Diskreta Linjära System och Skiftregister

Transkript

1 Sammanfattning Föreläsning Digitalteknik I boken: avsnitt (-) Diskreta Linjära System och Skiftregister Syftet med denna del är att förstå att tillståndsmaskiner som endast består av linjära funtioner kan beskrivas och analyseras på ett enklare sätt än i det allmänna fallet. Definition (Linearity). En funktion f kallas linjär om f(x y) = f(x) f(y), (L 1 ) f(αx) = αf(x). (L 2 ) En Boolesk funktion är linjär om och endast om den kan skrivas på formen f(x) = a 1 x 1 a n x n = ( ) a 1... a n x 1. x n = ax, a i {0, 1}. Varje kombinatoriskt nät som bara innehåller modulo 2 adderare realiserar en linjär Boolesk funktion, och en linjär Boolesk funktion kan implementeras med endast modulo 2 adderare. Linearitetstest: Skriv funktionen i RMF form och se om den har enbart linjära termer och konstantterm= 0. Olika sätt att ta fram RMF formen från ett Booleskt uttryck: Använd definitionen av de olika Booleska operationerna: a b = a b a b = a b ab a = 1 a Använd demorgan s lag för att bli av med, samt använd a = 1 a. Skriv funktionen i DNF form. Använd sedan att och a = 1 a. m i m j = m i m j m i m j = m i m j }{{} =0, i j Ett linjärt sekvensnät är ett sekvensnät med endast modulo 2 adderare och fördröjningselement. Theorem. Ett linjärt sekvensnät kan beskrivas på formen { q + =Aq Bx, u=cq Hx.

2 Rangen av en matris: Rangen av matrisen A är det maximala antalet linjärt oberoende rader (eller kolumner) i A. För en m n matris så är Rank(A) min{m, n}. Invers matris: om m = n: Rank(A) = m A 1 existerar, AA 1 = A 1 A = I. om m < n: Rank(A) = m A 1 R om m > n: Rank(A) = n A 1 L existerar, AA 1 R = I. existerar, A 1 L A = I. Beräkning av rang och eventuell invers: Använd exempelvis Gauss (-Jordan) elimination. Se kursen linjär algebra. Notera dock att alla operationer sker i Z 2. Ett sekvensnät är observerbart om tillståndet kan bestämmas utifrån observation av insignaloch utsignalsekvenser. Test för observerbarhet: Ett linjärt sekvensnät är observerbart om och endast om diagnostikmatrisen (diagnostic matrix) C CA K = CA 2. CA r 1 har full rang, Rank(K) = r. Ett linjärt sekvensnät är styrbart om vi kan driva maskinen från godtyckligt tillstånd σ till godtyckligt tillstånd σ genom insignalsekvensen. Test för styrbarhet: Ett linjärt sekvensnät är styrbart om och endast om styrbarhetsmatrisen L = ( B AB A 2 B... A r 1 B ) har maximal rang, Rank(L) = r. Reducerad form Ett nät som inte är observerbart är alltså inte minimalt. formen ges av: Den minimala Theorem (7.4). Låt A, B, C, och H vara matriserna för ett linjärt sekvensnät där Rank(K) = k. Då ges den reducerade formen av A red = T AR B red = T B C red = CR H red = H där T består av de första k linjärt oberoende raderna av diagnostikmatrisen K, och R är en högerinvers till T. D-transformen: Den binära sekvensen x =... x 1 x 0 x 1 x 2...

3 kan representeras som x(d) = x 1 D 1 x 0 x 1 D x 2 D 2... = i x i D i, där D kallas obestämd och agerar platsmarkerare; exponenten till en term i summan indikerar till vilken tidpunkt koefficienten hör. Mängden av alla sådana sekvensuttryck kallas en Laurentserie och om vi begränsar oss till sekvenser där x i = 0 om i < 0 (x(d) = i=0 x id i ) så kallas dessa uttryck potensserier. D-transformen av periodiska sekvenser: En periodisk sekvens har D-transformen s = [s 0 s 1... s T 1 ] = s 0... s T 1 s 0... s T 1... s(d) = P (D) 1 D T, där P (D) är D-transformen av de T första symbolerna, P (D) = D(s 0 s 1... s T 1 ). För en sekvens x(d) innebär multiplikation med D (Dx(D)) en tidsförskjutning en tidsenhet. Om γ(d) är nästa-tillståndsfunktionen så svarar Dγ(D) mot nuvarande tillstånd. En analys av vårt linjära system beskrivet med matriser som tidigare ger då: Theorem. Relationen mellan insignal x och utsignal u i ett linjärt sekvensnät beskrivs av överföringsfunktionen G(D) (även kallad systemfunktionen) där Överföringsfunktionen G(D) kan beräknas ur u(d) = G(D)x(D). G(D) = C ( I AD ) 1 BD H. Former för realisering givet överföringsfunktionen: Anta att överföringsfunktionen är g(d) = b(d) c(d). Definition (CCF). Realisering i styrbar kanonisk form (skiftregister) av g(d) = b 0 b 1 D b m D m 1 c 1 D c m D m u j b 0 b 1 b m 1 b m x j + w j 1 w j 2 w j m + c 1 c 2 + c m Definition (OCF). Realisering i observerbar kanonisk form av g(d) = b 0 b 1 D b m D m 1 c 1 D c m D m

4 x b m b m 1 b m 2 b u c m c m 1 c 1 Styrbarhet och observerbarhet: En realisering i styrbar kanonisk form är styrbar men inte nödvändigtvis observerbar (ekvivalenta tillstånd kan finnas). En realisering i observerbar kanonisk form är observerbar men inte nödvändigtvis styrbar (det kan finnas tillstånd som ej går att nå). Ett linjärt återkopplat skiftregister (LFSR) är ett skiftregister (en kaskad av minneselement som skiftar innehållet ett steg) där insignalen är en linjär funktion av skiftregistrets innehåll. + + c L c L 1 c 1 s 0, s 1,... s j L s j L+1 s j 1 s j En tillståndsgraf över skiftregistrets olika möjliga tillstånd ger ett antal cykler (cykliska delgrafer). En första observation är att tillståndet 00 0 alltid ligger i en egen cykel med längd 1 (eftersom återkopplingen är linjär). En annan observation är att perioden hos en sekvens är densamma som längden av den cykel där skiftregistret befinner sig. Starttillståndet är det tillstånd vi börjar i när sekvensen startar. Definition. Om alla tillstånd utom nolltillståndet ligger i en och samma cykel har cykeln alltså maximal längd för ett LFSR och sekvensen som genereras kallas för en maximallängssekvens. En maximallängssekvens har alltså period 2 L 1, där L är antal minneselement i skiftregistret. Definition (Återkopplingspolynom). Den generella formen för ett LFSR ges av + + c L c L 1 c 1 s 0, s 1,... s j L s j L+1 s j 1 s j Koefficienterna c = (1, c 1,..., c L ) bestämmer återkopplingen. D-transformen av c C(D) = 1 i=1 c0=1 c i D i = c i D i i=0

5 kallas för återkopplingspolynomet för det linjärt återkopplade skiftregistret. Sekvenserna från ett LFSR uppfyller skiftregister rekursionen c i s j i = 0, i=0 j L där c 0 = 1. Notera att ekvationen endast gäller för j L, då de första L symbolerna är starttillståndet. LFSR teoremet: Theorem. Ett LFSR med återkopplingspolynom C(D), deg C(D) = L, kan generera sekvensen s om och endast om S(D) kan skrivas som där deg P (D) < deg C(D). S(D) = P (D) C(D)