Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller"

Lars-Erik Sundberg
för 7 år sedan
Visningar:

1 April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y + x för alla x och y i M uppfyller också associativa lagen. 4. Det finns ett neutralt element, sådant att x + = x. 5. För varje x finns ett element x, sådant att x + ( x) =. 6. För varje reellt tal c gäller att x M = c x M och c (c x) = (c c) x och speciellt x =. 7. En bas {f, f 2,..., f n } är ett antal (här n) linjärt oberoende vektorer/element som spänner upp M. n, d.v.s. antalet vektorer kallas rummets dimension.. Vektorrummet R n Detta består av de vektorer x som på komponentform kan skrivas x x 2 x =.. x n.2 Vektor och bas för R n Ett element x = R 2 kallas vektor, därav namnet vektorrum. Standardbasen för R 2 är (mängden av) vektorerna [ ] [ ] e = och e 2 = I komponentform vet vi att x = [ x x 2 ] = x e + x 2 e 2 något som följer av lineariteten för vektorer. Definition 2 En delmängd U M är ett underrum om U självt är ett vektorrum. Kommentarer

2 Definitionens punkt. av linjärt rum, d.v.s. att x och y element i M medför att x + y kallas att M är sluten under addition. Proposition En delmängd U till M är ett underrum till M, om Bevis U. x och y ligger i U = x + y ligger i U, c R och x U = c x U. Associativa och kommutativa lagarna gäller i U eftersom de gäller i M. Hypotesen förutsätter att U är sluten under addititon. U x för något x eftersom U och alltså ligger U. För x U väljer vi c =, som visar att x U och alltså följer det att genom att välja x x = U. För R n är {e k, k =, 2,..., n} med e k en n matris med element på plats (k, ) lika med och övriga element lika med, standardbasen. Längden av en sådan vektor är = e k, en enhetsvektor. Ex Rummet R 2 =: M har delmängder [ ] x (a) U = {x =, x R} och (b) U 2 = {c x(), c R}, där x() är en speciell vektor i M. (c) U 3 = {c [2 3] T, c > }. Är något av dessa ett underrum? Vad är i så fall dimensionen på underrrummet? Lösning (a) Antag att x och y ligger i U. Då är [ ] [ ] [ x y x + y x + y = + = ] samt c x = [ c x ] och dessa HL är på samma form som x. Obs! valet x = visar att U. Kommutativa och associativa lagarna är uppfyllda eftersom de gäller i M. Alltså ett underrum. [ ] Vi har att U = {x = c e }, där e =, alltså är dim U =, uppspännt av vektorn e 2 och B = {e 2 } är en bas för underrummet. Vilken vektor v som helst med längd v = är en enhetsvektor. 2

3 (b) För två element gäller att de kan skrivas x = c x() och y = c 2 x(), så att x + y = (c + c 2 )x(), som återigen är på samma form. Även x = cx() = c x = (c c) x() är på samma form och ligger alltså i U 2. Vi ser också att med valet c = är U 2 U 2 = {c x(), c R}, där x() är en speciell vektor i M. Därmed är U 2 ett underrum till M. En bas är just B = {x()} och alltså är dim U =. (c) U 3 = {c [2 3] T, c > }. Observera att / U 3 eftersom vi har villkoret c >. Dessutom ser vi att [2 3] T =: x U, med valet c = > men x = [2 3] T kräver c = < men det strider mot samma villkor. D.v.s. x / U 3. Alltså är U 3 en delmängd som inte är ett underrum. 2 Noll- och kolonnrum 2. Uttrycket A x Givet typ A = m n och typ x = n. Detta uttryck kan skrivas som x a + x 2 a 2 + x 3 a x k a k x n a n A x = x a 2 + x 2 a 22 + x 3 a x k a 2k x n a 2n n... = x k a k. k= x a m + x 2 a m2 + x 2 a m x k a mk x n a mn () Betrakta mittledet i (). Den första termen t.v. i varje rad är satt med fet stil. Vi ser att detta motsvarar x a a 2. a m = x a alltså x gånger första kolonn a i A. Övriga kolonner i mittenledets matris är lika med x k a k R m, där a k är kolonn k i A. Detta visar att mittenledet kan skrivas som HL. Vi ser att, p.g.a. HL i (), är A x en linjärkombination av kolonnerna a, a,..., a n. Mängden av vektorer på formen () är ett linjärt rum U (Visa som övning) som är delmängd till R m ; U kallas då underrum till R m. Man kan utrycka U som spannet av kolonnvektorerna a k : U = span (a, a 2,..., a n ) Vi ser att x som en vektor i R n emedan a k är vektorer i R m. 2.2 Matrisekvationen A x = b Enligt föregående avsnitt är b en linjärkombination av vektorerna {a k : k =, 2,..., n}. Om ekvationen A x = b har lösning betyder det att b span (a, a 2,..., a n ). 3

