Fouriertransformen av diskreta signaler
|
|
- Christer Bergman
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 4 Fouriertransformen av diskreta signaler I detta kapitel beskrivs Fouriertransformer av diskreta signaler. I analogi med det kontinuerliga fallet har periodiska diskreta signaler ett diskret spektrum, medan ickeperiodiska diskreta signaler har ett kontinuerligt spektrum. Betrakta en diskret signal {x(n)} = {..., x( 2), x( 1), x(0), x(1), x(2),...} (4.1) I analogi med det kontinuerliga fallet kan en diskret signal uttryckas med hjälp av periodiska sinus- och cosinusfunktioner. Då sinusfunktionen sin(ωt) samplas vid tidpunkterna {n} = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}, fås den diskreta signalen {sin(nω)}. I den diskreta versionen av Fourierserier och Fouriertransformer uttrycks sekvensen {x(n)} med hjälp av sekvenserna {sin(nω)} och {cos(nω)}. Det faktum att signalen är diskret har en viktig konsekvens för vilka frekvenser som kan ingå i frekvensrepresentationen. Vi har nämligen sin(nω) = sin(nω + 2πnl) = sin (n(ω + 2πl)), alla heltal l. (4.2) Sekvenserna {sin(nω)} och {sin(n(ω + 2πl))} är således ekvivalenta, och frekvenserna ω och ω + 2πl kan ej skiljas åt i en diskreta signal. En frekvensuppdelning av diskreta signaler består därför endast av frekvenser i ett intervall av bredden 2π, i praktiken antingen 0 ω < 2π eller π < ω π. Frekvensbeskrivningen av diskreta signaler kan göras på motsvarande sätt som i det kontinuerliga fallet. I analogi med det kontinuerliga fallet betraktar vi först periodiska signaler. 4.1 Fouriertransformen av periodiska diskreta signaler Antag att signalen {x(n)} är periodisk med perioden N, så att x(n) = x(n + N), alla n (4.3) 48
2 Vi observerar att den sinusformade diskreta signalen {sin( 2π n)} är periodisk med N perioden N. I analogi med det kontinuerliga fallet kan i utvecklingen av den periodiska sekvensen {x(n)} i (4.1), (4.3) endast ingå heltalsmultipler av grundfrekvensen ω 0 = 2π/N. Dessutom gäller (4.2), så att sin(nω 0 ) = sin ( n(ω 0 + 2πl) ) = sin ( n 2π N (1 + Nl)), alla heltal l (4.4) Följaktligen består Fourierserieutvecklingen av {x(n)} endast av frekvenserna 0, 2π/N, 2π 2 N 1,..., 2π, ty högre multipler av grundfrekvensen ger redundanta frekvenskomponenter. Fourierserieutvecklingen av {x(n)} blir N N således x(n) = a 0 + k=1 a k cos(k 2π N 1 N n) + k=1 b k sin(k 2π n) (4.5) N I analogi med det kontinuerliga fallet brukar serien vanligen uttryckas med hjälp av exponentialfunktionen, x(n) = k= N+1 c k e j2πkn/n (4.6) där vi i enlighet med tidigare har c 0 = a 0, c k = 1 2 (a k jb k ) och c k = 1 2 (a k + jb k ). Det finns emellertid en viktig skillnad mellan Fourierserieutvecklingarna av kontinuerliga och diskreta signaler, som gör det möjligt att reducera antalet termer i utvecklingen (4.6). Från den komplexa exponentialfunktionens periodicitet följer nämligen att termerna med negativa exponenter i (4.6) är ekvivalenta med termer med positiva exponenter, ty e j2π( m)n/n = e j2π( m)n/n+j2πn = e j2π(n m)n/n (4.7) Termerna motsvarande k = m och k = N m är således i själva verket ekvivalenta. Det följer att utvecklingen (4.6) kan reduceras till en summa från k = 0 till k = N 1 bestående av termer med enbart icke-negativa exponenter. Vi sammanfattar Fourierserieutvecklingen av en periodisk sekvens enligt nedan. Fourierserien av en diskret periodisk signal. En periodisk sekvens {x(n)} med perioden N (x(n + N) = x(n)) kan uttryckas med hjälp av serieutvecklingen där x(n) = d k = 1 N d k e j2πkn/n (4.8) x(n)e j2πkn/n (4.9) Uttrycket (4.9) för d k kan härledas genom att multiplicera (4.8) med e j2πmn/n och summera över n: N 1 1 x(n)e j2πmn/n = 1 N N 49 [ d k e j2πkn/n ] e j2πmn/n
3 För att evaluera summan = 1 N d k e j2π(k m)n/n e j2π(k m)n/n (4.10) definierar vi a = e j2π(k m)/n, så att e j2π(k m)n/n = [e j2π(k m)/n ] n = a n och introducerar formeln för en geometrisk summa, { N, om a = 1 a n = 1 a N, om a 1 (4.11) 1 a Nu gäller a = 1 om k m är en heltalsmultipel av N och a N = e j2π(k m) = 1 annars, så att (4.11) implicerar { N, om k m = 0, ±N, ±2N,... e j2π(k m)n/n = 0, annars (4.12) Den senare summan i (4.10) är således olikt noll endast om k m = 0, och (4.10) kan därför skrivas N 1 1 x(n)e j2πmn/n = d m (4.13) N vilket ger (4.9). Exempel 4.1. Betrakta en periodisk diskret fyrkantsvåg med perioden N = 4 som ges av x(0) = 1 x(1) = 1 x(2) = 0 (4.14) x(3) = 1 x(n) = x(n 4) Se figur 4.1. Signalen kan uppdelas i frekvenskomponenter enligt (4.8), bestående av frekvenskomponenterna 0, 2π/4, 2 2π/4 och 3 2π/4, där Fourierseriekoefficienterna d k definieras av ekvation (4.9). Enligt (4.9) fås d k = 1 3 x(n)e j2πkn/4 4 = 1 [ 1 e j2πk 0/4 + 1 e j2πk 1/ e j2πk 3/4] 4 = 1 4 [ 1 + e jπk/2 + e jπk 3/2] (4.15) 50
4 x(n) n Figur 4.1: Signalen i exempel 4.1. Från den komplexa exponentialfunktionens periodicitet följer att e jπk 3/2 = e jπk 3/2+jk 2π = e jπk/2 Vi får således med beaktande av Eulers formler, d k = 1 [ 1 + e jπk/2 + e jπk/2] 4 = 1 [1 + 2 cos (πk/2)] (4.16) 4 och Fourierseriekoefficienterna d 0, d 1, d 2, d 3 blir d 0 = 1 4 [1 + 2 cos(0)] = 3 4 d 1 = 1 4 [1 + 2 cos(π/2)] = 1 4 d 2 = 1 4 [1 + 2 cos(π)] = 1 4 (4.17) d 3 = 1 4 [1 + 2 cos(3π/2)] = 1 4 Figur 4.2 ilustrerar signalens spektrum grafiskt. Enligt (4.8) kan signalen {x(n)} utvecklas i frekvenskomponenter enligt x(n) = 3 d k e j2πkn/4 = ej2π1 n/4 1 4 ej2π2 n/ ej2π3 n/4 = [cos (πn/2) + j sin (πn/2)] [cos (πn) + j sin (πn)] + 1 [cos (3πn/2) + j sin (3πn/2)] (4.18) 4 51
