1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]

Transkript

1 TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift 0- poäng. Poäng från duggor (0.5 per klarad dugga) adderas till tentamenspoäng. Betygsgränser (maximala): poäng ger betyg 3, ger betyg, >5.6 ger betyg 5. Motivera antaganden. De olika leden i lösningarna ska kunna följas. Skriv tydligt. Examinor: Nedelko Grbić Tillåtna Hjälpmedel: Formelsamling, Räknedosa. OBS: Ett klart svar måste anges. Använd gärna punkterna Givet, Sökt, Lösning och Svar. Det är både svaret och vägen fram till svaret som ska redovisas. Ange inskrivningsår i rutan för årskurs på tentamensomslaget. Skriv namn på alla inlämnade papper. Tentamensfrågor:. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h (n) = [ 3 ] h (n) = [ ] a) Bestäm den linjära faltningen av de båda sekvenserna, dvs h(n) = h (n) h (n). (0.3 p) b) Bestäm den cirkulära faltningen (modulo ) av de båda sekvenserna, dvs h(n) = h (n) h (n). (0.3 p) c) Bestäm den diskreta Fouriertransformen, H (ω), av h (n). (0. p) d) Om signalen x(n) = n, används som insignal till systemet givet av h (n), bestäm utsignalen y(n) för n. (0. p). Vi vill bestämma ett FIR-filter h(n) som specificeras i frekvensplanet av H(f) f=0 =, H(f) f= Filtret ska ha linjär fasfunktion och ha längden. a) Bestäm filtrets impulssvar h(n). (0.5 p) b) Bestäm filtrets Fouriertransform samt skissa H(f) i området f. (0.5 p) =

2 3. Nedan visas tre pol-nollställediagram samt dess impulssvar och amplitudspektra. a) Para ihop rätt impulssvar A, B, C med rätt pol-nollställediagram,,3 (0.3 p) b) Para ihop rätt amplitudspektrum I, II, III med rätt pol-nollställediagram,,3 (0.3 p) Pol-nollställediagram 3 Impulssvar A B C Amplitudspektra I II III c) Ett tidsdiskret system ges av nedanstående figur. x[n] h [n] h [n] y[n] h [n] h 3 [n] - Bestäm totala impulssvaret hn [ ] och systemfunktionen H (z) då h 0.5 z 0.5 z = 0 3 n [] n.5 u[] n, H ( z) = z, H ( z) =, h [] n = {, } (0. p).

3 . Ett LTI-system är beskrivet av nedanstående differensekvation. y(n) = 0.5y(n ) + bx(n) Bestäm parametern b så att H(ω) = vid frekvensen ω = 0, samt bestäm half-power point (dvs frekvensen, ω, för vilken H(ω) är lika med hälften av dess toppvärde). ( p) 5. Betrakta nedanstående differensekvation för ett LTI system (parametrarna a och b är två reellvärda konstanter) y(n) = ay(n ) + by(n ) + x(n) a) Ovanstående system är kaskadkopplat med två första ordningens LTIsystem, dvs resultatet blir tre system seriekopplade. Eftersom alla de tre systemen är LTI-system spelar det ingen roll i vilken ordning de är placerade. Bestäm differensekvationen av de två okända LTI-systemen så att utsignalen alltid blir densamma som insignalen, dvs de två LTI-systemen skall utjämna påverkan av ovan givna system. (0.6 p) b) Vilka villkor ställs på parametrarna a och b för att de två LTI-systemen skall ha reellvärda impulssvar? (0. p) 6. Ett annuitetslån på Kr skall betalas tillbaka med en fast månatlig summa av d kr. Räntan, accumulerad månatligen, tillkommer med 0 % per år (dvs den månatliga räntan blir 0.0/). Ställ upp en differensekvation som vid varje månad, n, beskriver lånesumman, y(n), vid varje månads slut (dvs räntan påförs vid varje månads slut sedan görs ett avdrag med d kr pga månadsinbetalningen). Bestäm den fasta månatliga betalningen, d, så att lånet blir helt avbetalat efter 30 år, samt bestäm den totala räntekostnaden, genom att lösa differensekvationen. ( p) Lycka Till!

