Avsnitt 4, Matriser ( =

Transkript

1 Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( ( och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen Om vi skriver matrisernas storlekar under matriserna i produkten A B så ska alltså de inre indexen vara lika vilket de är i detta fall Produktmatrisen kommer har samma storlek som de yttre indexen dvs A B a Matrismultiplikationen går till som så att rader i den första matrisen multipliceras med kolumner i den andra matrisen ( ( ( ( -elementet i produktmatrisen är produkten av rad och kolumn ( ( ( De övriga elementen får vi genom att multiplicera ihop raden som har sammar radnummer som elementet med kolumnen som har samma kolumnnummer som elementet ( ( ( Alltså är ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 8 c Matrisprodukten räknar vi ut på samma sätt som i a-uppgiften ( ( ( ( + ( ( ( ( 7 ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( W a Beräkna ( b Visa att för matriserna ( ( och är endast den ena av de båda möjliga produkterna definierade Beräkna denna

2 a Den vänstra matrisen har storleken och den högra Matrismultiplikationen är alltså möjlig eftersom antal rader i den vänstra matrisen är lika med antal kolumner i den högra matrisen De inre indexen överensstämmer Produkten har samma storlek som de yttre indexen dvs Vi får produktmatrisen genom att multiplicera raden med kolumnerna ( ( + ( + ( ( b Sätt ( ( A ( + ( ( + ( ( ( och B ( Matrisen A har storleken och matrisen B har storleken Detta gör att produkten medan A B B A inte är möjlig är möjlig Produkten får vi som vanligt genom att multiplicera rader med kolumner ( ( ( + ( ( ( ( 9 + ( ( ( 9 9 ( + ( ( ( 9 W7 Beräkna AB då a A B b A B Eftersom båda matriserna är är deras produkt definierad Vi får produkten genom att multiplicera rader med kolumner a ( + ( + ( ( ( + + ( ( + ( + ( + ( ( + + ( + ( + ( + ( ( ( + + (

3 d + ( ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + + ( + ( + ( ( ( ( + + ( + ( + ( ( + + ( ( + + ( ( ( + + ( 7 + ( + + ( + 7 ( 8 + ( + ( 8 + ( Notera att AB BA Den kommutativa lagen gäller inte för matrismultiplikation W8a Beräkna AB och BA då A och B 6 7 Vi får AB 6 7 BA ( + ( ( ( + ( ( ( + 7 ( 6 ( ( ( ( ( 6 + ( ( + 6 W Beräkna för matriserna ( A a A AA b B BB c (A + B d A + AB + B och e A + AB + BA + B och B f Jämför resultaten i c- d- och e-uppgiften ( Matrismultiplikation ger ( ( a A AA ( + ( + ( + ( ( + ( ( b B BB ( ( ( + ( + ( ( + ( + ( ( ( 7 7 ( 6 9 9

4 (( ( c (A + B + ( ( ( ( ( ( Vi har att ( ( ( ( + + ( AB ( ( + ( + ( ( 8 ( ( ( ( + ( ( + BA + ( ( + ( ( 9 och då är ( ( ( d A + AB + B ( ( ( ( ( A + AB + BA + B ( ( ( f Från c- och d-uppgiften ser vi att (A + B A + AB + B dvs den vanliga kvadreringsregeln gäller inte utan kvadreringsregeln för matriser blir (A + B A + AB + BA + B just pga att AB BA i allmänhet Wa Beräkna AB och BA då A 6 och B ( Matrisen A har storleken och B är Produkten AB A B har därför storleken Matrisen BA B A får storleken Rader multiplicerat med kolumner ger AB 6 ( + ( ( + ( + ( + ( ( + ( + ( ( + 6 ( ( + 6 ( ( BA 6 ( + ( + ( ( + ( ( ( ( + ( + 6 (

5 W Låt A B ( Beräkna var för sig matriserna (ABC och A(BC och C ( W Visa att för matriserna ( A och X ( gäller AX XA E där E är enhetsmatrisen av ordning Vi har AB ( ( (ABC ( ( BC ( ( ( A(BC Vi ser alltså att (ABC A(BC Denna likhet gäller i allmänhet och kallas för den associativa lagen Matrismultiplikation ger ( ( AX ( + ( + ( vilket visar att AX XA E ( inverser W7b Visa att matrisen A ( + ( + ( Matriserna A och X är alltså varandras 7 8 Matrisen B är en invers till A om den uppfyller AB BA E har inversen B Vi undersöker om detta är uppfyllt AB 7 8 ( ( 8 + ( ( ( 8 + ( 7 + ( 8 + ( ( + + ( + + (