5 d k π 0 π/2 3π/2 2π Figur 4.2: Spektret hos signalen i exempel 4.1. Här är sin(πn) = 0 och sin(3πn/2) = sin(3πn/2 2πn) = sin( πn/2) = sin(πn/2), varav följer att de imaginära termerna i (4.18) försvinner, och vi får x(n) = cos (πn/2) 1 4 cos (πn) + 1 cos (3πn/2) 4 = ( ) 2π 4 cos 4 n 1 ( 4 cos 2 2π ) 4 n + 1 ( 4 cos 3 2π ) 4 n (4.19) Detta uttrycker signalen explicit med hjälp av de ingående frekvenskomponenterna. Vi kan ytterligare observera att frekvenskomponenten 3 2π/4 är redundant, eftersom cos(3 2πn) = cos(3 2πn 2πn) = cos( 2πn) = cos( 2π n). Introduktion i ekvation (4.19) ger x(n) = cos ( 2π 4 n ) 1 4 cos ( 2 2π 4 n ) (4.20) Parsevals formel för diskreta periodiska signaler Parsevals relation gäller också i det diskreta fallet. Betrakta en periodisk diskret signal {x(n)} med perioden N. På analogt sätt som i det kontinuerliga fallet kan man visa att den genomsnittliga energin över en period kan uttryckas med hjälp av Fourierseriekoefficienterna d k enligt P (x) = 1 N x(n) 2 = d k 2 (4.21) Då resultatet kan visas helt i analogi med det kontinuerliga fallet, bortlämnas beviset. Problem 4.1. Verifiera att Parsevals relation gäller för signalen i exempel
6 4.2 Fouriertransformen av icke-periodiska diskreta signaler Liksom i det kontinuerliga fallet består en diskret icke-periodisk signal {x(n)} av ett kontinuum av frekvenser ω och kan uttryckas som en linjär kombination av periodiska diskreta sekvenser {e jωn }. I analogi med avsnitt 4.1 är frekvenserna dock begränsade till intervallet [0, 2π], pga periodiciteten hos exponentialfunktionen; e jωn = e j(ω+2πl)n. Fouriertransformen av en icke-periodisk sekvens kan uttryckas i följande form. Fouriertransformen av diskret icke-periodisk signal. En sekvens {x(n)} kan uttryckas i formen där x(n) = 1 2π X(ω) = 2π 0 n= X(ω)e jωn dω (4.22) x(n)e jωn (4.23) Funktionen X(ω) kallas Fouriertransformen av sekvensen {x(n)}. Observera att Fouriertransformen (4.23) av en diskret signal är en kontinuerlig funktion av frekvensen ω. Ibland kallas transformen (4.23) den diskreta Fouriertransformen av {x(n)}, men vanligen reserveras denna term för en transform som själv också är diskret, jämför avsnitt 4.3. Anmärkning 4.1. Från periodiciteten hos exponentialfunktionen e jωn följer att Fouriertransformen X(ω) definierad enligt (4.23) är periodisk med perioden 2π; X(ω +2πl) = X(ω). Den inversa transformen (4.22) kan därför också skrivas som x(n) = 1 2π π π X(ω)e jωn dω (4.24) Vilkendera formen som används beror av sammanhanget. I formeln (4.22) ingår endast positiva frekvenser, vilket är naturligt i samband med den diskreta Fouriertransformen (avsnitt 4.3). Formeln (4.24) i sin tur uttrycker sekvensen {x(n)} med hjälp av de till absoluta beloppet minsta frekvenserna, vilket är naturligt då man undersöker sekvenser som fås genom att sampla kontinerliga signaler (jämför kapitel 6). Problem 4.2. Betrakta den diskreta rektangulära pulsfunktionen { 1, n L x(n) = 0, n > L Visa att signalens Fouriertransform ges av X(ω) = sin(ω(l )) sin(ω/2) (4.25) (4.26) 53
7 4.2.1 Parsevals formel för diskreta icke-periodiska signaler Enligt Parsevals relation för icke-periodiska diskreta sekvenser kan energin, eller l 2 - normens kvadrat (avsnitt 2.2) utryckas enligt x 2 2 = x(n) 2 = 1 2π X(ω) 2 dω (4.27) 2π 0 n= Resultatet kan visas helt i analogi med det kontinuerliga fallet, och beviset bortlämnas. 4.3 Den diskreta Fouriertransformen I avsnitt 4.2 bildades Fouriertransformen av sekvenser {x(n)} som antogs vara definierade för alla n, < n <. Detsamma gäller för den periodiska sekvensen i avsnitt 4.1. I praktiken har man dock normalt tillgång till en ändlig sekvens bestående av N signalvärden, {x(n)} = {x(0), x(1), x(2),..., x(n 1)} (4.28) och utan någon kunskap om x(n) utanför intervallet 0 n N 1. Betrakta Fouriertransformen enligt (4.23). Ur N stycken värden x(0),..., x(n 1) kan endast N stycken oberoende värden för transformen X(ω) beräknas. Man kan då specificera N frekvenser ω 0,..., ω N 1 och beräkna motsvarande transformvärden X(ω 0 ),..., X(ω N 1 ). Vi såg tidigare att den högsta frekvens som behöver medtas i Fourierutvecklingen för en diskret signal är frekvensen 2π. Dessutom begränsas den upplösning med vilken signalens spektrum kan bestämmas av sekvensens längd. En periodisk sinusformad signal med vinkelfrekvensen 2π/N har en period lika med sekvensens längd N. Det är i praktiken inte möjligt att bestämma signalens spektrum med en upplösning som motsvarar en period som är längre än sekvensens längd. En undre gräns för frekvensupplösningen ges således av 2π/N. Det följer att det är det naturligt att evaluera X(ω) för de N ekvidistanta frekvensvärdena 0, 2π/N, 2π 2/N,..., 2π (N 1)/N. Men dessa frekvenser är ingenting annat än heltalsmultiplerna av grundfrekvensen ω 0 = 2π/N, som förekom i Fourierserieutvecklingen (4.8). Följaktligen ges de N värdena X(0), X(2π/N), X(2π2/N),..., X(2π(N 1)/N) av transformen som kan beräknas ur de N signalvärdena x(0),..., x(n 1) av samma ekvation (4.9), som gällde för periodiska signaler. Detta resultat är naturligt, eftersom beteendet hos en frekvensutveckling av den ändliga sekvensen (4.28) utanför 0 n N 1 är likgiltigt: eftersom signalen är okänd utanför intervallet 0 n N 1, så kan frekvensutvecklingen lika väl bestämmas så att den är periodisk utanför detta intervall. Vi har således följande diskreta transform av en ändlig diskret sekvens. Diskreta Fouriertransformen. En ändlig sekvens {x(0), x(1),..., x(n 1)} kan uttryckas med hjälp av serieutvecklingen x(n) = 1 N X(k)e j2πkn/n, n = 0,..., N 1 (4.29) 54
