Diskreta signaler och system
|
|
- Sandra Strömberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen av linjära diskreta system med hjälp av överföringsfunktioner. Överföringsfunktionen beskriver på ett mycket kompakt sätt frekvenssvaret hos ett system, och den är därför oumbärlig vid syntes av filter. 7.1 Diskreta linjära tidsinvarianta system Ett diskret system H transformerar en diskret signal {x(n)} till en annan diskret signal {y(n)}, jämför figur 7.1. Ett diskret system är linjärt, om elementen i utsignalsekvensen beror linjärt av elementen i insignalsekvensen, y(n) = k= h(k)x(n k), n =..., 1, 0, 1,... (7.1) Sekvensen {h(k)} kallas systemets impulssvar, eftersom h(k) anger hur en impuls x(n k) = 1 vid tiden n k påverkar systemets utsignal y(n) k tidpunkter senare. Om systemets egenskaper ej förändras med tiden, dvs impulssvaret h(k) är en funktion av k endast och ej av tidpunkten vid vilken impulsen sker, kallas systemet tidsinvariant. Termen skiftinvariant används som en alternativ benämning för diskreta tidsinvarianta system. För linjära tidsinvarianta system används allmänt förkortningen LTI system (eng. Linear Time Invariant system). Ett system vars utsignal y(n) är en funktion av endast tidigare insignaler x(n), x(n 1),..., men ej av framtida insignaler x(n + 1), x(n + 2),..., kallas kausalt. Hos ett kausalt system försvinner impulssvaret för negativa k; h(k) = 0, k < 0, och utsignalen ges av y(n) = h(k)x(n k) = h(0)x(n) + h(1)x(n 1) + h(2)x(n 2) + (7.2) 97
2 {x(n)} H {y(n)} Figur 7.1: Diskret system. Vid realtidstillämpningar förekommer nästan uteslutande kausala system. Däremot kan icke-kausala system mycket väl förekomma i samband med off-line beräkningar, såsom bildbehandling m.m. Operationerna i ekvationerna (7.1) och (7.2) kallas diskret faltning eller konvolution (eng. convolution). Faltningen av sekvenserna h = {h(k)} och x = {x(k)} ges av (7.1), och brukar betecknas med en asterisk, y = h x (7.3) Problemet att beräkna utsignalen från ett linjärt system uppstår i flera signalbehandlingstillämpningar. Beräkningen av faltningen av två sekvenser utgör därför en av de viktigaste numeriska beräkningsoperationerna i signalbehandling. 7.2 z-transformen Det visar sig att analysen av diskreta signaler och system blir enklare om man representerar signaler och system med hjälp av en speciell transform, den s.k. z-transformen. För en sekvens {x(n)} definierad för alla heltal n definieras z-transformen Z({x(n)}) enligt ˆX(z) = Z({x(n)}) = x(n)z n (7.4) n= där z är en komplex variabel. Transformen i ekvation (7.4) är en s.k. dubbelsidig z-transform. I flera sammanhang är det ändamålsenligt att studera signaler som försvinner för negativa tider, x(n) = 0, n < 0. Transformen reduceras då till den enkelsidiga z-transformen ˆX(z) = x(n)z n n=0 = x(0) + x(1)z 1 + x(2)z 2 + (7.5) Ekvationen (7.5) definierar z-transformen som den komplexa funktion ˆX(z), vars potensserie utvecklad i potenser av z 1 har koefficienterna i sekvensen {x(n)}. Funktionen ˆX(z) är definierad för de värden på variablen z, för vilka summan i (7.5) konvergerar. Mängden av z-värden för vilka summan konvergerar beror givetvis av egenskaperna hos sekvensen 98
3 {x(n)}. Vi observerar från definitionen (7.5), att summan i allmänhet ej konvergerar för godtyckligt små z, utan z bör vara tillräckligt stor för att ge konvergens. Det vore i flera avseenden naturligare att i stället för (7.5) definiera en transform med hjälp av en Taylorserieutveckling i potenser av z. En orsak till att z-transformen definieras enligt (7.4) och (7.5) är att sambandet mellan z-transformen och Fouriertransformen på detta sätt blir speciellt enkelt. Från definitionen (4.23) av Fouriertransformen av diskreta signaler har vi att Fouriertransformen X(ω) kan uttryckas som X(ω) = x(n)e jωn = x(n)(e jω ) n