GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen

Transkript

1 GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1. Ett digitalt kommunikationssystem används för att överföra en signal som består av frekvenser i bandet 0 4 khz. Kommunikationskanalen påverkas av brus, och för god signalrekonstruktion krävs att frekvenskomponenter > 5 khz dämpas minst med faktorn 1000, medan signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 15 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 0.8x(n 1) 0.25x(n 2) x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Bestäm också tidsfördröjningen L som behövs för att filtret H(z) skall vara kausalt, samt differensekvationen som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {y eq (n)}. I en elektronisk krets ingår en statisk olinjär komponent som beskrivs av y(n) = [x(n)] 2 Bestäm frekvenskomponenterna hos y(n) om insignalen ges av x(n) = 2 + sin(ωt). Bestäm den 2-dimensionella Fouriertransformen av den 2-dimensionella signalen {x(n, m)} = [ ]

2 GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen En signal innehåller två intressanta sinuskomponenter som man önskar mäta. Man vet att deras frekvenser är lägre än 50 Hz och att komponenterna är separerade med mer än 0.5 Hz. Bestäm lämpliga värden för: - samplingsfrekvensen, - bandbredden hos det analoga lågpassfiltret som man har före A/D-omvandling, - datasekvensens längd. Motivera dina svar! En bandbegränsad audiosignal samplas med samplingsfrekvensen 50 khz. Den diskreta Fouriertransformen {X(k)} beräknas för en sekvens {x(nt s )} av längden N = Bestäm antalet numeriska operationer som fordras. - Vilka frekvenser motsvarar elementen X(k) för k = 0, 1,..., N/2 och för k = N/2 + 1, N/2 + 2,..., N 1? För att kartlägga djupprofilen hos en farled används en mätare som anger vattendjupet med 10 centimeters intervall (dvs en mätning för varje 10 centimeter i färdriktningen). Detta är emellertid onödigt detaljerat och för att filtrera bort snabba variationer vill man därför lågpassfiltrera data enligt följande önskemål: - Djupvariationer med en period 5 m skall dämpas med maximalt 0.1 db. - Djupvariationer med en period 1 m skall dämpas med minst 50 db. Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett kausalt faslinjärt FIR filter som uppfyller specifikationerna, och uppskatta vilken filterlängd som krävs. Bestäm också fördröjningen räknad i meter, som filtret förorsakar på grund av fasförskjutningen. [Ledning: Betrakta vattendjupet som en (diskret) signal x(n) där n anger rumskoordinaten, och som har samplats med samplingsperioden 10 centimeter.] En kommunikationslinje kan beskrivas som ett linjärt system där sambandet mellan insignalen x(n) vid sändaren och utsignalen y(n) hos mottagaren beskrivs av differensekvationen y(n + 1) = 0.9y(n) + x(n) + x e (n) där x e (n) är en reflekterad ekokomponent, som beror av utsignalen y(n) enligt differensekvationen x e (n + 1) = 0.7x e (n) y(n) a) Konstruera ett blockdiagram som beskriver sambanden mellan de olika signalerna, och bestäm överföringsfunktionen för sambandet mellan insignalen x(n) och utsignalen y(n). b) Använd systemets frekvenssvar för att bestämma den utsignal y(n) som fås då insignalen är x(n) = 1 + sin(ωn) där ω = π/

3 GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen Vid överföring av en signal x(n) från en avsändare till en mottagare ges den mottagna signalen y(n) på grund av reflekterande komponenter av Signalen x(n) är en sinusformad signal, y(n) = 1.2x(n 1) + 0.4x(n 2) x(n) = cos(2πfn) med (normerade) frekvensen f = 0.1 Hz. Den mottagna signalen kan då också beskrivas som en sinusformad signal, y(n) = A y cos(2πf y n + ϕ y ) Bestäm frekvensen f y, amplituden A y och fasen ϕ y hos den mottagna signalen. En analog signal x a (t) har bandbredden Hz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 5 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Motivera svaren! Ett digitalt faslinjärt lågpassfilter skall uppfylla följande specifikationer: - passbandets hörnfrekvens: 1000 Hz, - avvikelse i passbandet: δ p < övergångsbandets bredd: 10 Hz, - förstärkning i spärrbandet: δ s < 0.001, Samplingsfrekvensen är Hz. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som fordras för att uppnå specifikationerna. b) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. En reellvärd diskret signal {x(n)} med längden N = 4 har diskreta Fouriertransformen {X(0), X(1), X(2), X(3)}. a) Hur kan man bestämma frekvens, amplitud och fas hos signalens frekvenskomponenter på basen av Fouriertransformen? b) Bestäm X(3) då X(0) = 5, X(1) = 2 + 4j och X(2) = c) Bestäm signalen energi Ledning: Använd Parsevals formel. P ({x(n)}) = 1 N N 1 n=0 x(n) 2