8 där X(k) = x(n)e j2πkn/n, k = 0, 1,..., N 1 (4.30) Transformen i X(k) enligt ekvation (4.30) kallas diskreta Fouriertransformen (DFT) av sekvensen {x(n)} och den inversa transformen definierad enligt ekvation (4.29) kallas den inversa diskreta Fouriertransformen (IDFT) av sekvensen {X(k)}. Observera att transformerna uppvisar en symmetri: sekvenserna {x(n)} och {X(k)} består båda av N element, och den ena transformen övergår till den andra genom att ändra tecknet för summeringsvariabeln samt beaktande av faktorn 1/N. Det är ändamålsenligt att införa en speciell beteckning för DFT. Vi betecknar DFT enligt (4.30) med F D och den inversa operationen (4.29) med FD 1 : {X(k)} = F D {x(n)} {x(n)} = FD 1 {X(k)} (4.31) Observera också att den diskreta Fouriertransformen (4.30), (4.29) och Fourierserien av en periodisk sekvens, ekvationerna (4.8) och (4.9) är ekvivalenta så när som på placeringen av faktorn 1/N, så att X(k) = Nd k. Placeringen av faktorn 1/N i de två transformerna är närmast en konventionsfråga. Exempel 4.2. Betrakta sekvensen {x(n)} = {1, 0, 0, 1}. Den diskreta Fouriertransformen ges av (4.30), 3 X(0) = x(n)e j0 = = 2 och På samma sätt fås 3 X(1) = x(n)e j2πn/4 = e j2π3/4 = 1 + cos ( 3π ) ( 3π ) + j sin 2 2 = 1 + j X(2) = 0, och X(3) = 1 j. Problem 4.3. Kontrollera att den inversa diskreta Fouriertransformen tillämpad på den i exempel 4.2 beräknade Fourier-transformen {X(k)} = {2, 1 + j, 0, 1 j} genererar sekvensen {x(n)}. Beräkning av den diskreta Fouriertransformen och dess invers utgör en av de viktigaste manipulationerna i digital signalbehandling. Effektiva numeriska metoder, s.k. snabba Fouriertransformer, har utvecklats för lösning av transformerna (4.30) och (4.29), jämför avsnitt
9 4.3.1 Egenskaper hos DFT Den diskreta Fouriertransformen har ett antal egenskaper som kan utnyttjas för att förenkla beräkningarna och i samband med olika tillämpningar. Här skall endast ett par av de viktigaste upptas. För en mera fullständig behandling hänvisas till Ifeachor och Jervis (1993). Symmetri. Den diskreta Fouriertransformen av en rell sekvens {x(n)} satisfierar eller X(N k) = X (k), k = 1,..., N 1 (4.32) Re[X(N k)] = Re[X(k)] Im[X(N k)] = Im[X(k)], k = 1,..., N 1 (4.33) Denna egenskap följer från den komplexa exponentialfunktionens periodicitet. Betrakta exponentialfunktionerna i uttrycket för X(N k) i ekvation (4.30), e j2π(n k)n/n = e j2πkn/n j2π = e j2πkn/n = [e j2πkn/n ] (4.34) Detta är komplexa konjugatet till exponentialfunktionerna i uttrycket för X(k). Sambandet (4.34) och definitionen av X(k) i (4.30) implicerar symmetrin enligt (4.32). Parsevals formel. (4.21) och ges av Parsevals formel för diskreta Fouriertransformen är analog med x 2 2 = x(n) 2 = 1 N X(k) 2 (4.35) Observera att placeringen av faktorn 1/N skiljer sig från den i formel (4.21). Detta hänger ihop med placeringen av samma faktor i definitionerna av Fourierseriekoefficienterna d k respektive diskreta Fouriertransformen X(k). DFT av delta-funktionen. Definiera delta-funktionen { 1, n = 0 δ(n) = 0, n 0 Den diskreta Fouriertranformen av delta-funktionen ges av (4.36) X(k) = F D [δ(n)] = 1, k = 0,..., N 1 (4.37) och den diskreta Fouriertransformen av den tidsförskjutna delta-funktionen δ(n l) ges av X(k) = F D [δ(n l)] = e j2πkl/n (4.38) Problem 4.4. Verifiera att den i exempel 4.2 beräknade diskreta Fouriertransformen uppfyller symmetriegenskapen i ekvation (4.32). Problem 4.5. Verifiera Parsevals formel för signalen i exempel
10 4.4 Numerisk beräkning av DFT: Den snabba Fouriertransformen Vid beräkning av den diskreta Fouriertransformen för en sekvens av längden N kräver beräkningen av varje X(k), k = 0,..., N 1 enligt ekvation (4.30) N multiplikationer och N 1 additioner av komplexa tal. Bestämning av den diskreta Fouriertransformen för en sekvens av längden N kräver således N 2 komplexa multiplikationer och N(N 1) komplexa additioner. Detta kan i praktiken innebära en ansenlig mängd beräkningar, vilket följande exempel visar. Exempel 4.3. Antag att vi önskar beräkna spektret hos en signal i audioområdet genom sampling av signalen och DFT av den samplade sekvensen (Svärdström, 1987). Spektret skall bestämmas upp till 20 khz och med en upplösning om 10 Hz. För att få med frekvenser upp till 20 khz måste signalen samplas med en samplingsfrekvens som är minst det dubbla, dvs 40 khz (jämför kapitel 6). För att få upplösningen 10 Hz bör signalen samplas under minst 1/10 = 0.1 sekunds tid (jämför avsnitt 4.3). Det signalblock som DFT skall tillämpas på består således av (minst) N = = 4000 sampel. Detta innebär ca N 2 = 16 miljoner komplexa multiplikationer och additioner per signalblock. Om beräkningarna skall utföras i realtid, så att spektret bestäms för ett nytt signalblock 10 ggr/s, krävs alltså ca 160 miljoner komplexa multiplikationer och additioner per sekund. Exemplet ovan visar att antalet räkneoperationer blir mycket stort redan för relativt korta signalsekvenser. Även med tillgång till stor datorkapacitet skulle tillämpningen av den diskreta Fouriertransformen vara starkt begränsad om det inte funnes effektivare metoder att beräkna transformen. Lyckligtvis visar det sig att beräkningarna i den diskreta Fouriertransformen kan organiseras på ett sätt som drastiskt minskar på antalet beräkningsoperationer. Detta är möjligt genom observationen att Fouriertransformen kan uttryckas som en summa av transformerna av två kortare sekvenser, vilka i sin tur kan uttryckas som summor av två kortare sekvenser osv, tills man får en summa av sekvenser av längden ett. Den ursprungliga transformen kan sedan konstrueras genom successiv addition av kortare transformer. Denna beräkningsprocedur kallas snabba Fouriertransformen (eng. Fast Fourier Transform (FFT)). För att härleda snabba Fouriertransformen, betrakta uttrycket i (4.30), X(k) = Introducera beteckningen x(n)e j2πkn/n, k = 0, 1,..., N 1 (4.39) W N = e j2π/n (4.40) 57