n= n= = ˆX(z) (7.6) z=e jω z-tranformen kan således uppfattas som en generalisering av Fouriertransformen. Varje sekvens som har en Fouriertransform har även en z-transform. Däremot har endast de signaler vars z-transform konvergerar för z = e jω en Fouriertransform vid ifrågavarande frekvens. z-transformen är den diskreta motsvarigheten till Laplace-transformen för kontinuerliga signaler. I det kontinuerliga fallet existerar ett liknande samband mellan Fouriertransformen och Laplacetransformen, jämför ekvation (3.73). I enlighet med Laplacetransformen kan z-transformen utnyttjas för att studera egenskaperna hos diskreta system. z-transformerna för ett antal vanliga sekvenser ges i tabell 7.1. Exempel 7.1. Betrakta stegfunktionen { 0, n < 0 u(n) = 1, n 0 Enligt definitionen har vi att stegfunktionens z-transform ges av Û(z) = Z({u(n)}) = 1 z n n=0 = 1 + z 1 + z = 1 z 1 = z z 1 (7.7) (7.8) Vi observerar att serien konvergerar om z > 1. T.ex. för z = e j0 = 1 divergerar serien, och Fouriertransformen existerar således ej vid frekvensen noll. Exempel 7.2. Exponentialfunktionen x(n) = { 0, n < 0 c n, n 0 99 (7.9)
4 har z-transformen ˆX(z) = c n z n n=0 = 1 + cz 1 + c 2 z 2 + = 1 + cz 1 + (cz 1 ) = 1 cz 1 = z z c (7.10) Resultatet kan jämföras med den tabellerade z-transformen för c = e a, jämför tabell 7.1. I detta fall konvergerar summan om cz 1 < 1, dvs z > c. Speciellt gäller att z-transformen existerar också för divergerande sekvenser med c > 1. Däremot har sådana sekvenser ingen Fouriertransform, eftersom summan divergerar för alla z = e jω om c > 1. Vi skall till slut notera några viktiga egenskaper hos z-transformen. Linjäritet. Om ˆX 1 (z) = Z({x 1 (n)}) och ˆX 2 (z) = Z({x 2 (n)}) så har sekvensen {y(n)} = {c 1 x 1 (n) + c 2 x 2 (n)} transformen Ŷ (z) = Z({c 1 x 1 (n) + c 2 x 2 (n)}) = c 1 ˆX1 (z) + c 2 ˆX2 (z) (7.11) Resultatet följer direkt ur definitionen. Inverkan av tidsförskjutning. Låt ˆX(z) = Z({x(n)}). Definera den tidsförskjutna sekvensen {x l (n)} = {x(n l)}, där vi antar l > 0. Sekvensen {x l (n)} fås således genom att låta sekvensen {x(n)} fördröjas med l tidsintervall. Den tidsförskjutna sekvensens z-transform ˆX l (z) ges då av Detta följer direkt ur definitionen, ty ˆX l (z) ges av ˆX l (z) = ˆX l (z) = Z({x(n l)}) = z l ˆX(z) (7.12) = n= m= = z l x(n l)z n x(m)z m l [m = n l] m= x(m)z m = z l ˆX(z) (7.13) Här har den dubbelsidiga z-tranformen använts, men resultatet gäller givetvis på analogt sätt för den enkelsidiga transformen. 100
5 På analogt sätt fås att transformen för sekvensen {x l (n)} = {x(n + l)} ges av ˆX l (z) = Z({x(n + l)}) = z l ˆX(z) (7.14) I detta fall förskjutes den ursprungliga sekvensen till l tidsintervall tidigare (antas l > 0). Detta samband gäller även för den enkelsidiga transformen, förutsatt att den tidsförskjutna sekvensen {x l (n)} = {x(n + l)} försvinner för negativa n, dvs x(0) = x(1) = = x(l 1) = 0 bör gälla. Enligt sambandet (7.12) är z en s.k. skiftoperator; multiplikation av transformen med z skiftar den motsvarande sekvensen med en tidsenhet; ˆX 1 (z) = z ˆX(z) {x 1 (n)} = {x(n + 1)} (7.15) P.g.a. denna egenskap används z ofta som en operator som opererar direkt på sekvensens element, dvs zx(n) = x(n + 1) och z 1 x(n) = x(n 1) (7.16) Det kan också nämnas att skiftoperatorer utgör en generell klass av operatorer, med flera speciella egenskaper. 7.3 Diskreta överföringsoperatorer En av de viktigaste tillämpningsområdena för z-transformen är inom analysen av linjära system. Speciellt gäller att faltningen (7.2) av två sekvenser är produkten av sekvensernas z-transformer. Analysen av linjära diskreta system är därför i flera avseenden betydligt enklare att göra i z-transformplanet än i tidsplanet. Detta är analogt med situationen i det kontinuerliga fallet, där lösningen av differentialekvationer med hjälp av Laplacetransformen reduceras till en multiplikation av komplexa funktioner. Betrakta det kausala linjära tidsinvarianta systemet definierad av ekvation (7.2), vars impulssvar ges av sekvensen {h(n)} = {h(0), h(1),...