Begrepp :: Determinanten

Transkript

1 c Mikael Forsberg Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt tal. Determinanten definierar vi som talet själv, dvs det A = a (Eftersom sådan matriser helt enkelt är våra vanliga tal så är sådana matriser egentligen fåniga men fyller ett syfte i att beskriva hur determinanter beräknas med kofaktorutveckling.) Låt oss nu betrakta en 2 2matris B = b11 b 12. b 21 b 22 Vi definierar nu determinanten av B m.h.a. s.k. kofaktorutveckling längs första raden. Med ord så får vi: determinanten är b 11 gånger determinanten för den matris som vi får om vi tar bort rad och kolonn som b 11 står i, vilket blir 1 1 matrisen (b 22 ) s determinant, dvs talet b 22. Sedan skall vi lägga till b 12 gånger determinanten för den matris vi får om vi stryker rad och kolonn som b 12 står i, dvs talet b 21. Detta är ganska omständigt men blir enklare om vi sammanfattar med följande det B = ( 1) 1+1 b 11 b 22 + ( 1) 1+2 b 12 b 21 = b 11 b 22 b 12 b 21 Notera hur tecknena följer som potenser av 1, där en jämn potens blir positiv och en udda potens blir negativ. Den omständiga beskrivningen i ovan kan vidgas till 3 3matriser. Låt c 11 c 12 c 13 C = c 21 c 22 c 23. c 31 c 32 c 33 Om vi gör kofaktorutveckling så låter det som tidigare: första elementet gånger determinanten för den matris vi får genom att ta bort rad och kolonn som första elementent står i osv. Vi skriver det som följer: det C = ( 1) 1+1 c 11 det c22 c 23 + ( 1) 1+2 c21 c c c 32 c 12 det 23 + ( 1) 1+3 c21 c c 33 c 31 c 13 det c 31 c 32 Det är dessa deldeterminanter tillsammans med tecknet som kallas för kofaktorer, och som givit upphov till namnet kofaktorutveckling. Med följande beteckning blir uttrycket enklare att skriva ned: C 12 = ( 1) 1+2 c21 c det 23 c 31 c 33 På samma sätt får vi C ij som ( 1) i+j gånger determinanten för den matris som återstår om vi stryker rad i och kolonn j. Och det C kan nu skrivas det C = c 11 C 11 + c 12 C 12 + c 11 C 12

2 c Mikael Forsberg Exempel 1. Låt C = Då får vi att determinanten blir det C = ( 1) 1 1 = ( 2 15) (2 + 6) (5 2) = = 45. Notera att man får utveckla längs vilken rad eller kolonn som man själv vill. Detta kan vara gynnsamt i vissa fall. En tumregel är att kofaktorutveckla längs en rad som det finns nollor i, ju fler desto bättre. Följande exempel illustrerar detta! Exempel 2. Betrakta följande 4 4 matris: D = I detta fall ser vi att kolonn 3 har många nollor, vilket gör det fördelaktigt att utveckla längs denna kolonn: det D = 0 C C C C 43 = = ( 1) = där vi i den sista likheten noterar att matrisen är samma som matrisen C i förra exemplet. Determinantberäkning med Gausselimination Determinanten kan även beräknas mha Gausselimination. Att detta är en framkomlig beräkningsväg beror på att enkla radoperationer inte förändrar determinantens värde och att determinanten för den triangulära matris som vi får från Gausseliminationen är lätt att beräkna. Vad man dock måste hålla rätt på är radbyten (som ger ett teckenbyte för determinanten) och multiplikation av en rad med en konstant (som förändrar determinantens värde med den konstanten). Faktum 1 :: determinanten till triangulär matris En triangulär matris är en matris på formen a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n T = a nn Nollor nedanför huvuddiagonalen alltså. Ovanför och på diagonalen kan vi ha vilka tal som helst. Determinanten för en triangulär matris är produkten av diagonalelementen: det T = a 11 a 22 a nn