11 så att ekvationen för X(k) skrivs i formen X(k) = x(n)w kn N, k = 0, 1,..., N 1 (4.41) Vi antar nu att N är jämnt, och delar upp sekvensen {x(n)} i två underserier: {x 11 (n)} = {x(0), x(2),..., x(n 2)} bestående av element med jämnt ordningsnummer, och {x 12 (n)} = {x(1), x(3),..., x(n 1)}, bestående av element med udda ordningsnummer, dvs x 11 (n) = x(2n), n = 0,..., N/2 1 (4.42) x 12 (n) = x(2n + 1), n = 0,..., N/2 1 (4.43) De diskreta Fouriertransformerna av sekvenserna {x 11 (n)} och {x 12 (n)} ges av X 11 (k) = X 12 (k) = N/2 1 N/2 1 x 11 (n)w kn N/2, k = 0, 1,..., N/2 1 (4.44) x 12 (n)w kn N/2, k = 0, 1,..., N/2 1 (4.45) där W N/2 definierats i analogi med (4.40) som W N/2 = e j2π/(n/2) = e ( j2π/n)2 = W 2 N. Å andra sidan har vi från (4.41), X(k) = = = = N/2 1 N/2 1 N/2 1 x(n)w kn N N/2 1 x(2n)wn k2n + N/2 1 x 11 (n)wn 2kn + N/2 1 x 11 (n)wn/2 kn + x(2n + 1)W k(2n+1) N x 12 (n)w 2kn N W k N x 12 (n)w kn N/2 W k N = X 11 (k) + X 12 (k)w k N, k = 0, 1,..., N/2 1 (4.46) Från den komplexa exponentialfunktionens periodicitet har vi W (k+n/2)n N/2 = W kn N/2, varav följer X 11 (k + N/2) = X 11 (k) och X 12 (k + N/2) = X 12 (k), så att den senare hälften av sekvensen {X(k)} ges av X(k + N/2) = X 11 (k) + X 12 (k)w k+n/2 N, k = 0, 1,..., N/2 1 (4.47) Man brukar uttrycka (4.47) med hjälp av samma komplexa exponent som förekommer i (4.46) genom att utnyttja sambandet W k+n/2 N = e j(2π/n)(k+n/2) = e j(2π/n)k e jπ = W k N (4.48) 58
12 Vi får alltså X(k + N/2) = X 11 (k) X 12 (k)w k N, k = 0, 1,..., N/2 1 (4.49) Vi har alltså visat, att genom att dela upp den ursprungliga sekvensen {x(n)} i de två underserierna {x 11 (n)} och {x 12 (n)} bestående av jämna respektive udda sampel så kan Fouriertransformen X(k) av den ursprungliga serien uttryckas med hjälp av Fouriertransformerna X 11 (k) och X 12 (k) av de två underserierna enligt X(k) = X 11 (k) + WNX k 12 (k), k = 0, 1,..., N/2 1 (4.50) X(k + N/2) = X 11 (k) WNX k 12 (k), k = 0, 1,..., N/2 1 (4.51) Operationen (4.50), (4.51 brukar p.g.a. sin struktur kallas butterfly operationen. Se figur 4.3. X 11 (k) + W N k X 12 (k) X(k) X(k + N/2) Figur 4.3: Butterfly operationen (4.50), (4.51). Om underserierna {x 11 (n)} och {x 12 (n)} i sin tur har ett jämnt antal element kan samma procedur utnyttjas för beräkning av transformerna X 11 (k) och X 12 (k) så att X 11 (k) uttrycks med hjälp av transformerna X 21 (k) och X 22 (k) av två underserier av längden N/4, och X 12 (k) uttrycks på samma sätt med hjälp av transformerna X 23 (k) och X 24 (k) av två underserier av längden N/4. Om antalet element i den ursprungliga serien är en heltalspotens av två, N = 2 B, så kan proceduren fortsättas B gånger. Efter i steg har man 2 i transformer X im (k), m = 1,..., 2 i av underserier av längden N/2 i. Efter B steg har man alltså N = 2 B transformer av underserier som innehåller endast ett element. Den diskreta Fouriertransformen av en serie med endast ett element är lika med elementet, jämför definitionen (4.30). Den sökta Fouriertransformen av den ursprungliga sekvensen kan till slut bestämmas genom successiv tillämpning av ekvationerna (4.50), (4.51) för generering av 2 i Fouriertransformer av längden N/2 i för i = B 1,..., 0. 59
13 Exempel 4.4. Betrakta FFT av en sekvens x(0),..., x(7) av längden åtta. Här är alltså N = 2 3 = 8 och B = 3. I detta fall har vi i steg 1 av proceduren de två undersekvenserna och motsvarande transformer I steg 2 har vi de fyra undersekvenserna {x 11 (n)} = {x(0), x(2), x(4), x(6)} {x 12 (n)} = {x(1), x(3), x(5), x(7)} X 11 = F D {x 11 (n)} X 12 = F D {x 12 (n)} {x 21 (n)} = {x(0), x(4)} {x 22 (n)} = {x(2), x(6)} {x 23 (n)} = {x(1), x(5)} {x 24 (n)} = {x(3), x(7)} bestående av element med jämna och udda ordningsnummer i sekvenserna {x 11 (n)} och {x 12 (n)}, och motsvarande transformer X 21 = F D {x 21 (n)} X 22 = F D {x 22 (n)} X 23 = F D {x 23 (n)} X 24 = F D {x 24 (n)} I steg 3 slutligen har vi åtta sekvenser bestående av ett element, {x 31 (n)} = x(0) {x 32 (n)} = x(4) {x 33 (n)} = x(2) {x 34 (n)} = x(6) {x 35 (n)} = x(1) {x 36 (n)} = x(5) {x 37 (n)} = x(3) {x 38 (n)} = x(7) samt motsvarande transformer, som i detta fall är triviala, X 31 = F D {x 31 (n)} = x(0) X 32 = F D {x 32 (n)} = x(4) X 33 = F D {x 33 (n)} = x(2) 60
14 X 34 = F D {x 34 (n)} = x(6) X 35 = F D {x 35 (n)} = x(1) X 36 = F D {x 36 (n)} = x(5) X 37 = F D {x 37 (n)} = x(3) X 38 = F D {x 38 (n)} = x(7) Fouriertransformen av den ursprungliga sekvensen kan beräknas genom att successivt tillämpa formlerna (4.50), (4.51) för beräkning av X 21 ur X 31 och X 32, X 22 ur X 33 och X 34, X 23 ur X 35 och X 36, X 24 ur X 37 och X 38, samt X 11 ur X 21 och X 22, X 12 ur X 23 och X 24, och till slut X ur X 11 och X 12. Innan algoritmen startas bör den ursprungliga sekvensen permuteras så att de korrekta kombinationerna av element fås för algoritmens första fas. I exemplet ovan kombineras i algoritmens första fas x(0) med x(4), x(2) med x(6), x(1) med x(5) och x(3) med x(7). Det visar sig att den permuterade sekvensen för FFT algoritmen, i detta fall sekvensen x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7), är den ursprungliga sekvensen i bitreverserad ordning. Detta innebär att n = 0,..., N 1 skrivs som binära tal, bitarnas ordningsföljd inverteras, och de nya binära talen definerar den sökta ordningsföljden. Tabell 4.1 illustrerar situationen för N = 8. Ursprunglig Adress Bitreverserad FFT sekvens adress inserie x(0) x(0) x(1) x(4) x(2) x(2) x(3) x(6) x(4) x(1) x(5) x(5) x(6) x(3) x(7) x(7) Tabell 4.1: Permutation av sekvens för FFT med bitreversering. Observera att varje fas i FFT-algoritmen är av samma typ, och proceduren kan därför programmeras på ett mycket enkelt sätt. I varje fas beräknas ett antal transformer X im från två hälften så långa transformer X i+1,l, X i+1,l+1 från föregående fas. Byggstenen i beräkningarna utgörs av formlerna (4.50), (4.51). Formlerna kallas på engelska för butterfly pga strukturen hos den grafiska representationen av dem, jämför figur 2.4 i Ifeachor och Jervis (1993). Enligt formlerna (4.50) och (4.51) beräknas två element i transformen X im samtidigt. Då beräkningarna utförts behövs elementen på höger sida i formlerna inte mera i beräkningarnas senare skeden. I ekvationerna (4.50) och (4.51) kan resultaten X(k) och X(k + N/2) därför sparas i samma minnespositioner som upptogs av X 11 (k) och X 12 (k). Detta meför att algoritmen inte kräver flera 61
