Kapitel Ekvationsräkning

Transkript

1 Kapitel Ekvationsräkning Din grafiska räknare kan lösa följande tre typer av beräkningar: Linjära ekvationer med två till sex okända variabler Högregradsekvationer (kvadratiska, tredjegrads) Lösningsräkning Före ekvationsräkning 7-2 Linjära ekvationer med två till sex okända variabler 7-3 Kvadratiska och tredjegradsekvationer 7-4 Lösningsräkning 7-5 Om fel inträffar

2 7-1 Före ekvationsräkning Innan du startar en ekvationräkning måste det korrekta arbetsläget kopplas in, och ekvationsminnena måste tömmas på data som kvarstår från tidigare beräkningar. k Att gå in i läget för ekvationsräkning Uppvisa huvudmenyn och välj ikonen EQUA för att gå in i ekvationsläget. {SIML}... {linjära ekvationer med två till sex okända variabler} {POLY}... {kvadratiska eller tredjegradsekvationer} {SOLV}... {lösningsräkning} k Att tömma ekvationsminnet 1. Gå in i önskat läge för ekvationsräkning (SIML eller POLY) och utför sedan funktionstangentoperationen som krävs för detta läge. I läget SIML (1), ska funktionstangent 1 (2) t.o.m. 5 (6) användas för att specificera antalet okända. I läget POLY (2), ska funktionstangent 1 (2) eller 2 (3) användas för att specificera graden av polynomer. Gå direkt till steg 2 om du tryckte på 3 (SOLV). 2. Tryck på 2 (DEL). 3. Tryck på 1 (YES) för att radera ekvationsminnet i det nuvarande ekvationsläget eller på 6 (NO) för att avbryta utan att radera något. 100

3 7-2 Linjära ekvationer med två till sex okända variabler Använd nedanstående tillvägagångssätt för att lösa linjära ekvationer med okända variabler som matchar följande format: Två okända variabler a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Sex okända variabler a1x + b1y + c1z + d1t + e1u + f1v = g1 a2x + b2y + c2z + d2t + e2u + f2v = g2 a3x + b3y + c3z + d3t + e3u + f3v = g3 a4x + b4y + c4z + d4t + e4u + f4v = g4 a5x + b5y + c5z + d5t + e5u + f5v = g5 a6x + b6y + c6z + d6t + e6u + f6v = g6 Det går också att lösa linjära ekvationer med tre, fyra och fem okända variabler. Formatet är snarlikt de som visas ovan. k Specificering av antal okända Gå in i ekvationsläget visas, tryck på 1 (SIML) och specificera sedan antalet okända. {2}/{3}/{4}/{5}/{6}... linjär ekvation med {2}/{3}/{4}/{5}/{6} okända 101

4 7-2 Linjära ekvationer med två till sex okända variabler k Att lösa en linjär ekvation med tre okända variabler Exempel Lös följande linjära ekvationer för x, y, och z: 4x + y 2z = 1 x +6y +3z = 1 5x +4y + z = 7 1. Kontrollera att läget för linjära ekvationer (SIML) visas och tryck på 2 (3) eftersom ekvationen som ska lösas har tre okända variabler. 2. Mata in varje koefficient. ewbw-cw-bw bwgwdwbw -fwewbw-hw Cell för koefficientinmatning Värde som matas in i framhävd cell Vid vart tryck på w registreras det inmatade värdet i den framhävda cellen. Vart tryck på w matar in värden i följande ordning: koefficient a1 koefficient b1 koefficient c1 koefficient d1 koefficient an koefficient bn koefficient cn koefficient dn (n = 2 till 6) Det går att mata in bråk och innehåll i värdeminnet som koefficienter. 3. Efter inmatning av koefficienter, lös ekvationen. 1(SOLV) Framhävd cell med lösningsvärde 102