4 SVAR Tentamen Givet h (n) och h (n)! a) Bestäm den linjära faltningen h(n) = h (n) h (n)! svar: h(n) = [ ] b) Bestäm den cirkulära faltningen (modulo ) av de båda sekvenserna, h(n) = h (n) h (n)! svar: h(n) = [ ] c) Bestäm den tids-diskreta Fouriertransformen (OBS! otydligt i uppgiften => både den tidsdiskreta FT samt den diskreta FT ger rätt svar) svar: H (ω) = n= h (n)e jωn = n= h (n)e jωn = = e jω e j0 + e jω e jω = cos(ω) e jω d) Bestäm utsignalen om insignalen är given av x(n) = n. svar: Insignalen är en DC component (dvs den har frekvensen noll), och den existerar för alla n ( n) => y(n) = H (0) H (0) = cos(0) + e j0 = = 0 => y(n) = 0, n => y(n) = 0, n. Vi vill bestämma ett FIR-filter, h(n), av längd som specificeras i frekvensplanet av (OBS avsikten i tentan skall vara belopp i andra kravet => både med och utan belopp ger fullt poäng) H(f) f=0 =, H(f) f= a) Bestäm filtrets impulssvar svar: filtret skall vara symmetriskt (pga linjär-fas kravet), dvs det skall ha formen av h(n) = [ b 0 b b b 0 ] = 3

5 Fouriertransformen blir, H(f) = b 0 + b e jπf + b e jπf + b 0 e j6πf = = (b 0 cos( 3 πf) + b cos( ) πf) e j 3 πf () Kraven i de två punkterna, f = 0, samt f = / ger f = 0 : (b 0 + b ) = f = : b 0 cos( 3 π ) +b cos( }{{} π ) }{{} / / = => [b 0 b ] = [0.073, 0.7] dvs, h(n) = [ b 0 b b b 0 ] = [ ] b) Bestäm filtrets Fouriertransform samt skissa H(f) i området f svar: Fouriertransformen är given i Ekv. () i uppg. a), H(f) Amplitudspektra Normaliserad frekvens H(f) Amplitudspektra Normaliserad frekvens Figure : Magnitudspektrum av linjär-fas filteret i uppg b. Övre figur om beloppet av andra kravet används, nedre figur om beloppet inte används. Båda ger rätt svar. 3. Givet tre pol-nollställediagram samt dess impulssvar och amplitudspektra. a) Para ihop rätt impulssvar A, B, C med rätt pol-nollställediagram,, 3! svar: A- (ty komplexkonjugerade poler=alternerande sekvens), B- (ty FIR filter), C-3 (avtagande då reella poler) b) Para ihop rätt ampliyudspektrum I, II, III med rätt pol-nollställediagram

6 ,, 3! svar: I- (poler. vid f=/), II-3 (poler vid f=0 samt f= / ger högre värden än III), III- (jfr värdena i II) c) Givet ett tidsdiskret system, bestäm det totala impulssvaret samt systemfunktionen. svar: H tot (z) = (H (z) H (z) H 3 (z)) H (z) där H (z) = 0.5z H (z) = z H 3 (z) = 0.5z 0.5z H (z) = z => H tot (z) = = ( 0.5z z 0.5z 0.5z ( 0.5z 0.5z ) ( z ) = ) ( z ) = z ( 0.5z ) 0.5z = z Invers Z-transform ger h tot (n) = δ(n ). Givet ett LTI-system y(n) = 0.5y(n ) + bx(n) a) Bestäm b så att H(ω) = vid frekvensen ω = 0. svar: Z-transformera differensekvationen ger, Y (z) = 0.5z Y (z) + bx(z) Y (z)( 0.5z ) = bx(z) Y (z) = b ( 0.5z ) X(z) => H(z) = b ( 0.5z ) Ur H(z) fås Fouriertransformen genom b H(ω) = H(z) z=e jω = ( 0.5e jω ) b => H(0) = ( 0.5) => b = () 5