15 minnespositioner för lagring av de beräknade transformerna än antalet element i den ursprungliga serien. Antalet beräkningar som FFT algoritmen kräver kan bestämmas på följande sätt. Antag att sekvensens längd är N = 2 B. Algoritmen består då av B = log 2 N faser. I steg i (från slutet) har man 2 i transformer av längden N/2 i. Totalt beräknas alltså N element i varje fas av algoritmen. Elementen räknas ut parvis med hjälp av butterfly - proceduren (4.50), (4.51). Totalt behövs således (N/2) log 2 N butterfly -beräkningar. Varje butterfly består av en komplex multiplikation av formen W k NX im (k) och två komplexa additioner. Det följer att FFT totalt fordrar (N/2) log 2 N komplexa multiplikationer och N log 2 N komplexa additioner. För realistiska värden på N innebär detta en avsevärd reduktion av antalet beräkningar jämfört med en direkt beräkning av diskreta Fouriertransformen (N 2 multiplikationer respektive N(N 1) additioner). Se tabell 2.3 i Ifeachor och Jervis (1993) för en numerisk jämförelse av antalet operationer för olika N. En ytterligare fördel med FFT algoritmen är att då antalet operationer är mindre, så blir även avrundningsfelen mindre. Beräkningen av Fouriertransformen med hjälp av FFT sker således inte bara snabbare, utan också med större noggrannhet. Den snabba Fouriertransformen introducerades år 1965 av de amerikanska forskarna av James W. Cooley och John W. Tukey. Cooley-Tukey algoritmen utökade betydligt möjligheterna att tillämpa Fourieranalys i praktiken. Med beaktande av den centrala roll som Fourieranalys har inom signalbehandlingstillämpningar, så har FFT inneburit en signifikant innovation. Den anses av många utgöra det viktigaste enskilda bidraget inom numerisk analys under hela 1900-talet. Problem 4.6. Bestäm antalet operationer som krävs i exempel 4.3 om Fouriertransformen beräknas med hjälp av den snabba Fouriertransformen. Hur stor är den procentuella minskningen i beräkningsarbete jämfört med en direkt beräkning av diskreta Fouriertransformen? Problem 4.7. Bestäm diskreta Fouriertransformen av sekvensen i exempel 4.2, {x(n)} = {1, 0, 0, 1}, med hjälp av FFT. Den inversa snabba Fouriertransformen. Den snabba Fouriertransformen kan enkelt modifieras för beräkning av den inversa diskreta Fouriertransformen i ekvation (4.29). Den inversa transformen används för att beräkna signalsekvensen från motsvarande spektrum. Ekvationerna (4.29) och (4.30) visar att FFT algoritmen kan modifieras för beräkning av den inversa transformen genom att ändra den komplexa exponentens tecken samt beaktande av faktorn 1/N. Modifiering för generella sekvenslängder N. Den snabba Fouriertransformen har ovan utvecklats för sekvenser av längden N = 2 B. Den är enklast att tillämpa för detta fall, eftersom alla underserierna utom de sista 62
16 då består av ett jämnt antal element. Metoden kan emellertid enkelt generaliseras till sekvenser av godtycklig längd genom att beakta att uppdelningarna i underserier kan leda till serier av olika längder. Algoritmen blir emellertid något mera komplicerad i det generella fallet. Decimering i frekvens FFT. Den ovan beskrivna FFT-algoritmen erhölls genom upprepad dekomposition av den diskreta Fouriertransformen i två kortare transformer, en som baserar sig på jämna termer i sekvensen, och en som baserar sig på de udda termerna. Detta förfarande kallas decimering i tid. Ett alternativt sätt är att tillämpa decimering i frekvens. Härvid uppdelas transformen i varje steg upp i två transformer, en som baserar sig på den förra halvan av datasekvensen, och en som baserar sig på den senare halvan. Det bör observeras, att effektiva implementeringar av FFT innehåller ytterligare en mängd finesser för att försnabba beräkningarna. En behandling av dessa, delvis mycket avancerade, detaljer faller dock utanför denna kurs Ett exempel OFDM Vi skall till slut diskutera ett viktigt tillämpningsexempel av FFT inom telekommunikation. Exempel 4.5. I avsnitt såg vi att en digital signal kan överföras genom att modulera fasen och/eller amplituden hos en sinusformad signal. En sinusformad signal uttnyttjar ett mycket smalt frekvensband, vilket är ineffektivt om man har ett givet frekvensband ω min ω ω max till förfogande. Då kan överföringshastigheten ökas genom att samtidigt sända flera modulerade sinusformade signaler med frekvenserna ω i = ω min + i M (ω max ω min )/, i = 0, 1,..., M 1, dvs x 0 (t) = A 0 cos(ω 0 t + φ 0 ) x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + φ 1 ). x M 1 (t) = A M 1 cos(ω M 1 t + φ M 1 ) där värdet hos amplituderna A k och faserna φ k representerar en bitsekvens av given längd, som beror på antalet möjliga amplituder och faser som används, jfr avsnitt I princip kunde sinus-signalerna x 0 (t),..., x M 1 (t) genereras separat och transmitteras genom amplitudmodulering av en bärvåg såsom i problem 3.2. Detta kräver M stycken parallella oskillatorer med frekvenserna ω 0,..., ω M 1, och är i praktiken inte realiserbart med tillräcklig noggrannhet om frekvenserna är tätt placerade och deras antal är stort. Metoden har därför blivit praktiskt tillämpbar först då det blev möjligt att konstruera den sammansatta signalen bestående av frekvenskomponenterna x 0 (t) x M 1 (t) digitalt. Detta kan utföras med hjälp av inversa diskreta Fouriertransformen, och effektiv implementering med FFT algoritmen. 63