}. Låt H(z) beteckna z- transformen av impulssvaret, Då har vi följande viktiga resultat. H(z) = h(n)z n (7.17) n=0 Ett linjärt systems inverkan på z-transformen. Utsignalsekvensen {y(n)} i ekvation (7.2) har z-transformen där H(z) ges av (7.17) och ˆX(z) = Z({x(n)}). Ŷ (z) = H(z) ˆX(z) (7.18) Ett sätt att se hur sambandet (7.18) uppstår baserar sig på observationen att systemets utsignal i ekvation (7.2) kan uppdelas enligt y(n) = y 0 (n) + y 1 (n) + y 2 (n) + (7.19) 101
6 där y k (n), k = 0, 1, 2,... definieras enligt y k (n) = h(k)x(n k) (7.20) Från egenskapen (7.12) följer att z-transformen av sekvensen {y k (n)} är och (7.19) och z-transformens linjäritet implicerar Ŷ k (z) = h(k)z k ˆX(z) (7.21) Ŷ (z) = Ŷ0 + Ŷ1 + Ŷ2 + = [h(0) + h(1)z 1 + h(2)z 2 + ] ˆX(z) = H(z) ˆX(z) (7.22) vilket är (7.18). Ett linjärt systems inverkan på en sekvens kan således i z-transformplanet uttryckas i form av en multiplikation av sekvensens transform med funktionen H(z). Funktionen H(z) kallas systemets överföringsfunktion eller överföringsoperator. En speciellt viktig klass av system är de vars överföringsfunktion består av kvoten av två polynom i z 1 (en s.k. rationell funktion i z 1 ), eller analogt, H(z) = b 0 + b 1 z b M z M 1 + a 1 z a N z N (7.23) H(z) = b 0z N + b 1 z N b M z N M z N + a 1 z N a N (7.24) Denna typ av överföringsoperator motsvaras i tidsplanet av en differensekvation av ordningen N. Detta kan ses genom substitution av uttrycket (7.23) i (7.22), vilket ger eller Ŷ (z) = b 0 + b 1 z b M z M ˆX(z) (7.25) 1 + a 1 z a N z N (1 + a 1 z a N z N )Ŷ (z) = (b 0 + b 1 z b M z M ) ˆX(z) (7.26) Om vi beaktar egenskapen (7.12) fås att (7.26) är ekvivalent med vilket är detsamma som {y(n) + a 1 y(n 1) + + a N y(n N)} = {b 0 x(n) + b 1 x(n 1) + + b M y(n M)} (7.27) y(n) + a 1 y(n 1) + + a N y(n N) = b 0 x(n) + b 1 x(n 1) + + b M x(n M), n =..., 1, 0, 1,... (7.28) 102
7 Detta är en linjär differensekvation av ordningen N. Vi har alltså visat att ett system som beskrivs av en linjär differensekvation av ordningen N representeras av en överföringsfunktion vars nämnarpolynom har ordningen N. Sådana system säges helt enkelt ha ordningen N. Anmärkning 7.1. Sambandet (7.18) ger en effektiv metod för beräkning av faltningen (7.3) av två sekvenser. Enligt ovan motsvaras faltningen av en multiplikation av sekvensernas z- transformer enligt (7.18). Å andra sidan har vi sambandet (7.6) mellan z-transformen och Fouriertransformen. Det följer att om H(ω) och X(ω) är Fouriertransformerna av sekvenserna {h(k)} och {x(k)}, så ges Fouriertransformen av sekvensen {y(n)} av Y (ω) = H(ω)X(ω) (7.29) En numeriskt effektiv metod för beräkning av faltningen av två sekvenser består således av att beräkna diskreta Fouriertransformen av sekvenserna med hjälp av FFT, multiplicera transformerna elementvis, och till slut bestämma den sökta faltningen genom beräkna inversa diskreta Fouriertransformen av produkten med hjälp av IFFT. Följande exempel illustrerar hur z-transformen kan användas för att analysera och förenkla linjära diskreta system. Exempel 7.3. Vi skall bestämma utsignalsekvensen {y(0), y(1), y(2),...} från ett diskret system som beskrivs av differensekvationen y(n) 0.9y(n 1) + 0.5y(n 2) = x(n) 0.2x(n 1) (7.30) då y(n) = x(n) = 0, n < 0 och x(0) = x(1) = = 1. Sambandet mellan in- och utsignalerna z-transformer är enligt (7.25) Ŷ (z) = 1 0.2z z z 2 ˆX(z) (7.31) I detta fall är insignalen en stegfunktion, vars transform är (jämför exempel 7.1) så att Ŷ (z) = ˆX(z) = 1 1 z 1 (7.32) 1 0.2z 1 (1 0.9z z 2 )(1 z 1 ) (7.33) För att bestämma den sökta sekvensen {y(0), y(1), y(2),...} bör z-transformen Ŷ (z) inverteras. På detta sätt kan en analytisk lösning av differensekvationen bestämmas. Metoder för invertering av z-transformer beskrivs i avsnitt