4 GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen En amplitudmodulerad sinusformad signal ges av där v(t) = 2 + sin(3πt π/4). x(t) = v(t) cos(50πt) a) Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud och fas) hos signalen x(t). b) Visa hur den lågfrekventa signalen v(t) kan rekonstrueras från signalen x(t). En analog signal x a (t) har bandbredden 10 khz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 10 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Vid ett signalbehandlingsproblem skall en signal filtreras med ett faslinjärt FIR-filter som skall uppfylla följande specifikationer: - passband: 0 20 khz, - spärrbandets hörnfrekvens: 25 khz, - dämpning i spärrbandet: > 50 db, - maximal avvikelse i passbandet: < 0.01 db. Samplingsfrekvensen är 100 khz. Filtret ingår i ett tidskritiskt signalbehandlingssystem, varför det är viktigt att antalet filterkoefficienter hålls möjligast litet. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som minst fordras om filtret konstrueras med hjälp av fönsterfunktion. b) Bestäm filtrets fasförskjutning i passbandet som funktion av frekvensen. c) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 0.8x(n 1) 0.25x(n 2) x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Bestäm också tidsfördröjningen L som behövs för att filtret H(z) skall vara kausalt, samt differensekvationen som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {y eq (n)}.

5 Tentamen I en elektronisk krets ingår en statisk olinjär komponent som beskrivs av y(n) = [x(n)] 2 Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud, fas) hos y(n) om insignalen ges av x(n) = cos(ωt). En digital signal innehåller brus, vars spektrum är koncentrerat till frekvenser > 8 khz medan den brusfria signalen består av frekvenser < 6 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas till under 0.1%, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 50 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. I ett datakommunikationsproblem amplitudmoduleras bärvågen cos(100πt) med signalen v(t) = cos(10πt π/4) a) Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud och fas) hos den modulerade signalen x(t) = v(t) cos(100πt). b) Visa hur den lågfrekventa signalen v(t) kan rekonstrueras från signalen x(t). En kommunikationslinje kan beskrivas som ett linjärt system där sambandet mellan insignalen x(n) vid sändaren och utsignalen y(n) hos mottagaren beskrivs av differensekvationen y(n + 1) = 0.8y(n) + x(n) + cx e (n) där x e (n) är en reflekterad ekokomponent, som beror av utsignalen y(n) enligt differensekvationen x e (n + 1) = 0.5x e (n) y(n) och c > 0 är en faktor som anger dämpningen av ekosignalen. a) Konstruera ett blockdiagram som beskriver sambanden mellan de olika signalerna, och bestäm överföringsfunktionen för sambandet mellan insignalen x(n) och utsignalen y(n). b) Bestäm hur stor faktorn c kan vara för att systemet skall vara stabilt. c) Visa hur insignalen x(n) kan rekonstrueras ur den mottagna signalen y(n) om det antas att de ovan givna sambanden är kända.

6 Tentamen Vid överföring av en signal x(n) från en avsändare till en mottagare ges den mottagna signalen y(n) på grund av reflekterande komponenter av Signalen x(n) är en sinusformad signal, y(n) = 0.8x(n 1) + 0.5x(n 2) x(n) = cos(2πfn) varvid den mottagna signalen också är sinusformad, y(n) = A y cos(2πf y n + ϕ y ) Bestäm frekvensen f y, amplituden A y och fasen ϕ y hos den mottagna signalen. En analog signal x a (t) har bandbredden 20 khz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 10 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Ett digitalt faslinjärt lågpassfilter skall uppfylla följande specifikationer: - passbandets hörnfrekvens: 200 Hz, - avvikelse i passbandet: δ p < övergångsbandets bredd: 5 Hz, - förstärkning i spärrbandet: δ s < 0.001, Samplingsfrekvensen är 1024 khz. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som fordras för att uppnå specifikationerna. b) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. Ett företag har pengar placerade på ett konto som i slutet av varje år ger 4% ränta. I början av varje år n(= 0, 1, 2...) insätts räntan från föregående år samt en summa på u(n) euro på kontot. a) Uppställ en differensekvation som beskriver hur kapitalet y(n) i början av år n beror av y(n 1) och u(n). b) Antag sedan att den årligen insatta summan är u(0) = u(1) = u under de två första åren, och noll därefter (dvs u(n) = 0 för n = 2, 3,...). Lös differensekvationen analytiskt för att bestämma ett analytiskt uttryck för det totala kapitalet y(n) i början av år n, då startkapitalet vid år n = 0 är y(0) = 0.