17 avbildning s 0 G 0 X(0) {s(n)} G 1. X(1) IFFT s M 1 X(M 1) G M 1 {x(n)} x a (t) D/A cos(ω b t) x ut (t) Figur 4.4: Sändning av OFDM signal. ekvivalenta. Observera att avbildningarna G k ej behöver vara Denna princip utnyttjas i OFDM (Orthogonal Frequency-Division Multiplexing), en teknik för digital kommunikation som bl.a. är europeisk standard för digital TV. I denna metod konstrueras de sinusformade signalkomponenterna i form av Fourierseriekomponenter. Detta kan åstadkommas på följande sätt. Den digitala signalen {s(n)} i figur 4.4 uppdelas först i parallella signaler (eller bitsekvenser) s 0,..., s M 1. Dessa avbildas sedan till komplexa tal X(k), k = 0, 1,..., M 1. Avbildningen från bitsekvenserna till de komplexa talen X(k) kan basera sig på amplitud och/eller fasmodulering. Vid binär PSK (jfr avsnitt 3.1.1) kan varje X(k) anta två värden, vilket möjliggör representation av totalt M bitar, medan 4-PSK, med fyra möjliga värden hos koefficienterna X(k) representarar 2M bitar. De komplexa talen X(k), k = 0, 1,..., M 1 bildade på detta sätt kan tas som de M = N/2+1 första Fourierseriekoefficienterna hos en reellvärd sekvens x(n) av längden N. Den senare delen av transformen definieras då entydigt genom symmetriegenskapen (4.32), X(N k) = X (k). Ur Fouriertransformen X(k) bildad på detta sätt kan en diskret signal x(n) bildas enligt (4.29) med hjälp av snabba inversa Fouriertransformen (IFFT), dvs x(n) = 1 N = N/2 X(k)e j2πkn/n A k cos( 2πk N n + φ k) (4.52) där A k = 2N X(k), och φ k = arg(x(k)). Signalen x(n) bildad på detta sätt består då av de normerade basbandsfrekvenserna 0, 1/N, 2/N,..., 1/2 (antas att N divisibel med 2). Enligt konstruktionen är den digitala signalen finns kodad i frekvenskomponenternas faser φ k och amplituder A k. För 64
18 invers avbildning Y (0) G 1 0 y in (t) ỹ(t) cos(ω b t) H LP y LP (t) A/D y(t) FFT Y (1) Y (M 1) G 1 1. G 1 M 1 {ŝ(n)} Figur 4.5: Mottagning av OFDM signal. dataöverföring med hjälp av elektromagnetisk strålning bildas ur {x(n)} med digitaltill-analog konvertering en kontinuerlig signal x a (t), så att x a (t) = N/2 A k cos( 2πk N f st + φ k ) (4.53) där f s är samplingsfrekvensen, se figur 4.4. Till slut används amplitudmodulering för att bilda en högfrekvent signal x ut (t) som transmitteras. Den transmitterade signalen innehåller frekvenserna ω b + 2πk N f s, k = N/2,..., 1, 0, 1,..., N/2 (4.54) där ω b är bärvågens frekvens (jfr problem 3.2). Vid mottagaren (figur 4.5) demoduleras den mottagna högfrekventa signalen y in (t) genom multiplikation med bärvågen cos(ω b t). Eftersom signalens frekvensinnehåll inte påverkas av kommunikationskanalens dynamik (under antagande att denna är linjär), består den mottagna signalen y in (t) av frekvenskomponenterna (4.54). I analogi med problem 3.2 består den resulterande signalen ỹ(t) = y in (t) cos(ω b t) då av frekvenserna ( ω LF,k = ω b ω b + 2πk ) N f s, k = N/2,..., 1, 0, 1,..., N/2 och ( ω HF,k = ω b + ω b + 2πk ) N f s, k = N/2,..., 1, 0, 1,..., N/2 65
19 Här är frekvenskomponenterna ω LF,k ekvivalenta med frekvenskomponenterna hos den utsända signalen {x(n)}. Filtrering av signalen ỹ(t) med ett lågpassfilter H LP som spärrar de höga frekvenserna ω HF,k centrerade vid 2ω c genererar således en signal y LP (t) med samma frekvenskomponenter som den transmitterade signalen x a före modulering. Diskretisering av y LP (t) med samma samplingsfrekvens som vid sändaren ger således en periodisk diskret signalsekvens {y(n)} med samma frekvensinnehåll som signalen {x(n)} vid sändaren. I likhet med avsnitt påverkar kommunikationskanalen frekvenskomponenternas amplituder och faser, men denna inverkan kan alltid kompenseras om den är känd. Fouriertransformen Y (k) av signalen {y(n)} ger då en skattning av de komplexa talen X(k) vid sändaren. Den utsända digitala signalen {s(n)} kan således rekonstrueras genom invers avbildning av de komplexa talen Y (k) till motsvarande bitsekvenser, samt kombinering av dessa till mottagen digital signal {ŝ(n)}, jfr figur 4.5. Det bör noteras att denna beskrivning av OFDM är mycket förenklad. I praktiken är det t.ex. bekvämare att bilda en komplexvärd sekvens {x(n)} vid sändaren, vars reella och imaginära komponenter sedan behandlas separat. En annan viktig detalj som vi inte diskuterat i detta sammanhang är längden hos de periodiska signalerna x a (t) enligt (4.53) som används för att sända en symbol. I praktiken behövs ett intervall T g (guard interval) mellan symbolerna för att undvika interferens mellan två symboler på grund av kommunikationskanalens dynamik, t.ex. vid flervägsutbredning orsakad av reflekterande komponenter. Ett viktigt krav för att frekvenskomponenterna skall kunna bestämmas ur den mottagna signalen är att signalen upptas över en heltalsmultipel av signalens period N/f s. Detta är ekvivalent med villkoret att frekvenskomponenterna är ortogonala, därav förkortningen OFDM ortogonal frekvensuppdelningsmultiplexing. I digital television (DVB-T standarden) används frekvensband med bredden 8 MHz, och antalet frekvenskomponenter är 2048, 4096 eller 8192 (2k, 4k respektive 8k). Bärvågens frekvens är typiskt några hundra ( ) MHz. 66
Signaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs merGRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen
GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merFOURIERANALYS En kort introduktion