3 c Mikael Forsberg Exempel 3. Determinanten för matrisen A = blir det A = 2 ( 5) 8 = 80 Faktum 2 :: determinanten och radoperationer Följande räkneregler måste man behärska när man ska beräkna determinanter med Gausselimination. 1. När man multiplicerar en rad med ett tal och adderar resultatet till en annan rad så får man en ny matris som har samma determinant som den ursprungliga matrisen. 2. Om man byter plats på två rader får man en ny matris vars determinant har samma absolutbelopp men har motsatt tecken. 3. Om man multiplicerar en rad i matrisen A med talet k så får man en ny matris B vars determinant uppfyller det B = k det A Låt oss se detta in action: Exempel 4. Vi beräknar determinanten till följande matris M = med hjälp av Gausselimination. Strategin är att Gausseliminera som vanligt och sedan använda de bokförda operationerna för att följa hur determinanten förändras med dem (1/2) ( 1/7) Gausseliminering ger oss alltså en kedja av matriser M, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, räknade från vänster till höger uppifrån och ned. I varje steg måste vi noga använda oss av våra tre ovanstående regler för att bokföra hur determinanten för matriserna i kedjan förhåller sig till varandra. Den sista matrisen M 5 s determinant är lätt att beräkna (produkten av diagonalelementen) och vi behöver använda alla bokförda förändringar till att få fram determinanten för M. Vi har att det M 1 = 1 2 det M, det M 2 = det M 1, det M 3 = det M 2, det M 4 = 1 7 det M 3 och det M 5 = det M 4. Determinanten för M kan vi lösa ut från ovanstående det M = 2 det M 1 = 2 det M 2 = 2 det M 3 = 2 7 det M 4 = 14 det M 5 = 14 ( 4) = 56

4 c Mikael Forsberg Sarrus regel 2 2 och 3 3matrisers determinanter kan beräknas med den så kallade Sarrus regel, dvs den metod som beskrivs på sidan 191 (eller s. 207) (texten före uppgifterna 1518 i kapitel 3.1) i Lay och på sidorna kring figur i Anton och Rorres. I de flesta fall så är denna metod snabbare att använda än kofaktormetoden. Varning Sarrus regel gäller bara matriser vars format inte är större än 3 3. Det är alltså viktigt att komma ihåg att:: denna metod kan inte generaliseras till 4 4 matriser eller större. För sådana större matriser måste vi ta till kofaktorutvecklingen eller Gausselimination som gäller för matriser av godtyckligt kvadratiskt format p p. Hur man räknar ut determinanten med Sarrus regel :: Uppgift :: Beräkna determinanten till A = Sarrus metod går ut på att man skriver upp matrisen och lägger till första och andra kolonnen som stöd till höger och drar pilar enligt figur. Pilarna indikerar att element skall multipliceras och tecknen anger om produkten skall adderas eller subtraheras i determinanten Figure 1: Uppställning vid determinantberäkning med Sarrus regel. Pilarna indikerar att elementen längs pilen skall multipliceras med varandra, ett + efter pilen beyder att denna produkt skall adderas medan ett minus betyder att produkten ska subtraheras. För matrisen A så blir determinanten det A = +(1 5 9) + (2 6 7) + (3 4 8) (3 5 7) (1 6 8) (2 4 9) = = = = 0

5 c Mikael Forsberg Exempel 5. Vi tar ett till exempel (samma som vi använde för gausseliminationsmetoden). Denna matris innehåller negativa element vilket gör att man måste vara noggrann med att hålla rätt på tecknen. M = I detta fall får vi uppställningen M = Sarrus regel ger oss nu det M = +(3 6 3) + (2 4 ( 5)) + (( 1) 2 2) (( 1) 6 ( 5)) (3 4 2) (2 2 3) = = = 56 Notera här alla paranteser för att hålla rätt på tecknen. Gör man inte det finns det risk att man gör ett teckenfel som då ger oss en felaktig determinant. Determinantberäkningar kommer ofta göras som ett viktigt steg mitt i en större uppgift. Ofta är det ett steg som sedan påverkar resten av beräkningen. Noggrannhet rekommenderas alltså starkt!!