7 Tentamen Vid trådlös transmission med flervägsutbredning på grund av reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 0.9x(n 1) + 0.4x(n 2) + 0.3x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Beräkna amplituden och fasen hos den mottagna signalen om x(n) = cos(2π 0.1 n). Man önskar bestämma frekvensinnehållet hos en signal genom att sampla signalen och bilda diskreta Fouriertransformen av den erhållna diskreta signalen. Signalen innehåller två intressanta sinuskomponenter vars amplituder och faser man vill bestämma. Man vet att deras frekvenser är lägre än 100 Hz och att komponenterna är separerade med mer än 5 Hz. Hur skall man välja - samplingsfrekvensen, - bandbredden hos det analoga lågpassfiltret som man har före A/D-omvandling, - datasekvensens längd? Motivera dina svar! Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 8 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 4 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas med minst 50 db, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 100 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. En kontinuerlig signal x(t) samplas med samplingsperioden T s = 0.01 sekunder. Den diskreta Fouriertransformen X(k) av en N = 512 lång sekvens av den samplade signalen är X(0) = 2, X(4) = 4 2j, X(8) = 1 + j samt (pga Fouriertransformens symmetriegenskaper) X(N 4) = X(4), X(N 8) = X(8), medan X(k) = 0 för alla övriga k. a) Vilka frekvenser motsvarar komponenterna X(k) hos Fouriertransformen? b) Uttryck den samplade sekvensen {x(nt s )} med hjälp av dess frekvenskomponenter.

8 Tentamen Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 6 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 5 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas med minst 60 db, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 0.1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 16 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken den filtrerade signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. En kontinuerlig periodisk signal x(t) har perioden T = 2 sekunder. a) Vilka frekvenskomponenter kan man vänta sig att hitta i signalen? b) Signalen samplas med samplingsfrekvensen f s = 60 Hz under 4 sekunders tid, och man bestämmer diskreta Fouriertransformen {X(0), X(1),..., X(N 1)} av den samplade sekvensen {x(nt s )}. Vilka element X(k) kan man vänta sig att inte försvinner? En periodisk diskret signal ges av {x(0), x(1), x(2),...} = 2 + ( 1) n = {3, 1, 3, 1,...} a) Bestäm signalens Fourierserie. b) Uttryck signalen {x(n)} med hjälp av sinus- och cosinusfunktioner. c) Signalen filtreras med filtret y(n) 1.2y(n 1) + 0.4y(n 2) = x(n 1) Bestäm den periodiska utsignalen {y(n)} som fås efter att effekten hos begynnelsetillståndet dött ut genom att beräkna filtrets inverkan på insignalens frekvenskomponenter. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 0.6x(n 2) 0.4x(n 3) + 0.2x(n 4) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Bestäm också tidsfördröjningen L som behövs för att filtret H(z) skall vara kausalt, samt differensekvationen som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {y eq (n)}.

9 Tentamen Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 6 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 5 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas minst med faktorn 1000, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 16 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. Betrakta överföring av en signal x från en avsändare till en mottagare. På grund av reflektioner överförs signalen längs två parallella kanaler, så att den mottagna signalen y ges av y = y 1 + y 2, där y 1 och y 2 är signalkomponenterna från de två kanalerna. Signalen transformeras vid överföringen, så att komponenten y 1 längs den första kanalen ges av y 1 (n) = 0.7y 1 (n 1) + 0.5x(n 1) medan komponenten y 2 längs den andra kanalen ges av y 2 (n) = 0.9y 2 (n 1) + 0.1x(n 2) a) Bestäm sambandet (överföringsoperator och differensekvation) mellan den utsända signalen x och den mottagna signalen y = y 1 + y 2. b) Konstruera ett kausalt filter med vilket man kan rekonstruera den ursprungliga signalen x ur den mottagna signalen y om man antar att ovan givna kanalmodeller är kända. I en elektronisk krets ingår en statisk olinjär komponent som beskrivs av y(n) = [x(n)] 2 Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud, fas) hos y(n) om insignalen ges av x(n) = sin(ωt). Bestäm den 2-dimensionella Fouriertransformen av den 2-dimensionella signalen {x(n, m)} = [ ]