5 Linjära ekvationer med två till sex okända variabler 7-2 Interna beräkningar utförs med en 15-siffrig mantissa, men resultaten uppvisas med en 10-siffrig mantissa och 2-siffrig exponent. Räknaren löser simultana linjära ekvationer genom att placera koefficienterna i en matris. På grund av detta reduceras exaktheten i den inverterade matrisen när koefficientmatrisen närmar sig noll, och exaktheten i resultatet försämras i motsvarande grad. Exempelvis skulle lösningen för en linjär ekvation med tre okända variabler beräknas på nedanstående sätt. x a1 b1 c1 1 d1 y = a2 b2 c2 d2 z a3 b3 c3 d3 Ett fel uppstår närhelst enheten inte kan lösa ekvationen. Ett tryck på 1 (REPT) återställer till den ursprungliga skärmen för linjära ekvationer. Beroende på koefficienterna som används kan det ta ganska lång tid innan räkneresultatet för simultana linjära ekvationer visas på skärmen. Det har alltså inte uppstått fel på räknaren om resultatet inte visas omedelbart. k Att ändra koefficienter Det går att ändra en koefficient antingen före eller efter att den registrerats med w. uatt ändra en koefficient före registrering med w Tryck på tangenten A för att radera det nuvarande värdet och mata in ett nytt värde. uatt ändra en koefficient efter registrering med w Använd markörtangenterna för att framhäva cellen som innehåller koefficienten du vill ändra. Mata sedan in det nya värdet. k Att radera alla koefficienter Kontrollera att läget för linjära ekvationer är inkopplat och tryck på funktionstangenten 3 (CLR). Denna operation ställer alla koefficienter på noll. 103

6 7-3 Kvadratiska och tredjegradsekvationer Räknaren kan även lösa kvadratiska (andragrads) och tredjegradsekvationer som matchar följande format (när a G 0): Kvadratiska: ax 2 + bx + c = 0 Tredjegrads: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 k Specificering av ekvationsgrad Gå in i ekvationsläget, tryck på 2 (POLY) och specificera sedan önskad ekvationsgrad. {2}/{3}... {kvadratisk ekvation}/{tredjegradsekvation} k Att lösa en kvadratisk eller tredjegradsekvation Exempel Lös följande tredjegradsekvation: x 3 2x 2 x + 2 = 0 1. Tryck på 2 (3) för att gå in i läget för tredjegradsekvation. 2. Mata in varje koefficient. bw-cw-bwcw Vid vart tryck på w registreras det inmatade värdet i den framhävda cellen. Vart tryck på w matar in värden i följande ordning: koefficient a koefficient b koefficient c koefficient d Inmatning av koefficient d krävs bara för tredjegradsekvationer. Det går att mata in bråk och innehåll i värdeminnet som koefficienter. 3. Efter inmatning av koefficienterna ska du trycka på 1 (SOLV) för att lösa ekvationen. Framhävd cell med lösningsvärde 104

7 Kvadratiska och tredjegradsekvationer 7-3 Interna beräkningar utförs med en 15-siffrig mantissa, men resultaten uppvisas med en 10-siffrig mantissa och 2-siffrig exponent. Ett fel uppstår närhelst enheten inte kan lösa ekvationen. Ett tryck på 1 (REPT) återställer till den ursprungliga skärmen för tredjegrads ekvationer. k Flerrotslösningar (1 eller 2) eller lösningar med imaginära tal Följande exempel visar hur flerrotslösningar och lösningar med imaginära tal hanteras. uatt lösa en tredjegradsekvation som framställer en flervärdeslösning Exempel Lös följande tredjegradsekvation: x 3 4x 2 + 5x 2 = 0 bw-ewfw-cw 1(SOLV) uatt lösa en tredjegradsekvation som framställer en lösning med imaginära tal Exempel Lös följande tredjegradsekvation: x 3 + x 2 + x 3 = 0 bwbwbw-dw 1(SOLV) Det kan ta ganska lång tid innan räkneresultatet för tredjegradsekvationer visas på skärmen. Det har alltså inte uppstått fel på räknaren om resultatet inte visas omedelbart. 105

8 7-3 Kvadratiska och tredjegradsekvationer k Att ändra koefficienter En koefficient kan ändras antingen före eller efter den registreras med ett tryck på w. uatt ändra en koefficient före registrering med w Tryck på A för att radera det nuvarande värdet och mata in ett nytt värde. uatt ändra en koefficient efter registrering med w Använd markörtangenterna för att framhäva cellen som innehåller koefficienten du vill ändra. Mata sedan in det önskade värdet. k Att radera alla koefficienter Gå in i läget för kvadratiska och tredjegradsekvationer och tryck på funktionstangenten 3 (CLR). Denna åtgärd ställer alla koefficienter på noll. 106

