M = c c M = 1 3 1

Transkript

1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. Beräkna determinanten till matrisen M genom (a) Kofaktorutveckling längs valfri rad eller kolonn. (b) Gausselimination. (c) Sarrus regel. (d) Om Du fick välja fritt, hur skulle Du räkna ut determinanten då? 3 3 M = 3. Bestäm parametern c så att systemet A = b har mer än en lösning. Beräkna lösningen för detta värde. För vilka parametervärden har systemet en unik lösning och för vilka värden saknas lösning? A = c c b = c 3. Bestäm de värden på λ som gör att det homogena systemet systemet (M λi) = har icketrivial lösning, där M = 3 Lös systemet för varje sådant värde. Ett fel i matrisen M :: (- i andra raden längst till högeristället för + som hade varit rätt.

2 4. Givet en matrisekvation AX = B där alla matriser är kvadratiska och har samma format så kan vi tänka oss att lösa denna genom att först beräkna inversen till A och sedan multiplicera båda led med denna från vänster. Men på samma sätt som vi beräknar inversen kan vi använda oss av Gauss-Jordan elimination av den utvidgade matrisen (A B). När vi utfört Gauss-Jordan har vi den utvidgade matrisen (I A B). Om vi kontemplerar detta kan vi se att detta leder till en arbetsbesparing. Med samma operationer som vi beräknar A får vi här den ihopmultiplicerade matrisen vilket är färre operationer än att först beräkna inversen och sedan utföra ihopmultiplikationen. Och detta kan användas i varje situation där vi har matriser A och B och är intresserade av produkten A B. Känn efter själva. Nedan ges två matriser A och B. Beräkna A B genom (a) att först beräkna A och sedan utföra matrismultiplikationen (b) Genom att Gauss-Jordaneliminera den utvidgade matrisen (A B) 3 A =, B = Beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = k som går genom origo. Börja med t.e. y =, försök generalisera. Utmaningen ligger i att beräkna var standardbasvektorerna hamnar!

3 Svar till tentamen i Linjär algebra,.. Determinanten blir 74 (a) 74 (b) 74 (c) Sarrus regel gäller inte för 4 4-matriser (d) Flera möjliga svar här.. Om både c och c 5 så har systemet unik lösning. Om c = så ger systemet linjelösningen y = 4 t + Om c = 5 så får vi ett inkonsistent system. 3. Det blev ett tryckfel i uppgiften. Svaret för den korrekta uppgiften är λ =,, 3 λ = :: y = t λ = :: y = t λ = 3 :: y = 5 t 4. (a) A = 3 X = A B = (b) Svaret på denna blir naturligtvis detsamma! 5. Speglingen i linjen y = k ges av matrisen S = + k [ k k k k ]

4 Lösningar till tentamen i Linjär algebra,.. (a) utveckla t.e. längs tredje raden det M = det det ( ) det (b) Utför t.e. följande steg för att Gausseliminera matrisen = = /3 4/ /3 / /3 3/3 3 4 /3 /3 37/5 6/ / + Determinanten för den sista matrisen är = 74 Vi har att det M = 74 eftersom vi gjort två radbyten (som ger två teckenbyten) och sedan vanliga neutrala radoperationer. (c) Man kan inte beräkna determinanten till en 4 4-matris med Sarrus regel. (d) Här finns många lösningar. Man kan tänka sig en variant där man börjar med Gausseliminering precis som i b.) men stannar efter första radoperationerna, vi får då om vi kofaktorutvecklar längs första kolonnen: det M = det = det där den sista determinanten t.e. kan beräknas med Sarrus regel. = 74,. Om matrisen är inverterbar för ett visst värde på c så har systemet unik lösning. De andra fallen (många lösningar, respektive inga lösningar) inträffar för värden på c som gör att matrisen inte har invers.

5 En bra strategi för denna uppgift är alltså i Bestäm c så att matrisen har invers, respektive saknar invers. Detta gör man lämpligen genom att beräkna matrisens determinant och bestämma c så att determinanten blir noll. ii Specialstudera systemet för varje värde på c som gör determinanten noll. iii Beräkna lösningarna för det fall där vi får många lösningar. i.) Vi beräknar determinanten det c = c + 5 c = c (c 5). c Vi ser alltså att determinanten blir noll om c = och om c = 5. För övriga värden så har matrisen invers och därför unik lösning. ii.) Vi löser systemet för c = och om c = 5: c = :: Systemet blir 4 Här får vi många lösningar. Systemet har en fri variabel = t som vi använder för att uttrycka de ledande variablerna och y: Från rad två har vi t.e. y = 4 = 4t och rad ett ger = y + = 4t t + = t. Lösningarna till systemet då c = blir nu y = 4 t + c = 5 :: Systemet blir / Den sista raden visar nu upp tydliga tecken på att systemet är inkonsistent för c = 5, eftersom rad tre ju tolkas som = 5/ vilket aldrig kan vara sant! 3. Först behöver man göra en omskrivning av systemet m.h.a definitionen av identitetsmatrisen och matrisalgebra: λ λ M λi = M λ = 3 λ = 3 λ λ λ För att ett homogent ekvationssystem ska ha icketriviala lösningar så måste matrisens determinant vara noll, dvs vi måste bestämma parametern λ så att λ = det(m λi) = det 3 λ = λ 3 λ 6 λ = λ(λ λ 6) = λ(λ+)(λ 3) λ 5