6 BA ( ( + + ( ( + + ( ( + Alltså har vi visat att B uppfyller ( varför B är A ( ( ( ( ( ( Alltså är Y B A + ( + ( + ( + ( ( + + ( + + ( ( + + ( ( ( + ( ( ( + d Vi högermultiplicerar båda led med B W Låt A och B Lös med hjälp av resultaten i uppgift 7 matrisekvationerna c BY A och d Y B A c Genom att vänstermultiplicera båda led med B fås B B Y B A E Y B A Y B A I uppgift 7a visas att inversen till matrisen B är B Y BB AB Y E AB Y AB vilket ger Y AB + ( ( + ( + + ( + ( ( + ( + + ( + ( ( + ( + + ( ( + + ( ( + +

7 W Beräkna (AB t A t B t och B t A t då A ( och B När vi transponerar en matris blir raderna i ursprungsmatrisen kolumner i den transponerade matrisen A t B t ( ( Vi får nu att ( A t B t ( ( ( 8 6 ( B t A t ( ( ( + + ( Med transponeringsreglerna har vi att (AB t B t A t ( W Beräkna då matriserna A och B är givna enligt nedan dels matriserna AB och BA dels var för sig talen det(ab det(ba och ( det A (det B samt kontrollera att dessa är lika a ( ( A B b A B a Vi börjar med att bestämma matrisprodukterna ( ( AB ( ( ( + ( + 8 ( ( BA ( ( + ( + + ( + Determinanterna blir det(ab ( 7 ( 8 det(ba ( ( det A ( det B ( ( det A det B Nu ser vi att det(ab det(ba ( det A (det B

8 b Matrisprodukterna blir AB BA + ( + + ( ( ( ( + + ( ( + ( + ( + ( + ( + ( ( ( + ( ( + ( + ( + + ( ( + + ( ( + ( + + ( 6 Vi ska beräkna determinanterna med tre olika metoder Metod (Sarrus regel och dra ifrån vänsterdiagonalprodukterna det(ab ( ( + ( + 6 ( ( 8 ( det(ba ( 6 + ( ( + ( ( ( ( ( 6 ( ( det A ( + ( det B ( ( + ( + ( ( ( ( det A ( det B ( 7 77 När vi beräknar en determinant med Sarrus regel tar vi de två första kolumnerna och placerar kopior av dessa till höger om determinanten Determinantens värde får vi sedan genom att lägga ihop högerdiagonalprodukterna Alltså har vi visat att det(ab det(ba ( det A (det B Observera att Sarrus regel gäller endast för -determinanter

9 Metod (Kofaktorutveckling Vi kan välja att kofaktorutveckla en determinant längs en rad eller en kolumn i determinanten Om vi börjar med determinanten det(ab 8 6 så väljer vi först en rad eller en kolumn tex den andra kolumnen Varje element i kolumn ger upphov till en minorterm i utvecklingen 6 + ( 8 (6 ( ( + ( (8 ( (8 ( ( ( ( Tecknet framför varje term får vi från tecken-matrisen 8 6 man väljer en rad/kolumn med många nollor i sig det(ba 6 + ( + 6 (( ( ( ( ( ( ( + 6 ( ( ( ( ( ( + 6 ( 7 77 det A + + ( ( + (( 7 det B + ( ( + ( ( ( ( ( + ( ( 7 ( ( det A ( det B ( och minorerna är de determinanter som uppstår när vi stryker den rad och den kolumn som motsvarande element ingår i De andra determinanterna räknar vi ut på motsvarande sätt genom att välja en rad eller en kolumn att utveckla längs Räkningarna blir lite enklare om Alltså har vi visat att det(ab det(ba ( det A (det B Metod (Radoperationer Med hjälp av radoperationer kan vi skriva om en determinant till en triangulär determinant vars värde är produkten av diagonalelementen Vid varje radoperation ändras determinantens värde enligt reglerna A A A a A a (där a A A

10 Det första steget är att vi ser till att få nollor under ( -elementet det(ab Vi valde alltså att addera multiplar av första raden till rad och för att få nollor under ( :an Sedan går vi till nästa diagonalelement ( och utför en radoperation för att få en nolla under elementet ( 8 8 ( 8 77 Vi har nu en triangulär determinant med produkten av diagonalelementen som värde 8 ( De andra determinanterna räknar vi ut med samma strategi det(ba 9 det A det B 6 7 ( ( ( ( ( det A ( det B 7 77 Vi har alltså visat att det(ab det(ba ( det A (det B - +