9 7-4 Lösningsräkning Det går att bestämma värdet av en variabel du använder utan att behöva lösa en ekvation. Mata in ekvationen för att uppvisa en tabell över variabler på skärmen. Använd tabellen för att tilldela värden till variablerna och exekvera sedan beräkningen för att erhålla en lösning och uppvisa värdet för den okända variabeln. Sid. 394 Det går inte att använda variabeltabellen i programläget. När du vill använda lösningsfunktionen i programläget är det nödvändigt att använda programkommandon för att tilldela värden till variabler. k Att gå in i läget för lösningsräkning Gå in i ekvationsläget och tryck på 3 (SOLV). Inmatningsskärmen för lösningsläget visas. Mata in uttrycket. Det går att mata in siffror, bokstäver och operationssymboler. Om du inte matar in ett likhetstecken förutsätter räknaren att uttrycket är till vänster om likhetstecknet och att det finns en nolla till höger. Du måste alltså mata in ett likhetstecken och ett värde om du vill specificera ett värde utöver noll till höger om likhetstecknet. uatt utföra lösningsräkning Exempel Beräkna grundhastigheten hos ett föremål som kastas i luften och tar 2 sekunder att nå en höjd på 14 meter då tyngdaccelerationen är 9,8 m/s 2. Följande formel uttrycker förhållandet mellan höjden H, grundhastigheten V, tiden T och tyngdaccelerationen G för tre fallande föremål. 1 H = VT GT Tryck på 2 (DEL) 1 (YES) för att radera eventuella tidigare inmatade ekvationer. 2. Mata in ekvationen. ah!=avat-(b/c)agatx w 107

10 7-4 Lösningsräkning 3. Mata in värdena. bew(h=14) aw(v=0) cw(t=2) j.iw (G=9,8) 4. Tryck på f för att framhäva V = Tryck på 6 (SOLV) för att erhålla lösningen. Ekvation Lösning Ett fel uppstår vid inmatning av mer än ett likhetstecken. Lft och Rgt anger vänster och höger sida som beräknas med det ungefärliga värdet. Ju närmare noll skillnaden mellan dessa två värden ligger, desto större exakthet i resultatet. Lösningsräkning Lösningen för funktionen approximeras med hjälp av Newtons metod. unewtons metod Denna metod baseras på förutsättningen att f(x) kan approximeras med ett linjärt uttryck inom ett väldigt snävt omfång. Ett startvärde (förutspått värde) x0 är först givet. Med detta startvärde som bas erhålls det approximativa värdet x1 och sedan jämförs räkneresultaten för vänster och höger sida. Därefter används det approximativa värdet x1 som grundvärde för att beräkna nästa approximativa värde x2. Denna process upprepas tills skillnaden mellan de beräknade värdena för vänster och höger sida är minimal. Lösningar som erhålls med Newtons metod kan innehålla fel. Kontrollera resultat genom att införliva dem med det ursprungliga uttrycket och utföra beräkningen. 108

11 Lösningsräkning 7-4 Lösningsfunktionen använder Newtons metod för att beräkna approximationer. Det följande kan ibland inträffa när denna metod används. Lösningar kan bli omöjliga att erhålla för vissa uppskattade grundvärden. Mata in ett annat värde som du tror ligger närmare lösningen om detta inträffar och försök sedan på nytt. Det kan hända att räknaren inte lyckas finna en lösning, även om en sådan faktiskt existerar. Beroende på vissa egenskaper hos Newtons metod kan det hända att lösningar för följande typer av funktioner kan vara svåra att beräkna. Periodiska funktioner (t.ex. y = sinx a) Funktioner vars grafer framställer branta kurvor (t.ex. y = e x, y = 1 / x) Inverterade proportionsuttryck och andra osammanhängande funktioner 109

12 7-5 Om fel inträffar ufel under inmatning av koefficientvärdet Tryck på A för att radera felet och återgå till värdet som var registrerat för koefficienten innan du matade in värdet som orsakade felet. Försök sedan att mata in ett nytt värde. ufel under beräkning Tryck på A för att radera felet och uppvisa koefficient a. Försök att mata in värden för koefficienten på nytt. 110