8 {x(n)} + {e(n)} G {y(n)} {r(n)} K Figur 7.2: Diskret systemkoppling. Problem 7.1. Betrakta systemkopplingen i figur 7.2, där systemet G definieras av differensekvationen och K definieras av y(n) 0.8y(n 1) = e(n) (7.34) r(n) 0.5r(n 1) = y(n 1) + 0.1y(n 2) (7.35) Visa att utsignalens z-transform ges av Ŷ (z) = 1 0.5z z z 2 ˆX(z) (7.36) 7.4 Stabiliteten hos linjära diskreta system Vid syntes av diskreta system och filter är det viktigt att garantera systemets stabilitet. I signalbehandlingstillämpningar brukar stabiliteten hos ett system defineras på följande sätt: Ett system H säges vara stabilt om varje begränsad insignalsekvens ger upphov till en begränsad utsignalsekvens. Med en begränsad insignalsekvens avses i detta sammanhang att {x(n)} skall satisfiera x(n) < M x <, alla n, och {y(n)} skall på samma sätt satisfiera y(n) < M y <, alla n. Denna definition av stabilitet brukar kallas BIBO-stabilitet ( Bounded-Input-Bounded-Output stabilitet). Stabiliteten hos ett system kan enkelt karakteriseras med hjälp av systemets impulssvar och överföringsfunktion. Vi har att ett system är stabilt om och endast om impulssvaret {h(k)} satisfierar olikheten h(k) < (7.37) 104
9 Vi har nämligen att (7.37) implicerar att för varje begränsad insignalsekvens x(n) < M x satisfierar utsignalen olikheten y(n) = h(k)x(n k) h(k)x(n k) h(k) x(n k) h(k) M x < (7.38) Om å andra sidan villkoret (7.37) inte gäller, ger den begränsade insignalsekvensen x(n k) = { h(k), h(k) om h(k) 0 0, om h(k) = 0 (7.39) en oändlig utsignal, ty y(n) = h(k)x(n k) = h(k) = (7.40) Stabilitetsvillkoret kan ges en speciellt enkel form med hjälp av överföringsfunktionen H(z). Speciellt gäller att stabiliteten kan uttryckas med hjälp av polerna hos funktionen H(z). Överföringsfunktionen är en funktion av den komplexa variabeln z. De värden z = p i för vilka H(p i ) = kallas funktionens poler. Polerna hos en rationell överföringsfunktion av formen (7.23) eller (7.24) är helt enkelt nämnarpolynomets nollställen. Vi har följande stabilitetsresultat. Stabiliteten hos linjära diskreta system. Ett linjärt diskret system som representeras av överföringsfunktionen H(z) är stabilt om och endast om alla poler p i hos H(z) är till absoluta beloppet mindre än ett, p i < 1, dvs de befinner sig innanför enhetscirkeln. Resultatet följer direkt ur stabilitetskriteriet (7.37), ty ur överföringsfunktionens definition (7.17) har vi att för alla z 1 gäller H(z) h(n)z n n=0 h(n) z n n=0 h(n) [ z 1] (7.41) n=0 105
10 Det följer att för ett stabilt system är H(z) begränsad för alla z 1, och kan därför ej ha poler utanför enhetscirkeln. Det omvända kan visas enligt liknande argument. Problem 7.2. Undersök stabiliteten hos ett system som beskrivs av differensekvationen y(n) + cy(n 1) = dx(n) (7.42) Bestäm stabilitetsvillkor med hjälp av såväl impulssvaret som överföringsoperatorn. 7.5 Invertering av z-transformen Vi har ovan sett att utsignalen från diskreta system för olika insignaler på ett kompakt sätt kan uttryckas med hjälp av z-transformen. Det är då av intresse att bestämma den diskreta signal som motsvarar den erhållna z-transformen. Detta är ekvivalent med problemet att beräkna inversen av z-transformen; {x(n)} = Z 1 [ ˆX(z)]. Såsom vi sett har z-transformerna ofta formen av en rationell funktion i z 1, ˆX(z) = b 0 + b 1 z b M z M 1 + a 1 z a N z N (7.43) Vi skall i det följande diskutera systematiska metoder för beräkning av den inversa z-transformen av rationella funktioner. A. Metod baserad på serieutveckling och lång division. Den enklaste proceduren för invertering av z-transformer baserar sig direkt på definitionen (7.5). Från definitionen följer att z-transformen i (7.43) kan utvecklas enligt ˆX(z) = b 0 + b 1 z b M z M 1 + a 1 z a N z N = x(0) + x(1)z 1 + x(2)z 2 + x(3)z 3 + (7.44) Den sökta sekvensen {x(n)} kan således bestämmas genom att utföra divisionen med hjälp av s.k. lång division. Ekvationen kan skrivas i formen [1 + a 1 z a N z N ][x(0) + x(1)z 1 + x(2)z 2 + x(3)z 3 + ] = b 0 + b 1 z b M z M (7.45) Kravet att koefficienterna för de olika potenserna av z skall överensstämma ger ekvationerna z 0 -termen: z 1 -termen: z 2 -termen:. b 0 = x(0) b 1 = a 1 x(0) + x(1) b 2 = a 2 x(0) + a 1 x(1) + x(2). 106
11 från vilka den sökta sekvensen x(0), x(1), x(2),... kan bestämmas rekursivt. I denna metod fås den sökta sekvensen rekursivt, och metoden är ekvivalent med att i tidsplanet direkt lösa en differensekvation som motsvaras av överföringsfunktionen ˆX(z) och vars insignal är en impuls vid tidpunkten n = 0 (vars z-transform är lika med 1). Mera intressanta metoder för att bestämma inversa z-transformen är sådana som ger lösningen analytiskt. Problem 7.3. Använd lång division för att bestämma utsignalsekvensen {y(0), y(1), y(2),...} från systemet i exempel 7.3, vars transform gavs av (7.33). B. Residymetoden. Från sambandet (7.6) mellan z-transformen och Fouriertransformen samt det faktum att inversen av Fouriertransformen ges av (4.22) har vi x(n) = 1 2π = 1 2πj 2π ω=0 z =1 ˆX(e jω )e jωn dω ˆX(z)z n dz z [z = e jω ] (7.46) där vi infört substitutionen z = e jω och utnyttjat det faktum att dz = je jω dω = jzdω. Enligt teorin för analytiska komplexa funktioner kan integraler av denna form uttryckas med hjälp av integrandens residyer evaluerade vid polerna innanför integrationsområdet. Eftersom invertering av z-transformen med hjälp av partialbråksuppdelning och tabellerade z-transformer i de flesta sammanhang är lika användbar och dessutom enklare att tillämpa än residymetoden, kommer denna inte att diskuteras mera ingående här. För mera detaljer hänvisas till t.ex. Ifeachor och Jervis (1993). C. Användning av partialbråksuppdelning och tabellerade z-transformer. Betrakta funktionen ˆX(z) i (7.43). Om nämnarpolynomet har enbart nollställen av första ordning z = p i, så att det kan faktoriseras enligt 1 + b 1 z b N z N = (1 p 1 z 1 ) (1 p 2 z 1 )... (1 p N z 1 ) (7.47) så kan funktionen ˆX(z) partialbråkuppdelas enligt ˆX(z) = C 0 + C 1 1 p 1 z + C p 2 z + + C N 1 1 p N z 1 = C 0 + C 1z z p 1 + C 2z z p C Nz z p N (7.48) Den inversa transformen kan då bestämmas med hjälp av kända inverser för de enskilda termerna i utvecklingen. Från exempel 7.2 har vi att z/(z p i ) är transformen av sekvensen {x i (n)} = {p n i }. Vi får således att den sökta sekvensen {x(n)} vars transform är ˆX(z) ges av x(n) = C 0 + C 1 p n 1 + C 2 p n C N p n N (7.49) 107
12 Formeln gäller även i det fall att det finns komplexkonjugerade nollställen, p k = p l, varvid bidragen från dessa kan kombineras ihop till en reell term, jämför problem 7.4. Ifall nämnarpolynomet i (7.43) har ett nollställe p k av ordningen m, kommer partialbråksuppdelningen att innehålla termer av formen m i=1 D i (z p k ) i (7.50) med olika potenser upp till m av faktorn z p k i nämnaren. Den inversa z-transformen av dessa kan bestämmas med hjälp av de tabellerade z-transformerna. Problem 7.4. Visa att utsignalsekvensen {y(0), y(1), y(2),...