10 Tentamen En amplitudmodulerad sinusformad signal ges av där v(t) = 2 + sin(3πt π/2). x(t) = v(t) cos(50πt) a) Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud och fas) hos signalen x(t). b) Visa hur den lågfrekventa signalen v(t) kan rekonstrueras från signalen x(t). En analog signal x a (t) har bandbredden 10 khz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 10 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Vid ett signalbehandlingsproblem skall en signal filtreras med ett faslinjärt FIR-filter som skall uppfylla följande specifikationer: - passband: 0 20 khz, - spärrbandets hörnfrekvens: 25 khz, - dämpning i spärrbandet: > 50 db, - maximal avvikelse i passbandet: < 0.01 db. Samplingsfrekvensen är 100 khz. Filtret ingår i ett tidskritiskt signalbehandlingssystem, varför det är viktigt att antalet filterkoefficienter hålls möjligast litet. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som minst fordras om filtret konstrueras med hjälp av fönsterfunktion. b) Bestäm filtrets fasförskjutning i passbandet som funktion av frekvensen. c) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 0.8x(n 1) 0.5x(n 2) x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Bestäm också tidsfördröjningen L som behövs för att filtret H(z) skall vara kausalt, samt differensekvationen som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {y eq (n)}.

11 Tentamen En amplitudmodulerad sinusformad signal ges av där v(t) = 3 + sin(πt π/4). x(t) = v(t) cos(20πt) a) Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud och fas) hos signalen x(t). b) Visa hur den lågfrekventa signalen v(t) kan rekonstrueras från signalen x(t). En analog signal x a (t) har bandbredden 8 khz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 25 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Vid ett signalbehandlingsproblem skall en signal filtreras med ett faslinjärt FIR-filter som skall uppfylla följande specifikationer: - passband: 0 20 khz, - spärrbandets hörnfrekvens: 25 khz, - dämpning i spärrbandet: > 50 db, - maximal avvikelse i passbandet: < db. Samplingsfrekvensen är 100 khz. Filtret ingår i ett tidskritiskt signalbehandlingssystem, varför det är viktigt att antalet filterkoefficienter hålls möjligast litet. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som minst fordras om filtret konstrueras med hjälp av fönsterfunktion. b) Bestäm filtrets fasförskjutning i passbandet som funktion av frekvensen. c) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = 2x(n 1) 1.5x(n 2) + 0.5x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Bestäm också tidsfördröjningen L som behövs för att filtret H(z) skall vara kausalt, samt differensekvationen som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {y eq (n)}.

12 Tentamen Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 12 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 10 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas minst med faktorn 1000, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 100 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. Bestäm koefficienterna hos ett FIR-filter av längden tre, y(n) = h(0)y(n) + h(1)y(n 1) + h(2)y(n 2) så att filtret har följande egenskaper: - filtret är faslinjärt, - förstärkningen vid frekvensen ω = 0 är 1, och - förstärkningen är 0 vid frekvensen ω = π/ Skissera grafiskt filtrets förstärkning och fasförskjutning som funktioner av frekvensen. I ett digitalt kommunikationssystem med flervägsutbredning från reflekterande ytor ges den mottagna signalen y(n) av y(n) = x(n 1) 0.75x(n 2) + 0.5x(n 3) där x(n) är den utsända signalen. Bestäm en kausal utjämnare Ŷeq(z) = H(z)Ŷ (z) som återskapar den utsända signalen x(n) från den mottagna signalen y(n), dvs y eq (n) = x(n L) för något positivt L. Vilken tidsfördröjning L fås? En kontinuerlig signal x(t) samplas med samplingsfrekvensen 10 khz. Den diskreta Fouriertransformen {X(k)} beräknas för en sekvens {x(nt s )} av längden N = Vilken frekvens motsvarar elementet X(k), för k N/2, för k > N/2? - Vilka frekvenser ingår i signalen x(t) om denna är periodisk med perioden 0.01 sekunder? - Hur syns signalens periodicitet hos transformen X(k)?