6 I den sista likheten har jag löst polynomekvationen λ λ 6 = (som ger λ = och λ = 3 och faktoriserat detta andragradspolynom med avseende på dessa nollställen). Vi har alltså tre värden som ger oss icketrivial lösningar. λ = :: Här har vi systemet 3 Som ger oss den fria variabeln = t (tvåan är bara till för att ge oss lite snyggare siffror) Rad två ger oss y = t och rad ett ger oss = y + = t varför våra lösningar blir y = t λ = :: Här har vi systemet 5 Här har vi = t eftersom är fri, y = från rad och = y = t från rad. y = t λ = 3 :: Här har vi systemet Här har vi = t eftersom är fri, y = 5 = 5t från rad och = (y+)/4 = ( 5t+t)/4 = t från rad. y = 5 t Er uppgift var att lösa uppgiften för matrisen med tryckfelet M = 3 6

7 I detta fall får man polynomet det(m λi) = c(λ) = ( 8 + ) som har nollställena λ =, λ = / ± (/) 33. I detta fall kan man lösa ekvationssystemet (M λi) = för λ = men de andra två värdena ger matrisekvationer som är för jobbiga att lösa och det var inte min mening att utsätta er för detta. Egenvärdena med dess egenvektorer blir (beräknade med maple) λ = ::: Egenvektor blir v = λ = ( + 33) ::: Egenvektor blir v = λ = ( 33) ::: Egenvektor blir v 3 =. (5 + 33) ( ).. 4. (a) Vi börjar med att beräkna A med Gauss-Jordanelimination på vanligt sätt: 3 Vi får fram X genom multiplikationen A B: 3 7 X = A B = 5 = (b) Här ska vi Gauss-Jordan eliminera den utvidgade matrisen [A B]: Det finns antagligen många sätt att lösa denna uppgift. Jag ska visa en metod som utnyttjar projektion av vektorer. Låt oss börja med att titta på projektion om introduceras i figuren : Man kan visa att v = a K K K = proj K a, där den sista likheten definierar projektionssymbolen proj, och sista uttrycket läser vi vanligen som proj K a = projektionen av vektorn a i riktningen K. Nå, hur löser vi uppgiften? Vi söker ju speglingens matris och denna får vi om vi vet vad speglingen gör med våra standardbasvektorer. Om vi kallar speglingensmatrisen för S så behöver vi alltså ta reda på Se och Se y där e = (, ) och e y = (, ). I figurerna ser vi vad speglingen gör med standardbasen. Vi 7

8 Figur : Projektionen v av vektorn a i vektorn K s riktning. Notera även vektorn u som är ortogonal mot K och uppfyller a + u = v. har också ritat in projektioner parallella med linjen med färger som är kopplade med färgerna i föregående projektion i figur. Vi kan nu beräkna standardbasvektorernas speglingar: Spegling av e :: Vi har att vilket ger att v = proj K e = (, ) (, k) + k (, k) = (, k) + k u = v e = (, k) (, ) = + k + k ( k, k) Se = e + u = (, ) + + k ( k, k) = + k ( k, k) Spegling av e y :: Vi har att vilket ger att v y = proj K e y = u y = v y e y = (, ) (, k) + k (, k) = k (, k) + k k (, k) (, ) = (k, ) + k + k Se y = e y + u y = (, ) + (k, ) = + k + k (k, k ) Speglingsmatrisen :: 8

9 Figur : Till vänster har vi hur e speglas. Notera att Se = e + u. I högra figuren har vi hur e y speglas. Här ser vi att Se y = e y + u y Vi får nu speglingsmatrisen genom att sätta Se och Se y som kolonnerna i en matris, dvs S k = [ k k + k k k ] 9

10 Alternativ lösning :: Man skulle också kunna tänka sig att använda spegling i -aeln på något vis. Gör så här:: :: Rotera linjen till -aeln. :: Spegla i -aeln 3 :: Rotera tillbaka. 4 :: Matrisen för speglingen i linjen y = k blir produkten av matriserna för de ovanstående linjära avbildningarna. Vi använder figur 3 Figur 3: Figur för alternativ. Notera de trigonometriska uttrycken som fås från den rätvinkliga triangeln som bestäms av punkterna (, ), (, ) samt (, k). Pythagoras sats har använts för att få hypotenusans längd + k. :: Börja då med att rotera linjen medurs med den vinkel som linjen har till positiva delen av -aeln, dvs med vinkeln α = arctan k (minustecknet uppkommer eftersom vi roterar medurs, vilket är negativ riktning för vinklarna): Matrisen för denna avbildning blir då [ ] [ ] cos( α) sin( α) cos α sin α R α = =, sin( α) cos( α) sin α cos α där vi utnyttjat att cos( α) = cos α och sin( α) = sin α :: Spegling i -aeln ges av matrisen S = [ ]

11 3 :: Rotation tillbaka sker i positiv (moturs) riktning, dvs med vinkeln +α och dess matris blir [ ] cos α sin α R α = sin α cos α 4 :: Vår matris S k blir (här är de noga med ordningen vi ställer upp matriserna i [ ] [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α S k = R α S R α = sin α cos α sin α cos α [ cos = α sin ] α cos α sin α cos α sin α cos α sin α = [ ] k k + k k k, där vi i sista likheten har utnyttjat formlerna i figur 3. Alternativ lösning :: Identifiera egenvektorerna :: Invarianta riktningar:: v = (, k) och v = ( k, ). Skriv som egenvärdesproblem :: Sv = v, Sv = v Om S = [ ] a b så får vi fyra c d ekvationer i variablerna a, b, c, d: a + kb = () c + kd = k () ka b = k (3) kc d = (4) Sortera om ekvationerna och skriv på matrisform :: Skriv ekvationerna i ordningen,3,,4 så får vi på matrisform k k k k k k Lös systemet :: Beräkna lösningen:: visas i figur 4 Ställ upp speglingsmatrisen:: S = [ k k + k k k ]

12 Figur 4: Gausselimination av ekvationssystemet för att bestämma speglingsmatrisens element.