} från systemet i exempel 7.3, vars transform gavs av 1 0.2z 1 Ŷ (z) = (7.51) (1 0.9z z 2 )(1 z 1 ) är y(n) = ( )( ) n 0.5( )( ) n j j j j 3 (7.52) vilket, uttryckt med hjälp av endast reella tal, är ekvivalent med y(n) = ) n/ ( cos( n ) (7.53) 2 Verifiera att den erhållna sekvensen är samma som erhölls i problem 7.3. Exempel 7.4. Fibonacci introducerade år 1202 en berömd talsekvens, som beskriver antalet kaniner under en följd av år. Det antas att varje kaninpar producerar ett nytt kaninpar varje år, och att det tar ett år för ungarna att bli vuxna. Om man startar med ett par kaninungar år noll, har man alltså ett fullvuxet kaninpar år nummer ett, år nummer två har man två kaninpar (det ursprungliga plus ett nytt par ungar), år nummer tre har man tre kaninpar (de två från år två plus ett nytt par ungar), osv så att antalet kaninpar y(n) år nummer n är lika med antalet y(n 1) från året tidigare plus antalet ungar som produceras av de fullvuxna kaninerna föregående år, vilka är y(n 2) stycken. Sekvensen beskrivs således av differensekvationen y(n) = y(n 1) + y(n 2) med starttillståndet y(0) = y(1) = 1. Vi skall bestämma ett analytiskt uttryck för y(n) med hjälp av de tidigare presenterade metoderna för lösning av differensekvationer. 108
13 Starttillståndet för differensekvationen kan beaktas på ett bekvämt sätt genom att införa en lämpligt vald insignalsekvens {x(n)}, och skriva differensekvationen i standardformen y(n) y(n 1) y(n 2) = x(n) där y(n) = 0, n < 0. Insignalsekvensen x(n) = { 1, n = 0 0, n 0 ger då det korrekta starttillståndet för y(0) och y(1). Enligt (7.18) har Ŷ (z) = H(z) ˆX(z). Sekvensen {x(n)} har z-transformen ˆX(z) = 1, så vi får Ŷ (z) = Här kan nämnarpolynomet faktoriseras enligt 1 1 z 1 z 2 = z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 = (z p 1 )(z p 2 ) där p 1 = 1 2 (1 + 5), p 2 = 1 2 (1 5) är rötterna till z 2 z 1 = 0. En partialbråksuppdelning ger z 2 ( Ŷ (z) = (z p 1 )(z p 2 ) = A1 z2 + A ) 2 z p 1 z p 2 där A 1 och A 2 satisfierar (enligt förlängning) A 1 (z p 2 ) + A 2 (z p 1 ) = 1 vilket ger Vi kan skriva Ŷ (z) i formen A 1 = 1 5, A 2 = A 1 Ŷ (z) = z ( A1 z z p 1 + A 2z z p 2 ) Jämförelse med tabell 7.1 visar att den första termen inom parentesen är z-transformen till sekvensen {A 1 p n 1}, medan den andra termen är z-transformen till sekvensen {A 2 p n 2}. Vi kan således skriva A 1 z ( = A p1 z 1 + p 2 z p 1z 2 + p 3 1z ) 1 109
14 och vilket ger A 2 z ( = A p2 z 1 + p 2 z p 2z 2 + p 3 2z ) 2 Ŷ (z) = za 1 ( 1 + p1 z 1 + p 2 1z 2 + p 3 1z ) +za 2 ( 1 + p2 z 1 + p 2 2z 2 + p 3 2z ) = (A 1 + A 2 )z + (A 1 p 1 + A 2 p 2 ) + (A 1 p A 2 p 2 2)z 1 + (A 1 p A 2 p 3 2)z 2 Beaktande av att A 1 + A 2 = 0 (jfr ovan) får vi att Ŷ (z) är z-trasformen av sekvensen eller {y(n)} = {A 1 p 1 + A 2 p 2, A 1 p A 2 p 2 2, A 1 p A 2 p 3 2,...} y(n) = A 1 p n A 2 p n+1 2, n = 0, 1, 2,... Introduktion av de numeriska värdena för A 1, A 2 och p 1, p 2 ger till slut sökta sekvensen y(n) = 1 ( ) n ( ) n+1 1 5, n = 0, 1, 2, Anmärkning 7.2. Observera att lösningen av en linjär differensekvation för en stor mängd av insignaler har en z-transform av formen (7.43). Den presenterade metoden ger således en enkel procedur för att bestämma en analytisk lösning till en linjär differensekvation. Metoden är analog med proceduren att lösa differentialekvationer med hjälp av Laplacetransformen. 110
15 Sekvens z-transform Konvergens- {x(n)}, n 0 ˆX(z) område cδ(n) c Alla z cz c z > 1 z 1 cz cn (z 1) 2 z > 1 cn 2 cz(z + 1) (z 1) 3 z > 1 cz z e α z > e α cze α (z e α ) 2 z > e α ce αn cne αn 1 e αn z(1 e α ) z 2 z(1 + e α ) + e α z > e α cos(αn) z(z cos α) z 2 2z cos α + 1 z > 1 sin(αn) z sin α z 2 2z cos α + 1 z > 1 e αn sin(αn) ze α sin α z 2 2e α z cos α + e 2α z > e α e αn cos(αn) ze α (ze α cos α) z 2 2e α z cos α + e 2α z > e α cosh(αn) z(z cosh α) z 2 2z cosh α + 1 z > cosh α z sinh α sinh(αn) z 2 z > sinh α 2z cosh α + 1 cα n cz z > α z α cnα n cαz (z α) 2 z > α Tabell 7.1: z-transformerna av några vanliga sekvenser. Här är c och α reella konstanter, och δ(n) är impulsfunktionen; δ(n) = 0, n 0 och δ(0) =
Implementering av digitala filter
Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs mer1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merKan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?
Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet? 1 Om svaret på frågan är ja så öppnar sig möjligheten att skapa en generell verktygslåda som fungerar för analys och manipulering
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs merImpulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar
6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 08-05-3 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Vic A Hjälpmedel: Viktigt: Miniräknare och en valfri
Läs merDIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)
DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM
Läs merSignaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet
6. Stabilitet 6. Stabilitet Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, EITA50, LP4, 209 Inlämningsuppgift av 2, Assignment out of 2 Inlämningstid: Lämnas in senast kl
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik. SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI265 Inlämningsuppgift 1 (av 2), Task 1 (out of 2)
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Inlämningsuppgift (av ), Task (out of ) Inlämningstid: Inlämnas senast kl 7. fredagen den 5:e maj
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 015-06-05 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 14.00 19.00 Sal: MA:10, C-J Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merSYSTEM. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System.
SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET SYSTEMEGENSKAPER System y(t) y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
Läs merGRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen
GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs mer6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6. Stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner. 6. Stabilitet. 6.2 Poler och stabilitet. 6.1 Stabilitetsdefinitioner
Såsom framgått i de två inledande kapitlen förutsätter en lyckad regulatordesign kompromisser mellan prestanda ( snabbhet ) och stabilitet. Ett system som oreglerat är stabilt kan bli instabilt genom för
Läs mer( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före
Några allmänna kommentarer gällande flera av lösningarna: Genomgående används kausala signaler och kausala system, vilket innebär att det är den enkelsidiga laplacetransformen som används. Bokens författare
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merLösningar till Övningsuppgifter
Lösningar till Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 07 Department of Electrical and Information Technology Lund
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet G33(1) TER4(63)
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2017-01-07 Sal (2) G33(1) TER4(63) Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 209-06-07 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Victoriahallen, Victoriahallen 2A Hjälpmedel: Viktigt:
Läs merTillämpad Fysik Och Elektronik 1
FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK
Läs mer3 differensekvationer med konstanta koefficienter.
Matematiska institutionen Carl-Henrik Fant 17 november 2000 3 differensekvationer med konstanta koefficienter 31 T Med en menar vi en av rella eller komplexa tal varje heltal ges ett reellt eller komplext
Läs merÖvningsuppgifter. Digital Signal Processing. Övningar med svar och lösningar. Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson. rev.
Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 17 Department of Electrical and Information Technology Lund University Introduktion
Läs merTSDT15 Signaler och System
TSDT5 Signaler och System DATORUPPGIFTER VÅREN 03 OMGÅNG Mikael Olofsson, mikael@isy.liu.se Efter en förlaga av Lasse Alfredsson February, 03 Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merFöreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner
Föreläsning 8, Introduktion till tidsdiskret reglering, Z-transfomer, Överföringsfunktioner Reglerteknik, IE1304 1 / 24 Innehåll 1 2 3 4 2 / 24 Innehåll 1 2 3 4 3 / 24 Vad är tidsdiskret reglering? Regulatorn
Läs merTSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter
TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt +
Läs merReglerteknik I: F2. Överföringsfunktionen, poler och stabilitet. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F2 Överföringsfunktionen, poler och stabilitet Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 16 Linjära systemmodeller Linjära tidsinvarianta modeller är användbara
Läs merMiniräknare, formelsamling i signalbehandling.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-4 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: Sparta B, D Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling.
Läs merFöreläsning 1 Reglerteknik AK
Föreläsning 1 Reglerteknik AK c Bo Wahlberg Avdelningen för Reglerteknik, KTH 29 augusti, 2016 2 Introduktion Example (Temperaturreglering) Hur reglerar vi temperaturen i ett hus? u Modell: Betrakta en
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merInnehåll. Innehåll. sida i
1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik Tentamen 6-6- SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 8.-3. Sal: Vic, - Hela Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 19 januari 211 Transformer och differentialekvationer (MVE1) Styckvis definierade funktioner forts. Laplacetransformen Som nämnts i inledningen
Läs mer0 1 2 ], x 2 (n) = [ 1
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. for Elektro- och Informationsteknik Tentamen 7-- SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI Tid: 8.-3. Sal: Vic - Hela Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling och
Läs merMiniräknare och formelsamling i signalbehandling. [Allowed items on exam: calculator and DSP table of formulas ]
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-8 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: MA:9 A-D Hjälpmedel: Miniräknare och formelsamling i signalbehandling.