13 Tentamen Bestäm den periodiska signal som fås då den diskreta signalen {x(n)} i Exempel 1 i kompendiet, x(0) = 1, x(1) = 1, x(2) = 0, x(3) = 1 och x(n + 4) = x(n), alla n, filtreras med det disketa systemet 1 H(z) = 1 0.8z 1 Ledning: Använd systemets frekvenssvar. En analog signal x a (t) har bandbredden 8 khz. Man önskar använda en N B -punkts FFT för beräkning av signalens spektrum med en resolution som är mindre än 50 Hz. Bestäm - vilken samplingsfrekvens som fordras, - antalet samplingar som krävs, och - antalet operationer som fordras för beräkning av spektret. Vid ett signalbehandlingsproblem skall en signal filtreras med ett faslinjärt FIR-filter som skall uppfylla följande specifikationer: - passband: 0 10 Hz, - spärrbandets hörnfrekvens: 20 Hz, - dämpning i spärrbandet: > 50 db, - maximal avvikelse i passbandet: < db. Samplingsfrekvensen är 128 Hz. Filtret ingår i ett tidkritiskt signalbehandlingssystem, varför det är viktigt att antalet filterkoefficienter hålls möjligast litet. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som minst fordras om filtret konstrueras med hjälp av fönsterfunktion. b) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. Ett företag har pengar placerade på ett konto som i slutet av varje år ger 5% ränta. I början av varje år n(= 0, 1, 2...) insätts räntan från föregående år samt en summa på u(n) euro på kontot. Uppställ en differensekvation som beskriver hur kapitalet y(n) i början av år n beror av y(n 1) och u(n 1). Antag sedan att den årligen insatta summan är konstant, u(n) = u, och lös differensekvationen analytiskt för att bestämma ett analytiskt uttryck för det totala kapitalet y(n) i början av år n, då startkapitalet vid år n = 0 är y(0) = 0.

14 Tentamen En bandbegränsad akustisk signal samplas med samplingsfrekvensen 10 khz. Den diskreta Fouriertransformen {X(k)} beräknas för en sekvens {x(nt s )} av längden N = Bestäm antalet numeriska operationer som fordras, om beräkningarna görs så effektivt som möjligt. - Vilken frekvens motsvarar elementet X(k), för k N/2, för k > N/2? - Vad är frekvensupplösningen hos Fouriertransformen X(k), dvs skillnaden i de frekvenser som motsvaras av X(k) och X(k + 1)? En kommunikationslinje kan beskrivas som ett linjärt system så att sambandet mellan insignalen x(n) vid sändaren och utsignalen y(n) hos mottagaren ges av y(n) = x d (n) + x e (n) där x d (n) = 0.5x(n 1) är den del av insignalen som kommer direkt igenom linjen, och x e (n) = 0.2x(n 3) är en reflekterad komponent. a) Hur kan insignalen x(n) till kommunikationslinjen rekonstrueras ur den vid mottagaren erhållna signalen y(n)? b) Bestäm frekvenskomponenterna (amplitud och fas) hos insignalsekvensen {x(n)}, då utsignalsekvensen {y(n)} består av två sinusformade komponenter enligt y(n) = 1+cos(πn). [Ledning: Använd frekvenssvaret för överföringsoperatorn som beskriver sambandet mellan {y(n)} och {x(n)}.] Ett digitalt högpassfilter skall uppfylla följande specifikationer: H(e jω ) 0.01, 0 ω 0.2π 0.95 H(e jω ) 1.05, 0.3π ω π Ett faslinjärt FIR filter som uppfyller specifikationerna skall bestämmas med hjälp av fönsterfunktion. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som fordras för att uppnå specifikationerna. b) Bestäm det ideala högpassfiltrets impulssvar. c) Bestäm de två första impulssvarskoefficienterna h 0 och h 1 hos ett kausalt FIR filter H(z) = h 0 + h 1 z h N 1 z N+1 med hjälp av fönsterfunktionen enligt b-fallet. I en elektronisk krets ingår en statisk olinjär komponent som beskrivs av y(n) = [x(n)] 2 Bestäm frekvenskomponenterna hos y(n) om insignalen ges av x(n) = sin(ωn) + cos(2ωn).