7 b) Bestäm ω för vilken H(ω) är lika med hälften av dess toppvärd. svar: Toppvärdet fås då Ekv () har sitt största värde, dvs när nämnaren har sitt minsta värde. Detta sker då nämnaren blir 0.5 och toppvärdet blir (anv. b = 0.5), dvs H(ω) = ( 0.5cos(ω)) }{{} + (0.5sin(ω)) }{{} real imag => (.5 cos(ω)) = Mulitiplicera båda sidor med, samt invertera båda sidor,.5 cos(ω) = => cos(ω) = => ω = acos(.5 0.5) Vi har givet ett andra ordningens LTI-system H(z) enligt y(n) = ay(n ) + by(n ) + x(n) a) Bestäm två första ordningens LTI-system så att y(n) = x(n), dvs lös följande system i Z-domän Y (z) = H(z) H (z) H (z) X(z) }{{} = Genom att Z-transformera den givna differensekvationen fås; H(z) = az bz Poler till ovanstående system fås genom att lösa nedanstående (multiplicera nämnare och täljare med z ), z az b = 0 => p = a ± a + b Genom att lägga nollställen n i samma punkter som de två polerna uppfylls kravet, dvs n = p och n = p, (efter insvängningsförlopp) H tot (z) = ( n z )( n z ) ( p z )( p z ) = 6

8 dvs de två differensekvationerna blir y (n) = x(n) n x(n ) y (n) = x(n) n x(n ) och n = a a ± + b b) Villkoren på parametrarna a och b för att få reellvärda impulssvar är att rötterna p är reellvärda, dvs a + b 0 => a b => b a 6. Ett annuitetslån på Kr skall betalas tillbaka med en fast månatlig summa av d kr. Räntan, accumulerad månatligen, tillkommer med 0 % per år (dvs den månatliga räntan blir 0.0/). Ställ upp en differensekvation som vid varje månad, n, beskriver lånesumman, y(n), vid varje månads slut (dvs räntan påförs vid varje månads slut sedan görs ett avdrag med d kr pga månadsinbetalningen). Bestäm den fasta månatliga betalningen, d, så att lånet blir helt avbetalat efter 30 år, samt bestäm den totala räntekostnaden, genom att lösa differensekvationen. svar: Vi definierar y(n) som lånesumman för varje månad n (med första månaden n=0), dvs lånesumman är lika med föregående lånesumma y(n ) plus (månadens ränta) x (föregående lånesumma), 0.0/ y(n ) minus betalningen i den aktuella månaden, dvs vi får följande differensekvation med ett begynnelsevärde; y(n) = ( + 0.0/) y(n ) + x(n) där x(n) = d u(n), y( ) = Vi använder den enkelsidiga Z + -transformen, och definierar a = (+0.0/), vilket ger, Y + (z) a ( z Y + (z) + y( ) ) = X(z) => Y + (z)( az ) ay( ) = X(z) => Y + (z) = ( az ) X(z) + a ( az ) y( ) Vi använder den vanliga Z-transformen av x(n) (ty den är kausal) dvs, Y + (z) = d ( z )( az ) + ay( ) ( az ) 7

9 Genom partialbråksuppdelning får vi Y + (z) = A ( az ) + B ( z ) + ay( ) ( az ) där d A = /a = d a a B = d a Inverstransformering ger lösningen av diff. ekvationen (A och B enl. ovan), y(n) = Aa n u(n) + Bu(n) + y( )a n+ u(n) (3) Bestäm den månatliga betalningen d så att lånet blir helt avbetalt efter 30 år = 360 månader, dvs Insättning av värden ger, y(360) = Aa B a 36 0 d ( a a 360 ) = 0 5 a 36 => a d = 05 a 36 ( a) 877 (a 36 ) Den totala räntekostnaden blir den totala inbetalningen minus den ursprungliga lånesumman d kr. 0 x 0 Utveckling lånesumma d = 877 SEK 8 Lånesumma [kr] Månad [n] Figure : Utveckling av lånesumman, y(n) ur Ekv. (3), under 30 år, dvs 360 månader, d 877 Kr. 8

10 Kuriosa 0 x 0 Utveckling lånesumma vid rak amortering Lånesumma [kr] 8 6 Månatlig betalning [kr] Månad [n] Månatlig betalning vid rak amortering; Tot Räntekostnad = 507 Kr Månad [n] Figure 3: Utveckling av samma lån vid rak amortering med samma lånesats och samma räntesats (övre fig), samt den månatliga betalningen vid rak amortering (nedre fig). Total räntekostnad = 50 7 Kr. 9