11 W6 Beräkna på enklaste sätt talen det A det B och det(aba för matriserna A och B i uppgift a a och b b W8 Visa att följande matriser är inverterbara och bestäm inversen: ( 6 a ( b 8 Determinantreglerna ger att det A det(aa ( det A ( det A ( det A det B det(bbb ( det B ( det B ( det B ( det B det(aba det(ab det A Från uppgift har vi att a det A det B det(ab b det A 7 det B det(ab 77 Alltså är a det A det B det(aba b det A ( 7 9 det B det(aba 77 ( 7 9 En matris är inverterbar om dess determinant är skild från noll Vi har att a 6 b Alltså är båda matriserna inverterbara Inversen bestämmer vi med adjunktformeln A ( T +M M det A M +M där M M M och M är matrisens minorer a M 6 M 6 M 6 6 M 6 b M 8 8 M 8 M 8 M 8 Inversen är alltså a A ( 6 b A ( 8 T ( 6 T ( 8

12 W För vilka tal k har matrisen A + kb en invers om A ( Bestäm (A + kb för dessa k och B (? W Skriv följande ekvationssystem i matrisform och lös dem sedan med hjälp av koefficientmatrisens invers: x + y a x + y c x + y x y 6 Matrisen A + kb är ( A + kb ( + k ( + k + k + k ( + k ( k k k k + och den har en invers när determinanten är skild från noll dvs när det(a + kb k k k k + k(k + (k ( k k 6k + Denna andragradare har rötterna k och k Alltså är matrisen A + kb inverterbar när k och k Inversen ges av adjunktformeln (A + kb det(a + kb ( T +M M M +M där M k k k k + k + M k k k k + k M k k k k + k M k k k k + k Alltså (A + kb k 6k + ( k + k k k a De två uttrycken i vänsterledet kan skrivas som ( ( ( x + y x x + y y Elementen i matrisen är koefficienterna framför x och y Ekvationssystemet kan alltså skrivas som matrisekvationen ( ( ( x y Om koefficientmatrisen är inverterbar ger vänstermultiplikation med inversen att ( ( ( x y Matrisen är inverterbar om dess determinant är skild från noll Vi har att Alltså finns inversen Vi kan bestämma inversen med snabbformeln : delat med determinanten framför matrisen diagonalelementen byter plats och de andra två elementen byter tecken Alltså Lösningen är ( ( ( x y ( ( (

13 c Vi får ekvationssystemet i matrisform genom att skriva om vänsterledet som en matrisprodukt ( ( ( x y 6 Koefficientmatrisens determinant är ( 9 varför matrisen är inverterbar och ekvationssystemet har lösningen ( ( ( x y ( ( ( ( ( + ( ( är skild från noll Med andra ord när a och a (som är determinantpolynomets rötter Enligt Cramers regel har ekvationssystemet lösningen a a ( a(a ( ( x a a + a 6 a a a + a 6 a + a 6 a a a y a a a a + a + a 8a + a + a 6 a 6 a + a ( ( a(a a + a 6 där vi får täljardeterminanterna genom att i koefficientmatrisen ersätta kolumnen som svarar mot variabeln med högerledet W7a Lös med hjälp av Cramers regel ekvationssystemet ax y a (a x + (a y för alla värden på parametern a då detta är möjligt Vi skriver först ekvationssystemet i matrisform ( ( a x a a y ( a Cramers regel kan användas när koefficientmatrisen är inverterbar dvs när determinanten a a a a(a ( (a a + a 6

14 W9 Lös ekvationssystemen a x + y + z x + y + z x + y + z c x + y z x y + z 9 x + y + z med gausselimination a Vi skriver ekvationssystemet i ett räkneschema I den vänstra delen har vi skrivit upp koefficienterna framför x y och z i respektive kolumn I schemats högra del finns ekvationssystemets högerled Det första steget i gausselimineringen är att utföra radoperationer så att vi får en :a i övre vänstra hörnet Eftersom vi redan har en :a där behöver inget göras Nästa steg är att få nollor under :an Sedan övergår vi till nästa diagonalelement och utför en radoperation så att vi får en :a där Vi utför nu radoperationer så att övriga element i samma kolumn blir noll - När den andra kolumnen är avklarad övergår vi till det tredje diagonalelementet Det är redan så vi behöver inte utföra någon radoperation för att få detta

15 Det sista steget är att radreducera uppåt så att vi får nollor ovanför :an - - Nu är vi klara och det är bara att avläsa lösningen Enklast är nog att översätta tillbaka till ekvationsformen dvs c Vi ställer upp räkneschemat x + y + z x + y + z x + y + z x y z Från sluttablån kan vi avläsa lösningen x y z 9 Räknegången är precis densamma som i a-uppgiften 9 9 -