15 Tentamen Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 5 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 4 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas minst med faktorn 1000, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 15 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. Betrakta överföring av en signal x från en avsändare till en mottagare. På grund av reflektioner överförs signalen längs två parallella kanaler, så att den mottagna signalen y ges av y = y 1 + y 2, där y 1 och y 2 är signalkomponenterna från de två kanalerna. Signalen transformeras vid överföringen, så att komponenten y 1 längs den första kanalen ges av y 1 (n) = 0.8y 1 (n 1) + 0.1x(n 1) medan komponenten y 2 längs den andra kanalen ges av y 2 (n) = 0.9y 2 (n 1) x(n 2) a) Bestäm sambandet (överföringsoperator och differensekvation) mellan den utsända signalen x och den mottagna signalen y = y 1 + y 2. b) Konstruera ett kausalt filter med vilket man kan rekonstruera den ursprungliga signalen x ur den mottagna signalen y om man antar att ovan givna kanalmodeller är kända. I en elektronisk krets ingår en statisk olinjär komponent som beskrivs av y(n) = [x(n)] 2 Bestäm frekvenskomponenterna hos y(n) om insignalen ges av x(n) = 2 + sin(ωt). Bestäm den 2-dimensionella Fouriertransformen av den 2-dimensionella signalen {x(n, m)} = [ ]

16 Tentamen En amplitudmodulerad sinusformad signal beskrivs av x(t) = [3 + sin(πt π/2)] cos(15πt) a) Bestäm frekvenskomponenterna (frekvens, amplitud och fas) hos signalen x(t). b) Är signalen x(t) periodisk? Vad är i så fall signalens period? c) Bestäm den minsta samplingsfrekvensen som behövs för att undvika aliasing vid A/Domvandling av x(t). Ett digitalt faslinjärt lågpassfilter skall uppfylla följande specifikationer: - passbandets hörnfrekvens: 100 Hz, - avvikelse i passbandet: < 0.05 db, - övergångsbandets bredd: 10 Hz, - dämpning i spärrbandet: > 40 db, Samplingsfrekvensen är 1024 khz. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion och uppskatta vilken filterlängd som fordras för att uppnå specifikationerna. b) Bestäm hur stor tidsfördröjning (i sekunder) som filtrets fasförskjutning ger upphov till hos den filtrerade lågfrekventa signalkomponenten i förhållande till den ursprungliga signalen. En kontinuerlig signal x(t) samplas med samplingsperioden T s = 0.02 sekunder. Den diskreta Fouriertransformen X(k) av en N = 512 lång sekvens av den samplade signalen är X(0) = 1, X(5) = 3 2j, X(10) = 1+2j samt (pga Fouriertransformens symmetriegenskaper) X(N 5) = X(5), X(N 10) = X(10), medan X(k) = 0 för alla övriga k. a) Vilka frekvenser motsvarar komponenterna X(k) hos Fouriertransformen? b) Bestäm den samplade sekvensen {x(nt s )}. Ett filter beskrivs av differensekvationen y(n) = 0.9y(n 1) + x(n) + x(n 2) a) Bestäm ett analytiskt uttryck för utsignalsekvensen {y(n)} då insignalen är en puls vid tidpunkten n = 0, dvs { 1, n = 0 x(n) = 0, n 0 och y(n) = 0, n < 0. b) Bestäm och skissera filtrets frekvenssvar. c) Bestäm Fouriertransformen för utsignalen enligt a-fallet.