FOURIERAALYS En kort introduktion Kurt Hansson 2009 Innehåll 1 Signalanalys 2 2 Periodiska signaler 2 3 En komplex) skalärprodukt 4 4 Fourierkoefficienter 4 5 Sampling 5 5.1 Shannon s teorem.................................
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merUlrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Fouriertransformer Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier 768-830 Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga signaler
Läs merUlrik Söderström 19 Jan Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merTeori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Teori... Dagens meny
Tidigare har vi gått igenom Fourierserierepresentation av periodiska signaler och Fouriertransform av icke-periodiska signaler. Fourierserierepresentationen av x(t) ges av: där a k = 1 T + T a k e jkω
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs mer7. Sampling och rekonstruktion av signaler
Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier
Läs merImplementering av digitala filter
Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det
Läs mer2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.
Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter. ktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms1 + ν rms +...
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2004-06-0 kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 0.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merTillämpad Fysik Och Elektronik 1
FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Fouriertransformer Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier 1768-1830 Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga
Läs merLösningar till Övningsuppgifter
Lösningar till Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 07 Department of Electrical and Information Technology Lund
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merDiskret representation av kontinuerliga signaler
Kapitel 6 Diskret representation av kontinuerliga signaler I digital signalbehandling är det vanligt att en kontinuerlig signal representeras i form av en diskret sekvens, t.ex. för att överföras eller
Läs merSignalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, MVE030 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den här laborationen har två syften: dels att visa lite på hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man bör
Läs merDiskreta signaler och system
Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 6 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM9 0-0-0. a) Summan är geometrisk med kvoten q = / och termer. Alltså, 50 k = 50 k+ = k ) ) ) ) =. k= k= b) Från definitionen av binomialkoefficienter ser vi att ) ) n n nn ) 6 = = =
Läs merKontinuitet och gränsvärden
Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika
Läs merSignaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merEXEMPEL 1: ARTVARIATION FÖRELÄSNING 1. EEG frekvensanalys EXEMPEL 2: EEG
FÖRELÄSNING EXEMPEL : ARTVARIATION Kurs- och transform-översikt. Kursintroduktion med typiska signalbehandlingsproblem och kapitelöversikt. Rep av transformer 3. Rep av aliaseffekten Givet: data med antal
Läs merSamtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät
Samtidig visning av alla storheter på 3-fas elnät Med nätanalysatorerna från Qualistar+ serien visas samtliga parametrar på tre-fas elnätet på en färgskärm. idsbaserad visning Qualistar+ visar insignalerna
Läs merSpektralanalys - konsten att hitta frekvensinnehållet i en signal
Spektralanalys - konsten att hitta frekvensinnehållet i en signal Bengt Carlsson, Erik Gudmundson och Marcus Björk Systems and Control Dept. of Information Technology, Uppsala University 7 november 013
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merLaboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform
Laboration i Fourieranalys, TMA132 Signalanalys med snabb Fouriertransform Den laborationen har syften: dels att visa lite hur den snabba Fouriertransformen fungerar, och lite om vad man den an dels att
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merFöreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder. Leif Sörnmo 4 oktober 2009
Föreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder Leif Sörnmo 4 oktober 2009 1 Metoder för spektralskattning icke-parametriska korrelogram, periodogram fönstring, medelvärdesbildning minimum-varians
Läs merEuler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom
46 Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom Lars Hörmander Lunds Universitet Datorer gör det möjligt att genomföra räkningar som tidigare varit otänkbara, exempelvis att beräkna summan
Läs merDatorövning: Fouriertransform med Python
Datorövning i Elektromagnetism och vågor (FK5019) Övningsledare: bart.pelssers@fysik.su.se & ashraf@fysik.su.se Datorövning: Fouriertransform med Python Skicka in individuellt skrivna rapporter på engelska
Läs merTentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30
Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20
Läs merDT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merFöreläsning 3: Dekomposition. Dekomposition
Föreläsning 3: Dekomposition Dekomposition Dekomposition är en generell metod för att lösa problem Metoden bygger på att man delar upp ett problem i delproblem av samma typ som ursprungsproblemet Uppdelningen
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merRita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 003-08-5, kl. 14.00 19.00. 5B10/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3) krävs 18 poäng, medan
Läs merÖvningsuppgifter. Digital Signal Processing. Övningar med svar och lösningar. Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson. rev.
Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 17 Department of Electrical and Information Technology Lund University Introduktion
Läs mer2 Laborationsutrustning
Institutionen för data- och elektroteknik 2002-02-11 1 Inledning Denna laboration syftar till att illustrera ett antal grundbegrepp inom digital signalbehandling samt att närmare studera frekvensanalys
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merTillämpning av komplext kommunikationssystem i MATLAB
(Eller: Vilken koppling har Henrik Larsson och Carl Bildt?) 1(5) - Joel Nilsson joelni at kth.se Martin Axelsson maxels at kth.se Sammanfattning Kommunikationssystem används för att överföra information,
Läs merMer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012
Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 22. Exponentiella Fourierserier Vi ska i detta avsnitt se hur periodiska funktioner kan framställas i serieform med användning av den komplexa exponentialfunktionen.
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merLaboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT)
Laboration i Fourieranalys för F2, TM2, Kf2 2011/12 Signalanalys med snabb Fouriertransform (FFT) Den här laborationen har två syften: dels att visa hur den snabba Fouriertransformen fungerar och vad man
Läs merLaboration 2 - Modulering I denna laboration skall vi
Björn Ekenstam 19/9 2003 Telekommunikation TDV hösten 2003 Laboration 2 - Modulering I denna laboration skall vi Tillämpa MATLAB för att studera några olika Digitalt modulerade signaler Visa dessa signaler
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag
Hans Thunberg KTH Matematik SF66 Perspektiv på matematik Tentamen 0 oktober 0 kl 08.00.00 Svar och lösningsförslag () Bestäm ekvationen för den cirkel som passerar genom punkten (, 4) och har sin medelpunkt
Läs merc d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)
1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merRÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merSignal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
Läs merSIGNALANALYS I FREKVENSRUMMET
SIGNALANALYS I FREKVENSRUMMET Fourierserie och Fouriertransform Föreläsning 4 Mätsystem och Mätmetoder, HT-2016 Florian Schmidt Department of Applied Physics and Electronics Umeå University LECTURE OUTLINE
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-08-22 kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 6.00. tel 0702/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merDIGITAL KOMMUNIKATION
EN KOR SAMMANFANING AV EORIN INOM DIGIAL KOMMUNIKAION Linjär kod En binär linjär kod kännetecknas av att summan av två kodord också är ett kodord. Ett specialfall är summan av ett kodord med sig själv
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merFouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter
Fouriermetoder MVE295 - bonusuppgifter Edvin Listo Zec 920625-2976 edvinli@student.chalmers.se Sofia Toivonen 910917-4566 sofiato@student.chalmers.se Emma Ekberg 930729-0867 emmaek@student.chalmers.se
Läs merTentamen i Signaler och kommunikation, ETT080
Inst. för informationsteknologi Tentamen i Signaler och kommunikation, ETT080 2 juni 2006, kl 14 19 Skriv namn och årskurs på alla papper. Börja en ny lösning på ett nytt papper. Använd bara en sida av
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merInnehåll. Innehåll. sida i
1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4
Läs merÖvningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet
Läs mer10. Kretsar med långsamt varierande ström
1. Kretsar med långsamt varierande ström [RMC] Elektrodynamik, ht 25, Krister Henriksson 1.1 1.1. Villkor för långsamt varierande I detta kapitel behandlas den teori som kan användas för att analysera
Läs merLösningsförslag till övningsuppgifter, del II
Lösningsförslag till övningsuppgifter del II Obs! Preliminär version! Ö.1. För varje delare d till n låt A d var mängden av element a sådana att gcd(a n = d. Partitionen ges av {A d : d delar n}. n = 6:
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet KÅRA T1 T2 U2 U4
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-10-28 Sal (5) KÅRA T1 T2 U2 U4 Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Grundläggande
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: --, kl. - Lokaler: U, U, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl.. och. tel. Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sa och
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merInledning. Kapitel 1. 1.1 Signaler och system
Kapitel 1 Inledning 1.1 Signaler och system Temat för denna kurs är signaler och system. En kvantitativ behandling av signaler och system och deras växelverkan utgör grunden för den del av informationstekniken
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:
Läs merSats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet
Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merAD-DA-omvandlare. Mätteknik. Ville Jalkanen. ville.jalkanen@tfe.umu.se 1
AD-DA-omvandlare Mätteknik Ville Jalkanen ville.jalkanen@tfe.umu.se Inledning Analog-digital (AD)-omvandling Digital-analog (DA)-omvandling Varför AD-omvandling? analog, tidskontinuerlig signal Givare/
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merFYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 21 augusti 2008 kl 9-15
FYSIKUM STOCKHOLMS UNIVERSITET Tentamensskrivning i Vågrörelselära och optik, 10,5 hp, FK4009 Torsdagen den 1 augusti 008 kl 9-15 Hjälpmedel: handbok och räknare. Varje uppgift ger maximalt 4 poäng. Var
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs mer