16 W Lös ekvationssystemen a x y + z x y + z x + y + z b x y + z 6 x y + 7z x + y z med gausselimination a Vi kan börja med att slå ihop de första två stegen (att få en :a i övre vänstra hörnet och nollor därunder Notera att radoperationerna utförs i den ordning de står (från vänster till höger I de följande stegen gör vi samma typ av rationalisering c Vi gausseliminerar som i a-uppgiften Lösningen är x y z Lösningen är alltså x y z

17 W Lös följande ekvationssystem a x + y 8z x y + z x + y z c x + y z x + y z med gausselimination a Vi sätter igång och gausseliminerar Här har vi nått sluttablån Den sista raden lyder Vi kan alltså beskriva alla lösningar till systemet genom att använda z som parameter c Vi gausseliminerar x t y t z t (t parameter 8 Denna sluttablå är av samma typ som i a-uppgiften Vi ringar in de ledande :orna 8 x + y + z dvs vilket är en trivialitet Vi kan alltså stryka den sista raden De andra två raderna lyder x z y z Detta system har oändligt många lösningar För varje värde på z får vi x- och y-värden som ger en lösning enligt x z y z Övriga variabler får fungera som parametrar dvs z Lösningarna är x + 8t y t (t parameter z t i detta fall

18 W Bestäm antalet lösningar N till följande system b x + y ax x + y ay c x y + z a x y + z x y för alla värden på parametern a värde först Sarrus regel ger att ( + ( + ( ( ( ( + + Chansningen gick alltså inte hem Vi sätter istället igång och gausseliminerar b Vi samlar först variablerna i ena ledet ( ax + y x + ( ay Eftersom högerledet är noll är systemet homogent och då finns alltid den triviala lösningen x y Om koefficientmatrisen dessutom är inverterbar är detta enda lösningen Detta inträffar då a a ( a( a a a a och a a a a a a a a + När a eller a är koefficientmatrisens determinant lika med noll och systemet har oändligt många lösningar (parameterlösning Svaret blir alltså N när a och a N när a och a c Ekvationssystemet blir i matrisform x a y z Om koefficientmatrisens determinant är skild från noll är matrisen inverterbar och då finns det exakt en lösning Vi undersöker därför determinantens Den sista raden i tablån lyder a Talet a måste alltså vara noll för att systemet ska ha någon lösning När a ges lösningen av x t y t z t (t parameter dvs vi har oändligt många lösningar Svaret blir N när a och N när a

19 W Undersök för vilka värden på konstanterna a och b som ekvationssystemet x + y + z x y + z b x y + az har precis en lösning flera olika lösningar respektive ingen lösning I de fall då lösningar finns skall dessa också bestämmas Vi gausseliminerar systemet och ser vad som händer b a b a b + b + a b - där c b + b + a ab + a + b a d b + + b + a ab + a + b 7 a Alltså finns exakt en lösning x c y d z b + a a b : Sista raden i ekvationssystemet lyder då b vilket inte är uppfyllt och systemet saknar därmed lösning a b : Sista raden är då en nollrad som kan strykas Resten av ekvationssystemet blir och har oändligt många lösningar x t + y t + z t Beroende på värdet av a och b får vi olika fall: a : I detta fall kan vi slutföra gausseliminationen b + b + a b + b + b + b+ a c d b+ a - W Visa att skärningslinjen mellan planen x y z + och x + y + z är parallell med planet x + 7y z + genom att söka lösningar till det system som bildas av de tre ekvationerna Planen i uppgiften bildar ekvationssystemet x y z x + y + z x + 7y z

20 Situationen i uppgiften uppstår om koefficientmatrisen har rang (ett av fallen eller på sid i kursboken och det får vi redan på genom att gausseliminera matrisen 7 Eftersom vi har två ledande ettor är rangen - och radreducera matrisens vänstra hälft till E I den reducerade matrisens högra hälft har vi då A (A E (E A Om vi inte kan radreducera A till E saknar A invers Vi bestämmer alltså inversen samtidigt som vi kontrollerar att inversen finns e W6 Visa att matriserna 6 e 6 8 f 6 är inverterbara och bestäm inversen med Jacobis metod Vi bestämmer inversen till matrisen A genom att ställa upp matrisen (A E f 6 -

21 Alltså existerar inverserna och är e respektive f W Lös matrisekvationen AX A t där A Sarrus regel ger att ( ( + + ( ( ( ( Alltså är A inverterbar och vi får lösningen till matrisekvationen genom att vänstermultiplicera med A X A A t Vi kan beräkna denna produkt med räkneschemat (A A t (E A A t Vi får Alltså är lösningen X A A t