17 Tentamen Man önskar bestämma frekvensinnehållet hos en signal genom att sampla signalen och bilda diskreta Fouriertransformen av den erhållna diskreta signalen. Signalen innehåller två intressanta sinuskomponenter vars amplituder och faser man vill bestämma. Man vet att deras frekvenser är lägre än 50 Hz och att komponenterna är separerade med mer än 2 Hz. Hur skall man välja - samplingsfrekvensen, - bandbredden hos det analoga lågpassfiltret som man har före A/D-omvandling, - datasekvensens längd? Motivera dina svar! Betrakta överföring av en signal x från en avsändare till en mottagare. På grund av reflektioner överförs signalen längs två parallella kanaler, så att den mottagna signalen y ges av y = y 1 + y 2, där y 1 och y 2 är signalkomponenterna från de två kanalerna. Signalen transformeras vid överföringen, så att komponenten y 1 längs den första kanalen ges av y 1 (n) = 0.5y 1 (n 1) x(n 1) medan komponenten y 2 längs den andra kanalen ges av y 2 (n) = 0.95y 2 (n 1) x(n 2) a) Bestäm sambandet (överföringsoperator och differensekvation) mellan den utsända signalen x och den mottagna signalen y = y 1 + y 2. b) Ange hur man kan rekonstruera den ursprungliga signalen x ur den mottagna signalen y. Ett digitalt kommunikationssystem påverkas av brus. Brusets spektrum är koncentrerat till frekvenser > 4 khz medan den brusfria signalen som skall sändas består av frekvenser < 5 khz. För god signalrekonstruktion krävs att bruset dämpas med minst 50 db, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1%. a) Bestäm lämplig fönsterfunktion för att konstruera ett digitalt faslinjärt filter och uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna. Samplingsfrekvensen är 10 khz. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning.

18 En analog signal v(t) består av tre komponenter enligt v(t) = v 1 (t) + v 2 (t) + v 3 (t) där v 1 (t) består av frekvenser i intervallet MHz, v 2 (t) består av frekvenser i intervallet MHz och v 3 (t) består av frekvenser i intervallet MHz. Signalerna v 1 (t), v 2 (t) och v 3 (t) har konstruerats ur signaler x 1 (t), x 2 (t) och x 3 (t) med basbanden 0 1 MHz genom amplitudmodulering av bärvågor med frekvenserna 100, 103 respektive 106 MHz. Man önskar extrahera basbandsignalkomponenten x 2 (t) ur signalen v(t) samt representera signalen digitalt som en samplad signal {x 2 (nt s )}. Samplingsfrekvensen är begränsad till f s 10 MHz. Beskriv hur {x 2 (nt s )} kan konstrueras genom att - använda amplitudmodulering så att frekvensen ( MHz) hos signalkomponenten v 2 (t) tas ner till basbandet (mellan -1 MHz och +1 MHz), - filtrera bort frekvenskomponenter som förorsakar aliasing, - sampla den filtrerade analoga signalen, och - filtrera bort extra frekvenskomponenter digitalt vid behov.

19 Tentamen Bestäm den diskreta Fouriertransformen av sekvensen {x(n)} = {3, 2, 1, 0} med hjälp av FFT. Ange alla delsteg och delresultat i beräkningarna. En kontinuerlig periodisk signal x(t) har perioden T = 0.5 sekunder. a) Vilka frekvenskomponenter kan man vänta sig att hitta i signalen? b) Signalen samplas med samplingsfrekvensen f s = 100 Hz under 1 sekunds tid, och man bestämmer diskreta Fouriertransformen {X(0), X(1),..., X(N 1)} av den samplade sekvensen {x(nt s )}. Vilka element X(k) kan man vänta sig att inte försvinner? c) Kan man ur Fouriertransformen {X(k)} avgöra om det har förekommit aliasing eller frekvensvikning? En diskret signal som samplats med samplingsfrekvensen 16 khz påverkas av brus. Bruset är koncentrerat till frekvenser > 6 khz medan den brusfria signalen består av frekvenser < 5 khz. Man önskar dämpa bruset med minst 50 db, medan den brusfria signalen får påverkas med högst 1 db. a) Uppskatta vilken filterlängd som krävs för att uppnå specifikationerna om man använder ett faslinjärt lågpassfilter som konstrueras med hjälp av fönsterfunktion. b) Bestäm tiden (i sekunder) med vilken signalen verkar försenad på grund av filtrets fasförskjutning. Ett digitalt filter beskrivs av differensekvationen y(n) 0.9y(n 1) = x(n) Insignalen är en periodiskt oskillerande signal som ges av x(n) = ( 1) n, alla n a) Vilka frekvenser ingår i insignalen {x(n)} och utsignalen {y(n)}? b) Bestäm ett analytiskt uttryck för utsignalsekvensen {y(n)}. [Ledning: observera att utsignalens amplitud och fasförskjutning i förhållande till insignalen ges av filtrets frekvenssvar.]