4 2.2. Kolonnrum Spannet U = span (a, a 2,..., a n ) =: K A, d.v.s. utrryck som i () kallas kolonnrummet till A. Alternativt kan vi skriva K A = {b : A x = b för något x} Nollrum Vi sätter b = och får alltså ekvationen x : A x = och mängden av sådana x utgör också ett underrum (övning) till R n. Detta rum kallas nollrummet till A. 2.3 Noll- och kolonnrum, ett exempel Vi ger ett exempel på noll- och kolonnrum för en matris A. Under Kommentarer finns en utredning om radrummet R A Ex 2 Givet matrisen A = Vi skall radreducera 2 matrisen och bestämma dess rang. Samtidigt löser vi matrisekvationerna A x = b och A x =. i det senare fallet är vi intresserade av de x som ligger i Nollrummet N A och i det första fallet är vi intresserade av att veta om b K A. Gausselemination ger A A = För uttrycket A x är x 2 och x 5 fria variabler. Vi bestämmer först nollrummet N A. Matrisekvationen A x = kan ekvivalent skrivas 2x 2 3x x = 2x 2 3x 5 x 2 x 3 = 4x 5 så att x = 4x 5 x 4 = x 5 x 5 = x 2 +x 5 4 x 5 ett tvådimensionellt underrum till R 5. Observera att de bundna variablerna är uttryckta i de fria variablerna. Kolonnrummet är det underrum till R 4, som spänns upp av kolonnerna a k, k =, 2, 3, 4, 5. Med radoperationer får vi A A men har, i allmänhet, A andra kolonner a k, k =, 2, 3, 4, 5 än A. Dimensionen på K A är antalet bundna variabler i uttrycket A x och i uttrycket A x. Detta antal är alltså samma. Dessutom är detta antal lika med 4

5 rangen av A. Vi löser ut de kolonnvektorer a k, som inte motsvarar pivotelement i dem som har pivotelement. Obs a = e, a 3 = e 2 och a 4 = e 3. a 2 = 2a = 2e, a 5 = 3a 4a 3 + a 4. (Ex.vis är a 5 = 3 4 = = 3 a 4 a 3 + a 4. ) Alltså är dim K A = dim K A = 3. Observera dock att som rum är i allmänhet K A K A d.v.s. i allmänhet förstörs de ursprungliga kolonnerna med radoperationer. Vi ser av exemplet att dim N A = 2, motsvarande de 2 fria variablerna och dim K A = 3 motsvarande de återstående 5 2 = 3 bundna variablerna. Resultatet i föregående exempel gäller generellt. Teorem 2.3. Givet en matris A av typ m n. Antag att A A, där den senare är en radreducerad matris. (i) dim K A = rang A. (ii) dim N A + dim K A = n. iii dim R A = dim K A = rang A. (iv) R A + N A = R n. Bevis av (i), (ii) och (iii). (ii) Givet en matris A av typ m n. Låt vidare A A och den senare raden på radreducerad form med rang A = p. Vi kan anta att, efter kolonnbyten i A, att A = [ e e 2... e p a p+... a n ] där ek =.. 5

6 med i position (k, ) och övriga element =.som motsvarar att uttrycket A x har p bundna och således n p fria variabler. Observera att definition av radreducerad matris säger att pivotkolonner är vektorer e k i standardbasen till R m. Matrisekvationerna A x = och A x = har samma lösningar och således samam fria och bundna variabler samma dimension på lösningsmängden N A, som är n p. De bundna variablerna motsvarar x, x 2,.., x p. För ekvartionen p n A x = x k a k + x k a k =, k= k=p+ väljer vi x p+ =, x p+2 = x p+3 =... = x n =. Detta ger att a p+ = p x k,p+ a k, k= d.v.s. a p+ är en linjärkombination av kolonnvektorerna a,..., a p. P.s.s är a k för k = p +, p + 3,..., n linjärkombinationer av av kolonnvektorerna a,..., a p. Detta visar att K A = span (a, a 2,..., a p ). Är dessa vektorer oberoende? Välj de fria variablerns x k =, d.v.s. för k = p +, p + 2,.., n (möjligt eftersom dessa variabler är fria). Då återstår A x = p x k a k =. k= Eftersom dessa x k är bundna, kan de bara anta ett värde. Självklart är x k = för alla dessa k =,..., p en lösning. P.g.a. att dessa variabler är bundna är det den enda möjligheten. Detta visar att a, a 2,..., a p är linjärt oberoende. Alltså är dim K A = p. Eftersom dim N A = n p är likheten i (ii) visad. (iii) Det följer av (ii) också att dim K A = p. dim R A ges av de rader i A, som innehåller pivotelement. Orsaker: Dessa rader är linjärt oberoende; Ex.vis har första rad utseendet [ a 2 a 3... a n ] och de andra raderna har en nolla i första position. Dessa rader (liksom alla rader) är linjärkombinationer av de ursprungliga raderna. Pivotelementen i kolonnerna är de samma som i raderna, alltså lika många. (i) Vi ser att rangen är antalet icke-nollrader i A dimensionen på radrummet. och dessa rader ger Kommentarer 6

7 Givet matrisen A av typ m n. Då gäller att R A R n till skillnad från K A R m. (ii) kallas Rangsatsen (eng. The Rank theorem). De två sista resultaten handlar om radrummet R A, det rum som spänns upp av matrisens rader. Det sista resultatet (iv) säger att summan av rad- och nollrum är lika med R n. Radrummet spänns upp av matrisens rader. I detta exempel är den 4:e raden en linjärkombination av de tre övre raderna i A. Om inget radbyte har gjorts, är 4 : e raden i A en linjärkombination av de tre övre raderna i A. Det senare skulle betyda att ES y + 2y 2 y 3 = 2y + 4y 2 2y 3 = 2 y = 2/3 y 2 = y 2 = 2y + y 2 + y 3 = y 3 = /3 5y + 3y 2 2y 3 = har lösning och som visar att 4:e raden är en linjärkombination (linjärt beroende) av de tre översta raderna. Lösningen är dessutom entydig, vilket visar att dessa tre rader är linjärt oberoende. Detta visar att dim R A = 3 samma dimension som för K A (fast dessa rum är delmängder av olika rum; R 5 respektive R 3 ). 7

Relevanta dokument

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)