DT1130 Spektrala transformer Tentamen

Transkript

1 DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel: räknare, formelblad (bifogat) Lycka till! En tidsdiskret signal skapas genom att multiplicera två sinuskomponenter: y(n) = sin(ω n)sin(ω n) a Skissa spektrum av y(n) då ω = 3π 4 och ω = π 8. (p) b Signalen multipliceras med en tredje sinuskomponent sin(ω 3 n). Skissa spektrum, om ω 3 =, i övrigt som i a. (p) π 4 Frekvensaxeln ska vara graderad från till π, och inbördes förhållandet mellan deltonernas nivåer ska framgå. y-axeln kan ange amplitud eller effekt, och vara linjär eller i decibel, men ange tydligt vilket som avses! I figur ser du ett antal frekvenssvar och ett antal differensekvationer som beskriver tidsdiskreta filter. Para ihop de som beskriver samma filter, med motivering. Observera att det blir en differensekvation över. (p/ korrekt par) 3 Ingenjör Ann Droid jobbar med styrlogiken till en robotarm. Hårdvaruavdelningen har klagat på att rörelserna är alldeles för ryckiga, vilket ger höga påfrestningar robotens leder. För att få en mjuk rörelse tänker Ann försöka med ett :a ordingens återkopplat lågpassfilter y(n) = x(n) + ay(n ), där a bestäms så att impulssvaret får en lagom långsam avklingning. a Hjälp Ann att dimensionera det önskade filtret (dvs bestäm a) så att impulssvaret når % av sitt toppvärde efter sekund. Systemets samplingsfrekvensen är Hz. (p) b Ett annat önskemål från hårdvaruavdelningen är att Ann ska göra något åt den självsvängning på 35 Hz som uppkommer när roboten är hårt belastad. Ann tänker lösa detta med ett icke-återkopplat filter som har förstärkningen noll vid den aktuella frekvensen, samtidigts som filtrets DC-förstärkning (alltså förstärkning vid frekvensen ) är ett. Hjälp till att designa detta filter! Ange filtrets differensekvation y(n) =... (p) (8) DT3 Spektrala transformer HT

2 3 För alla ekvationer nedan gäller att r =.8 magnitude (db) a y(n) = x(n) r y(n ) normaliserad frekvens (x π rad/sampel) 5 magnitude (db) 5 b y(n) = x(n) + r 3 y(n 3) normaliserad frekvens (x π rad/sampel) 3 3 magnitude (db) c y(n) = x(n) + ry(n ) r y(n ) normaliserad frekvens (x π rad/sampel) 5 4 magnitude (db) 5 d y(n) = x(n) ry(n ) r y(n ) normaliserad frekvens (x π rad/sampel) e y(n) = x(n) r 3 x(n 3) Figur. Frekvenssvar och differensekvationer - vilka passar ihop? För alla ekvationer gäller att r =.8 (8) DT3 Spektrala transformer HT

3 x T Figur. Den periodiska funktionen f(t) i uppgift 5. 4 Filtrering av bilder med stora filterkärnor kan vara en resurskrävande operation, som det dock finns goda möjligheter att optimera. Om filterkärnan är linjärt separerbar i x- och y-led så går det att spara många multiplikationer. 5 a Vad innebär det att en filterkärna h(x,y) är linjärt separerbar? (p) b Givet att h(x, y) är separerbar, utgå från den generella D-faltningsformeln och skriv om den på en form som utnyttjar detta för att ge effektivare D-faltning! (p) c Beskriv hur man kan utnyttja FFT för att snabba upp faltning med av icke-separerbara kärnor. (p) Signalen f(t) (se figur ) är periodisk med periodtiden T och ges i intervallet t < T av om t < T 3 f(t) = om T 3 t < T 3 om T 3 t Beräkna fourierserien för f(t)! 3 (8) DT3 Spektrala transformer HT

4 Lösningar a Multiplikation av två sinustoner ger upphov till två frekvenser, som är summan respektive skillnaden av ursprungsfrekvenserna: e jωn e jω n e jωn e jω n j j... = [cos((ω ω )n) cos((ω + ω )n)] I detta fall ger det frekvenserna 5π 8 och 7π 8. Ingen vikning sker då båda är mindre än π. Spektrum blir som det övre i figuren nedan. b När man multiplicerar in en tredje frekvens kan vi göra precis på samma sätt, men vi utgår från de två frekvenserna i a var för sig och lägger samman resultatet på slutet. Alltså: 5π 8 och kommer att ge upphov till två frekvenser: 5π 8 π 4 = 3π 8 5π 8 + π 4 = 7π 8 Dessutom kommer 7π 8 att ge upphov till två frekvenser: 7π 8 π 4 = 5π 8 och 7π 8 + π 4 = 9π 8 Men den senare är större än π och kommer därför vikas ned till 7π 8, där den sammanfaller med en annan komponent ( 5π 8 + π 4 ) och därmed får dubbel amplitud. Sammantaget: vi får tre frekvenskomponenter i spektrum: 3π 8, 5π 8 och 7π 8, där den sista har dubbel amplitud, se figuren (nedre spektrumet). 4 (8) DT3 Spektrala transformer HT

