDATOOL) I Matlab finns ett grafiskt användargränssnitt för design och analys av filter. Verktyget startas genom att skriva fdatool i Matlab. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 44 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER I det grafiska användargränssnittet fdatool väljer man typen av filter, t ex lågpass-, högpass-, bandpass- eller bandstoppfilter. I detta fall väljs lågpassfilter. Därefter väljs designmetod (FIR eller IIR). I detta fall väljs FIR. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 45 Tillämpad Fysik Och Elektronik 15

16 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER Därefter väljs filtrets ordning. Man kan välja att låta programmet finna det filter med lägst ordning som uppfyller de uppställda kriterierna. Därefter ges samplingsfrekvens, övre gräns för passbandet samt undre gräns för stoppbandet. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 46 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER Därefter ges maximalt rippel i passbandet samt dämpningen i stopbandet. 0 Mag (db) f (Hz) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 47 EXEMPEL: DESIGN AV LÅGPASSFILTER När all nödvändig information om filtret är given kan filtret designas. Filtret kan analyseras i det grafiska användargränssnittet. Bland annat kan grafer över överföringsfunktionens belopp och fas göras. Filterkoefficienterna kan även exporteras till Matlab. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 48 Tillämpad Fysik Och Elektronik 16

17 LJUDXEMPEL: DESIGN AV ETT BANDSTOPPFILTER Antag att vi har samplat ett ljud med samplingsfrekvensen 44.1 khz. Ljudet har en störning vid 100 Hz. Vi vill filtrera bort denna störning med hjälp av ett digitalt bandstoppfilter. Vi designar ett FIR-filter med hjälp av verktyget fdatool i Matlab. TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 49 LJUDEXEMPEL (FORTS.) Ljud utan störning: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 50 LJUDEXEMPEL (FORTS.) Ljud med störning: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 51 Tillämpad Fysik Och Elektronik 17

18 LJUDEXEMPEL (FORTS.) Vi designar ett bandstoppfilter med följande parametrar: Mag (db) 0 1 db 1 db 40 db f (Hz) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 52 LJUDEXEMPEL (FORTS.) Resultatet blir ett filter av ordningen 1316 och överföringsfunktion TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 53 LJUDEXEMPEL (FORTS.) Filtrerat ljud: TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 54 Tillämpad Fysik Och Elektronik 18