Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Transkript

1 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel för argumentet av en kvot: Vi har att Sätt nu och Då är Alltså får vi Jämför med logaritmlagarna; har man lagen så får man på köpet! Linjära ekvationssystem: Vi har tidigare tittat på ett 2x2 ekvationssystem Vi observerade att det består av ekvationer för linjer, och att lösningsmängden var skärningen av linjerna Vi tittar nu på vad ett 3x3 ekvationssystem betyder och hur man löser det Metoden vi använder för att lösa detta system fungerar även för system med ekvationer och variabler Varje ekvation ovan är faktiskt en ekvation för ett plan Vi säger att ekvationen är på normalform, precis som linjens ekvation ovan Vi återkommer senare under kursen till varför det kallas normalform Specialfall av planets ekvation är 1) 2)

2 2 Återigen är lösningen till ekvationssystemet skärningen mellan 3 plan Lösningen kan därför vara antingen tomma mängden Matrisnotation:, en punkt (vanligast!!), en linje, ett plan, eller hela rummet För att spara tid och möda vill vi undvika att skriva ut variablerna, (eller som de ofta kallas), under hela lösningsprocessen Därför skriver vi om ekvationssystemet ovan som Detta kallas för systemets utökade matris (augmented matrix) och kallas för systemets koefficientmatris Det finns 3 sk radoperationer vi utför på den utökade matrisen för att lösa systemet Dessa radoperation ger nya ekvationssystem som är ekvivalenta (har samma lösningsmängd) som det ursprungliga systemet 1) Byta plats på 2 rader (ekvationer) 2) Multiplicera en rad med ett tal som inte är noll 3) Addera en multipel av en rad till en annan Vi markerar dessa operationer med följande symboler: När vi gör en radoperation på en matris så säger vi att den nya matrisen är radekvivalent med den föregående Vi skriver det som Lösningsförfarandet: Steg 1: Vi börjar med kolonnen längst till vänster Målet är att få en etta någonstans i kolonnen Detta gör vi mha 2) och 3) Om vi bara har nollor i hela kolonnen går vi bara vidare till nästa kolonn Steg 2: Steg 3: under ettan faktor Vi byter plats på rader så att ettan hamnar högst upp Vi adderar multiplar av första raden till de raderna under så att det bara finns nollor

3 3 Betrakta matrisen som består av alla element till höger och under den nya ettan Vi upprepar alla 3 steg på denna matris Tillslut när vi har gått igenom hela matrisen så ska det se ut tex såhär Ettorna, som har egenskapen att de är det första nollskilda elementet på sin rad, kallas för pivotelement När matrisen är i denna form, att det bara finns nollor under och till vänster om pivotelementen, säger vi att den är i trappstegsform (echelon form) Även om ettorna ersätts med andra tal som inte är noll så kallar vi det för trappstegsform Denna metod att få matrisen i trappstegsform kallas för Gausselimination Om fortsätter att göra radoperation 3) kan vi även se till att det är nollor ovanför ettorna Då blir matrisen i reducerad trappstegsform Varför vill vi få den utökade matrisen för ett ekvationssystem på trappstegsform? Svar: Då ser man nästan direkt vad lösningen till ekvationssystemet är! ex Radreducera nedanstående matris till trappstegsform Gausselimination ger: Hade detta varit ett ekvationssystem så hade den sista ekvationen sagt Lösningsmängden måste därför vara OBS!! I praktiken måste man ta många genvägar Ovanstående metod kan bli för omständlig Det kan löna sig att börja med en annan kolonn, eller att konstruera ettan med radoperationen 3) istället för att bara dela raden med ett tal Så blanda metod och känsla

4 4 I koefficientmatrisen svarar varje kolonn mot en variabel De variabler vars kolonn innehåller ett pivotelement kallas för grundvariabler och övriga variabler kallas för fria variabler När vi skriver upp lösningen till ett ekvationssystem så föredrar vi att skriva framför att skriva Detta kallas vektornotation, och kallas för vektor Den allmäna lösningen till ett ekvationssystem Steg 1: Radreducera den utökade matrisen till trappstegsform Steg 2: Kalla de fria variablerna för och om det finns 2 fria variabler (Finns det fria variabler så välj bokstäver!) Steg 3: Tolka den utökade matrisen som ekvationer och lös ut de fria variablerna i termer av Steg 4: Gör följande steg: Variablerna och kallas parametrar och vi säger att lösningen ovan är på parameterform OBS, eftersom parametrarna är fria variabler så får de anta vilka värden som helst Därför bör man lägga till i svaret! ex Om är den utökade matrisen för ett linjärt ekvationssystem som har reducerats till trappstegsform, beskriv den allmäna lösningen på parameterform

5 5 Vi behöver inte göra steg 1 eftersom matrisen redan är i trappstegsform I de två första kolonnerna finns två 1:or som är pivotelement Alltså är grundvariabler Bara är fri variabel Steg 2: Steg 3: Ekvation nr 2 ger att Ekvation nr 1 ger att Steg 4: Svar: Antingen det som står ovan (vektorform som jag tycker är att föredra), eller: