15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Transkript

1 5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar Uppgift Reducera följande totalmatris till reducerad trappstegsform med Gauss- Jordaneliminering Uppgift Följande linjära ekvationssystem är givet x + x + 7x = 7 x + 3x + 7x 3 = 6 x + x + (a + )x 3 = 3a a Bestäm ett värde på a så att systemet saknar lösningar b Bestäm ett värde på a så att systemet har en unik lösning Bestäm systemets lösning för värdet på a c Bestäm ett värde på a så att systemet har minst en fri variabel samt bestäm systemets lösning(ar) IDAG Följande tabell av reella tal kallas för en n k-matris a a a k n -matrisen a a a n är en (kolonn)vektor i Rn

2 k-matrisen a a a k är en (rad)vektor En matris kallas för en kvadratisk matris om antalet av rader är lika med antalet kolonner (n = k) Följande n n-matris kallas för identitetsmatrisen och betecknas med I n Vad kan vi göra med matriser? I n = Om två matriser har samma storlek kan vi addera (eller subtrahera) dem Låt A och B vara n k matriser (n rader och k kolonner) b b b k a a a k b b b k B = b n b n b nk a + b a + b a k + b k a + b a + b a k + b k A + B = a n + b n a n + b n a nk + b nk a b a b a k b k a b a b a k b k A B = a n b n a n b n a nk b nk Vi kan multiplicera en matris med ett reellt tal c ca ca ca k ca ca ca k c ca n ca n ca nk Vi kan ta transponatet av en n k-matris A och få en k n-matris A T a a a n a a a k a a a nk A T = a k a k a nk

3 Notera att den i-te raden i A T är lika med den i-te kolonnen i A och den i-te kolonnen i A T är lika med den i-te raden i A Exempel: a a a n T = a a a n 3 och: a a a n T = a a a n 3 Uppgift Låt 3 Beräkna A + B, B + A och 3A B B = Läs om kommutativa och associativa lagar för addition, Sats 3 i Anton & Busby 4 Matrismultiplikation Låt A vara en n k-matris R R R n = a a a k där R i = a i a i a ik är den i-te raden i A Låt B vara en k m-matris, B = B B B m = b b b m b b b m b k b k b km

4 4 där B i = b i b i b ki är den i-te kolonnen i B Notera att för alla i och j så är B i och R T j vektorer i R k Det betyder att vi kan beräkna skalärprodukten mellan dem, R T j B i Matrismultiplikationen mellan A och B är den n m matris som ges av AB = R R R n B B B m = R T B R T B R T B m R T B R T B R T B m Rn T B Rn T B Rn T B m Vad gäller för storleken på matriserna A och B för att multiplikationen mellan A och B ska vara definierad? 5 Uppgift Låt: 3 B = Är matrismultiplikationen AB definierad? Är matrismultiplikationen BA definierad? I det fall den är definierad, beräkna produkten 6 Uppgift Låt Beräkna AB, BA, BC och CB B = 3 7 Uppgift Låt A vara n k matris Bevisa att: I n A där I n och I k är identitet matriser AI k = A C = 3 Notera att Att produkten AB är definierad är ingen garanti för att BA är definierad Både AB och BA kan vara definierade men de kan ha olika storlek Både AB och BA kan vara definierade men AB är inte nödvändigtvis lika med BA

5 8 Proposition (Se Sats 3 och Sats 3 i Anton & Busby) Låt A och D vara n k-matriser, låt B vara en k m-matris och C vara en m l-matris Då gäller bland annat följande () (AB)C = A(BC) Vilken storlek har den resulterande produkten? () (A + D)B = AB + DB (3) (A T ) T = A (4) (AB) T = B T A T (5) (A + D) T = A T + D T (6) (A D) T = A T D T (7) (ca) T = c(a T ) 9 Matrismultiplikation och linjära ekvationer Betrakta en n k-matris A och en k -matris x: a a a k Matrismultiplikationen A x ges av a A x = a a k x x x k = x = x x x k a x + a x + a k x k a x + a x + a k x k a n x + a n x + a nk x k vilket betyder att vi kan skriva ett system av linjära ekvationer på följande sätt där b = b b b n a x + a x + + a n x k = b a x + a x + + a n x k = b a n x + a n x + + a nk x k = b n A x = b Proposition (se Sats 35, i Anton & Busby) Låt A och B vara n k-matriser, låt x och y vara vektorer i R k samt låt c vara ett reell tal Då gäller att 5

6 6 () A( x + y) = A x + A y () A(c x) = c(a x) = (ca) x (3) (A + B) x = A x + B x Inre och yttre matrisprodukt Om u och v är två kolonnvektorer av samma storlek så är u T v en inre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? Känner vi igen detta sedan tidigare? u v T en yttre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? Uppgift Låt Beräkna A x 3 Uppgift Låt Beräkna u T v samt u v T / / / / u = v = x = 7 4 Inverterbara matriser En matris A är inverterbar om det finns en matris B så att AB och BA är identitetsmatriser Matrisen B kallas för inversen till A och betecknas med A Notera att endast kvadratiska matriser är inverterbara Varför det? 5 Proposition (Se bland annat Sats 339 i Anton & Busby) () Låt A vara en n n-matris som är inverterbar och låt A vara inversen till A Då AA = I n och A I n () Låt A vara en n n-matris Om B är en n n-matris och AB = I n, då är B = A (3) Låt A vara en n n-matris Om B är en n n- matris och B I n, då är B = A (4) En n n-matris A är inverterbar om och endast om rang(a) = n, dvs, antalet av pivotkolonner är lika med n (5) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = bara har en lösning som ges av (triviala lösningen) (6) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = b bara har en lösning för alla b

7 (7) En n n-matris A är inverterbar om och endast om kolonnerna är linjärt oberoende (detta återkommer vi till i F8) 7 6 Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar 3 7 Uppgift Avgör genom inspektion om följande homogena system har en icketrivial lösning och avgör om koefficientmatrisen är inverterbar x + x 3x 3 + x 4 = 5x + 4x 3 + 3x 4 = x 3 + x 4 = x 4 = 8 Uppgift Hitta alla värden på a för vilka matrisen a a a a a a är inverterbar 9 Proposition (se Sats 37 i Anton & Busby) a b En -matris är inverterbar om och endast om ad bc (ad bc c d kallas för determinanten av A) I detta fall ges inversen till A av A = ad bc d b c a Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar och i så fall hitta inversen A 4 7

8 8 Hur kan vi beräkna inversen för en n n-matris? Låt Inversen till A är en matris AB = B = b b b n b b b n b n b n b nn där b i är den i-te kolonnen av B, sådan att a a a n a a a n Det betyder att b i = a n a n a nn b i b i b ni a a a n a a a n a n a n a nn = b b bn b b b n b b b n b n b n b nn är en lösning till a a a n a a a n a n a n a nn b i b i b ni = = e i b = I n Vi kan konstatera att inversen till A kan beräknas på följande sätt (i Anton & Busby The Inversion Algorithm); Använd Gauss-Jordans elimineringsprocess på följande totalmatris (med identitetsmatrisen som högerled) A I n = a a a n a a a n a n a n a nn

9 9 och reducera den till I n B = Inversen, A, ges av A = B b b b n b b b n b n b n b nn Proposition (Se Sats 335 i Anton & Busby) Ett linjärt ekvationssystem A x = b med n ekvationer och n obekanta kan lösas med hjälp av A förutsatt att A är inverterbar Lösningen ges av x = A b 3 Uppgift Lös systemet 4 7 x y = 4 Uppgift Verifiera att är inversen till Lös sedan systemet A 5 /6 /5 /3 /3 /5 /5 /6 /6 x y z = Uppgift Beräkna lösningen till följande system x + x + 3x 3 = 4 x + 5x + 3x 3 = 5 x + 8x 3 = 9 x + x + x 3 = x + 5x + 3x 3 = 6 x + 8x 3 = För vilka vektorer b är systemet konsistent? 6

10 6 Uppgift Vad gäller för b, b och b 3 för att systemet ska vara konsistent? x + x + x 3 = b x + x 3 = b x + x + 3x 3 = b 3 7 Uppgift En vektor w är en linjärkombination av vektorerna v, v, v 3, och v 4, om det existerar tal c, c, c 3, c 4 så att w = c v + c v + c 3 v 3 + c 4 v 4 I följande fall, ställ upp ekvationssystemet för bestämning av c, c,c 3, c 4 Avgör med hjälp av Matlab om systemet har någon lösning Om en lösning finns så lös systemet I Matlab beräknar man inversen av en matris med inv(a) och ett linjärt ekvationssystem, A x = b löser man genom att skriva x=a\b a) v = b) v = 3 3, v =, v = 3 3, v 3 =, v 3 =, v 4 =, v 4 = 4 3, w =, w = 8 Uppgift Ta reda på om följande matriser är inverterbara, och i så fall, beräkna inversen (för hand) a) b) 4 För uppgift d) - e), använd Matlab d) e) ,,