LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

Transkript

1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning: Vi skriver systemet på utvidgad matrisform och Gausseliminerar Vi multiplicerar första raden med och adderar till andra raden Därefter multiplicerar vi första raden med 3 och adderar till tredje raden Detta ger Vi multiplicerar nu andra raden med 3/ och adderar till tredje raden Detta ger / 3/ Från den tredje raden kan vi utläsa att z 3 Sätter vi in detta i ekvationen på andra raden ser vi att y 7z 7 y 7 + 7z Insättning i ekvationen på första raden ger slutligen 7 + x + y + z 9 x 9 y z 9 6, så ekvationssystemet har lösningen x, y, z 3 Låt A 4 6, B , v a Vilka dimensioner har matrisen AB? Lösning: Eftersom A har dimensionerna 3 och B har dimensionerna 3 4, så kommer AB att ha dimensionerna 4 b Vilken dimension har vektorn Av? Lösning: Eftersom A har dimensionerna 3 och v är en 3 -vektor, så kommer Av att vara en -vektor

2 c Beräkna Av Lösning: Vi utför matrismultiplikationen 4 Av Alternativt kan man observera att v är den andra standardbasvektorn och att Av därför kommer att vara den andra kolonnen i A d Beräkna AB Lösning: Vi utför matrismultiplikationen AB Låt A 3 5 4, B a Beräkna det A Lösning: Enligt definitionen av determinanten av en -matris så gäller det A b Beräkna det A Lösning: På samma sätt som i deluppgift a så gäller det A I allmänhet gäller att om A är en n n-matris så är det ca c n det A, vilket i detta specialfall reduceras till det A det A 8 c Beräkna det B Lösning: Enligt Sarrus regel för beräkning av 3 3-determinanter så gäller det B d Beräkna det B Lösning: En omständlig metod vore att först invertera B och sedan bestämma determinanten av B Betydligt enklare är att utnyttja sambandet det B det B om det B Alltså gäller det B det B 4 4

3 4 Symplektiska matriser Låt Ω vara n n-matrisen In Ω I n En n n-matris M kallas symplektisk om M T ΩM Ω Vi kan uttrycka M på formen A B M, C D för några n n-matriser A, B, C och D 5 Låt a Härled villkor i termer av A, B, C och D för att M ska vara symplektisk Lösning: Villkoret M T ΩM Ω innebär, enligt räknereglerna för blockmatrismultiplikation, A T C T In A B B T D T A T C T B T D T In I n I n C D A B C D A T C C T A A T D C T B B T C D T A B T D D T B Om matrisen M är symplektisk så uppfyller de fyra blockmatriserna A, B, C och D således följande ekvationer A T C C T A, B T D D T B, A T D C T B I n, 3 D T A B T C I n 4 Notera att ekvation 4 är transponatet av ekvation 3 Så om ekvation 3 är uppfylld, så är automatiskt den ekvation 4 uppfylld och denna kan därför utelämnas Omvänt, om fyra n n-matriser A, B, C och D uppfyller ekvationerna -3 ovan är det lätt att kontrollera att M T ΩM Ω b Visa att en symplektisk matris M har en vänsterinvers finn denna Lösning: Vi ser att matrisen Ω är inverterbar med invers Ω T Vi kan därför multiplicera ekvationen M T ΩM Ω från vänster med Ω Ω T Detta ger Ω T M T ΩM Ω Ω I n Alltså är Ω T M T Ω en vänsterinvers till M Det går att visa att en kvadratisk matris är inverterbar om och endast om den har en vänsterinvers, så i detta fall är Ω T M T Ω en invers till M A a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44, E 3 Visa att AE 3 är matrisen med A:s tredje kolonn som andra kolonn och nollor i alla andra kolonner Visa att E 3 A är matrisen med A:s andra rad som tredje rad och nollor på alla andra rader Lösning: Vi utför multiplikationerna och får AE 3 a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 a 3 a 3 a 33 a 43, 3

4 respektive E 3 A vilket skulle bevisas a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 a 3 a 3 a 33 a 34 a 4 a 4 a 43 a 44 6 Kursboken, uppgift Låt A vara en n n-matris sådan att AM MA, a a a 3 a 4 för alla n n-matriser M Visa att A är en skalär gånger identitetsmatrisen, dvs A λi n för någon skalär λ Lösning: Låt M E ij och låt A A A A, A,, A n, A n vara uppdelningar av A i dess kolonner A j respektive dess rader A i Från uppgift vet vi att AE ij,,, A i,,,, där kolonn i hamnat i kolonn j och att E ij A där rad j hamnat på rad i På rad i är AE ij lika med noll överallt utom i kolonn j där AE ij är lika med a ii Eftersom E ij A är lika med A j på rad i, så ger villkoret AE ij E ij A att a jk för k j, medan a jj a ii Eftersom i och j är godtyckliga, så visar detta att A λi n för någon skalär λ 7 Tentamen 347, uppgift 4 a Låt B vara en m n-matris och låt A och C vara två inverterbara matrisen av storlek m respektive n Visa att A B M, C A j, är inverterbar och bestäm dess invers i termer av A, B och C Lösning: Se kurshemsidan, gamla tentor b Låt A, B och C vara p p-matriser Visa att I p A B M I p C, I p är inverterbar och bestäm dess invers i termer av A, B och C Lösning: Se kurshemsidan, gamla tentor, 4

5 8 Bestäm en LU-uppdelning av matrisen 6 A Lösning: Vi Gausseliminerar matrisen A så att vi får en matris på trappform och håller samtidigt reda på vilka matrismultiplikationer som motsvaras av de elementära radoperationer som vi använder I + 3 E A I E 3 I + 3 E A , 6 3 P 3 I E 3 I + 3 E A 6 3 : U, där matrisen U är en trappmatris Eftersom P3 P 3, I E 3 + E 3 och I + 3 E I 3 E, så gäller det vidare att A I 3 E + E 3 P 3 U En LU-uppdelning har formen P A LU, så nästa steg är att flytta permutationsmatrisen åt vänster så att den hamnar längst till vänster i högerledet För att kunna göra detta använder vi oss av Lemma i kursboken som i specialfallet då permutationen är en transposition säger att Vi får A I + ce ij P ki P ki I + ce kj I 3 E + E 3 P 3 U P 3 I 3 E 3 I 3 E P 3 + E U + E U P 3 A I 3 E 3 + E U Matrisen A har således LU-uppdelningen P A LU, där P, L, U 3/ 9 Bestäm en LU-uppdelning av matrisen A Bestäm även rangen av A Vilka variabler är basvariabler respektive fria variabler? Har A någon höger- eller vänsterinvers? 5

6 Lösning: Precis som i uppgift Gausseliminerar vi matrisen och håller reda på vilka elementära radoperationer som används 3 3 P A I E 3 P A I + E 4 I E 3 P A P 3 I + E 4 I E 3 P A I E 4 P 3 I + E 4 I E 3 P A : U, där matrisen U är en trappmatris Eftersom U har två rader som inte är nollrader så gäller per definition r A Vi kan även utläsa att x och x 4 är basvariabler medan x, x 3 och x 5 är fria variabler Enligt Sats 6 i kursboken, så har en 4 5- matris en vänsterinvers precis om r A 5, vilket inte är fallet Vidare säger Sats 8 i kursboken att en 4 5-matris har en högerinvers precis om r A 4, vilket inte heller är fallet Så matrisen A har varken vänster- eller högerinvers För att bestämma LU-faktoriseringen så använder vi Lemma och får så A P I + E 3 I E 4 P 3 I + E 4 U P I + E 3 P 3 I E 4 I + E 4 U P P 3 I + E I E 4 I + E 4 U P 3 P A I + E I E 4 I + E 4 U eller P A LU, där P P 3 P och L I + E I E 4 I + E 4, dvs 3 3 P, L, U 3 Kursboken, uppgift 4 Bestäm en LU-uppdelning av matrisen i A i 6

7 Lösning: Vi använder samma metodik som i tidigare uppgifter att vi har komplexa koefficienter spelar ingen roll och får i P A : U, i Så vi har, efter blott ett steg, funnit en LU- där matrisen U är en trappmatris uppdelning P A LU där P, L i, U i 7