5 FFT i belopp normaliserad frekvens x π rad/sampel.5.4 FFT i belopp normaliserad frekvens x π rad/sampel Sök poler och nollställen för alla differensekvationer: a y(n) = x(n) r y(n ) ger H(z) = +r z multiplicera täljare och nämnare med z, det ger poler vid z = r dvs z = ±jr. Frekvenssvaret borde således ha en topp vid pi/, men något sådant frekvenssvar syns inte till. b H(z) = r 3 z 3 Poler fås då r 3 z 3 = dvs z 3 = r 3. Mult. högerledet med e jπk och lös ut z: z = re j πk 3 för alla heltal k. Det ger poler vid r,re j π 3 och re j π 3. Alltså förväntar vi oss toppar i frekvenssvaret vid frekvenserna och π 3, vilket stämmer på 4 c H(z) =. Mult. täljare och nämnare med z, och sätt nämnaren =: rz +r z (r z rz + r = z = r ± ) r = r ± j r 3. Detta innebär att polerna ligger i z = re ±j π 3 Alltså bör frekvenssvaret ha en topp vid π 3 vilket stämmer på nr.. d H(z) = +rz +r z. Mult. täljare och nämnare med z, och sätt nämnaren =: 5 (8) DT3 Spektrala transformer HT

6 (r z + rz + r = z = r ± ) r = r ± j r 3. Detta innebär att polerna ligger i z = re ±j π 3 Alltså bör frekvenssvaret ha en topp vid π 3 vilket stämmer på nr. 3. e H(z) = r 3 z 3. Nollställen hamnar som polerna i b, dvs r,re j π 3 och re j π 3. Alltså förväntar vi oss dalar/dippar i frekvenssvaret vid frekvenserna och π 3, vilket stämmer på 3 a y(n) = x(n) + ay(n ) har överförinsgsfunktionen H(z) = az Z-transform (nr. 4 i tabellen i f.s.) ger impulssvaret h(n) = a n u(n) Villkor: Impulssvaret ska nå % av sitt toppvärde efter sekund, ger a =. logaritmera och lös ut a: ln a = ln. a = e ln. =.977 b Ansätt en överföringsfunktion med nollställen i e ±jθ och förstärkningsfaktorn k: H(z) = k (z ejθ )(z e jθ ) z = k( z cos θ + z ) Enhetsförstärkning vid ω = (z = ) ger H(e ) = k( cos θ + ) = k = θ = /pi35 ger följande differensekvation: ( cos θ) y(n) = ( cos 7π cos(7π ))x(n ) + x(n )) )(x(n) 6 (8) DT3 Spektrala transformer HT

7 Magnitude (db) 4 Phase (degrees) Normalized Frequency ( π rad/sample) Normalized Frequency ( π rad/sample) Figur 3. Hω för filtret i upgift 3b. 4 a Att en filterkärna h(x,y) är linhärt separerbar innebär att den kan delas upp i en horisontell och en vertikal komponnt och skrivas på formen h horiz (x)h vert (y). b Faltningsformeln för D: g(x,y) = s= t= h(s,t)f(x s,y t) om h(x,y) är separerbar kan vi skriva g(x,y) = s= h horiz (s) t= h vert (t)f(x s,y t) men den andra summan är inget annat än D-faltningen mellan h vert (y) och f(w,y) där w = x s är konstant. Om vi ansätter g v (x,y) = t= h vert (t)f(x,y t) (dvs en D-falting mellan h vert och varje kolumn i f), så kan vi skriva D-faltningen som g(x,y) = s= h horiz (s)g v (x s,y) Detta innebär i klartext att vi först kan beräkna g v med hjälp av D-faltningar mellan h vert och varje kolumn i f. Därefter fås g genom att D-falta varje rad i g v med h horiz. 7 (8) DT3 Spektrala transformer HT

8 c Faltningsteoremet säger att en faltning i spatial-domänen motsvaras av en multiplikation i frekvensdomänen. Detta innebär att förljande steg kan ersätta en traditionell faltning: Transformera bild och kärna till frekvensdomänen med D-FFT Multiplicera frekvensrepresentationerna Inverstransformera den resulterande bilden 5 Fouierserien för f(t) bestäms enligt formelsamlingen av c k = T T f(t)e jkω t dt där ω T = π för vår aktuella f(t) kan vi dela upp detta i tre integraler, från till T/3, T/3 till T/3 samt T/3 till T. Men mitt-integralen blir noll eftersom f(t) är noll i hela intervallet. Alltså återstår c k = T T/3 e jkω t dt + T T T/3 e jkω t dt integrering ger c k = [ ] e jkω T/3 t [ ] e jkω T t Tjkω Tjkω T/3 sätt in gränser och utnyttja att ω T = π = [ ] e jkπ/3 + e jk4π/3 = [ ] e jkπ (e jkπ/3 + e jkπ/3 ) jπk jπk utnyttja eulers cos-formel samt att e jπ =, vilket ger svaret c k = ( )k cos(k π 3 ) jπk Om man studerar de ingående termerna i uttrycket ovan kan man notera följande: ( ) k växlar tecken - positiv för jämna k, negativ för udda cos(k π 3 ) - termen går igenom sekvensen,/, /,, /,/,, /... osv, då k stegas från och uppåt. täljaren kommer då att gå igeom sekvensen, 3/, 3/,, 3/, 3/,... då k stegas från och uppåt, dvs den är noll då k är jämnt delbart med 3, och 3/ annars. Detta gör att uttrycket kan skrivas om på följande form: { om k är jämt delbart med 3 c k = annars 3j πk 8 (8) DT3 Spektrala transformer HT