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merFöreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system
Föreläsning 10, Egenskaper hos tidsdiskreta system Reglerteknik, IE1304 1 / 26 Innehåll Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering 1 Kapitel 18.1. Skillnad mellan analog och digital reglering
Läs merTentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016
Institutionen för matematik KTH Håkan Hedenmalm Tentamen i Komplex analys, SF68, den oktober 06 Skrivtid 4.00-9.00. Inga hjälpmedel är tillåtna. Skriv tydliga lösningar med utförliga motiveringar. För
Läs merTentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30
Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 04-05-7 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 4.00 9.00 Sal: MA:0 Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs mer2F1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
F Spektrala transformer för Media Tentamen 68 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: :9 p, : p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare, formelblad
Läs merÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.
ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Potensserielösningar Analytiska funktioner Konvergensradie Rot- och
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merDT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSyntes av digitala filter
Kapitel 8 Syntes av digitala filter 8. Digitala filter I kapitel 7 hade vi sambandet (7.8) för ett linjärt system, enligt vilket utsignalens z-transform är insignalens transform multiplicerad med systemets
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merApproximation av funktioner
Vetenskapliga beräkningar III 8 Kapitel Approximation av funktioner Vi skall nu övergå till att beskriva, hur man i praktiken numeriskt beräknar funktioner I allmänhet kan inte ens elementära funktioner
Läs merFÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter
FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 205-0-, 8-3 Lokaler: U, U3, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 9.30 och.30 tel 073-80 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merDiskreta Linjära System och Skiftregister
Sammanfattning Föreläsning 13-14 - Digitalteknik I boken: avsnitt 7.1-7.3 (-) Diskreta Linjära System och Skiftregister Syftet med denna del är att förstå att tillståndsmaskiner som endast består av linjära
Läs merFaltning av följder och funktioner
Den 28 augusti 2001 Faltning av följder och funktioner Christer O. Kiselman Innehåll: 1. Inledning 2. Faltning av följder 2.1. Beteckningar för följder 2.2. Faltningsprodukten av två följder 2.3. Faltningsekvationer
Läs merDT1120 Spektrala transformer för Media Tentamen
DT Spektrala transformer för Media Tentamen 77 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: 3:9 p, 4: 3 p, 5: 7 p Tillåtna hjälpmedel: räknare,
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet KÅRA T1 T2 U2 U4
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-10-28 Sal (5) KÅRA T1 T2 U2 U4 Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Grundläggande
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merv0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik
v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp
ÖVNINGSTENTAMEN Modellering av dynamiska system 5hp Tid: Denna övn.tenta gås igenom 25 maj (5h skrivtid för den riktiga tentan) Plats: Ansvarig lärare: Bengt Carlsson Tillåtna hjälpmedel: Kurskompendiet
Läs merRÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4
Kapitel 4 Läsanvisningar till kapitel 4 Taylors sats samt Cauchyuppskattningar och några konsekvenser Taylorserier är något ni är bekannt med sedan era reellanalyskurser. Höjdpunkten i detta avsnitt säger
Läs merIntroduktion till Digitala filter
Introduktion till Digitala filter Eddie Alestedt 000 Detta hšfte Šr avsett att vara en introduktion till Digitala Filter och ger nœgra exempel pœ olika tillšmpningar samt hur man kan gœ tillvšga fšr att
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merPROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA april 2011
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Salling (7-65753) PROV I MATEMATIK Transformmetoder MA34 8 april SKRIVTID: 8-3 HJÄLPMEDEL: Formelsamling (delas ut) och miniräknare. MOTIVERA alla lösningar
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-08-22 kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 6.00. tel 0702/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merÖvningar i Reglerteknik. Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys. y(0) = 2,
Differentialekvationer Övningar i Reglerteknik Differentialekvationer kan lösas med de metoder som behandlades i kurserna i matematisk analys.. Lös följande begynnelsevärdesproblem dy dt y =, t > 0 y(0)
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs merLäsanvisningar till kapitel
Läsanvisningar till kapitel 5. 5.8 5. Följder och serier Detta avsnitt är repetition, och jag hoppas att ni snart kan snappa upp det som står däri. Speciellt viktigt är det att komma ihåg vad en geometrisk
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:
Läs merLösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018
Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs mer