För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

Transkript

1 ATM-Matematik Mikael Forsberg För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje n uppgift på n sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på varje inlämnat blad.. Lös ekvationssstemet A = b där A = 4, = och b =. Lös binomekvationen 4 i = 0. Ge villkor på vektorn b = (b, b, b, b 4 ) som garanterar att den ligger i linjära höljet (span) av vektorerna v = (, 0,, ), v = (,, 0, ), v = (,,, 0) och v 4 = (,,, ) 4. Beräkna matriserna S S : spegling i linjen = : spegling i -aeln R 0 : rotation moturs med π/ (dvs 0 ). Använd sedan dessa tre matriser för att beräkna matrisen M för den avbildning som först speglar i linjen =, sedan roterar moturs med 0 och slutligen speglar i -aeln. Identifiera den resulterande geometriska operationen.. Beräkna baser för radrum, kolonnrum och nollrum till matrisen M = Beräkna ON-bas för radrummet till matrisen M i föregående uppgift. Beräkna projektionen av vektorn u = (,,,, ) ned till detta delrum.

2 7. Låt vara matrisen som överför vektorer uttrckta i basen B till vektorer uttrckta i basen A. Låt vektorerna (,, ), (,, ), (,, ) vara standardbasvektorerna uttrckta i basen A. Beräkna basbtesmatrisen som överför vektorer uttrckta i basen B till vektorer uttrckta i standardbasen. 8. Bestäm den basbtes matris som ortogonalt diagonaliserar matrisen M 8 =

3 Svar till tentamen i Linjär Algebra, = t + / 4/ 0.. = e i(π/+π/k), k = 0,,, b b b b 4 =

4 Lösningar till tentamen i Linjär Algebra, Vi ställer upp sstemet på matrisform. Efter ett inledande radbte har vi en etta längst upp till vänster och sedan gör vi Gauss-Jordan elimintering :: 0 4 bte rad och rad Från detta får vi att och är ledande variabler och vi har = t är fri (trean är bara för att sngga till lite). Lösningen blir / = t + 4/ 0. Vi skriver upp ekvationen på normal form :: Sedan skriver vi om på polär form :: 4 = + i Ekvation för beloppet :: Ekvation för argumentet :: 4 e iα = 4( + i ) = 4e iπ/+πk 4 = 4 = 4 /4 = 4α = π/ + πk α = π/ + π/k Fra på varandra följande värden på k ger oss de fra lösningar vi söker :: = e i(π/+π/k), k = 0,,,. Att b ska ligga i linjära höljet betder att det ska finnas en linjärkombination av vektorerna v i, i =... 4: a b a v + a v + a v + a 4 v 4 = b 0 a 0 a = b b 0 a 4 b 4 Detta sstem blir därför på utvidgad matrisform :: som vi Gausseliminerar direkt :: b b 0 b 0 b 0 0 b b b b 4 0 b b + b + b + b 4 Här ser vi direkt att sstemet har lösningar (är konsistent) om villkoret är uppfllt. b b b b 4 = 0

5 4. S = [ 0 0 ] [ 0, S = 0 ], R 0 = [ ] / / / / Sammansättningen fås genom att multiplicera dessa matriser med varandra, i rätt ordning. Den första operationens matris ska stå längst till höger och de efterföljande till vänster om den första: M = S R 0 S = [ 0 0 ] [ ] [ ] / / 0 = / / 0 [ ] / / / / Den resulterande operationen är en rotation moturs med vinkeln π/ eller 0.. Vi Radreducerar matrisen Baser för radrummet är de tre nollskillda raderna i den reducerade matrisen: Bas för radrummet = {r = (, 0,, 0, ), r = (0,,, 0, ), r = (0, 0, 0,, )} Bas för kolonnrummet får vi genom att identifiera de kolonner i den reducerade matrisen som innehåller ledande element. Detta ger oss kolonn nummer, och 4. En bas för kolonnrummet får vi genom att ta kolonn, och 4 från ursprungsmatrisen M : Bas för Kolonnrummet =,, Bas för nollrummet hittar vi genom att lösa A = 0. Radreduktion ger oss matrisen Genom att identifiera de ledande variablerna:,, 4 och de fria = s och = t så får vi 4 = 0 s + 0 t 0 som ger att de två vektorerna i höger led är bas för nollrummet.. Starta från basen i föregående uppgift och notera att de två första vektorerna redan är ortogonala. Beräkna nu projektionen av den tredje vektorn på vardera av de två första och subtrahera dessa projektioner från den tredje vektorn. Resultatet blir då en vektor som är

6 vinkelrät mot de två första och vi har då en ortogonal bas för radrummet. Normera slutligen de tre vektorerna och vi är klara med ON-basen. Vi har alltså b = r = (, 0,, 0, ) b = r = (0,,, 0, ) b = r proj b r proj b r = r r b b b b r b b b b = = (0, 0, 0,, ) (, 0,, 0, ) (0,,, 0, ) = = ((0, 0, 0,, ) + (, 0,, 0, ) (0,,, 0, 4)) = = (,, 0,, ) Nu måste vi normera vektorerna, vilket ger oss vår ON-bas: o = b b = (, 0,, 0, ) o = b b = (0,,, 0, ) o = b b = 4 (,, 0,, ) Det finns många andra möjliga ON-baser. Vad man får beror av vilken bas man startar med Den givna matrisen är P A B = Givet är också basbtesmatrisen från standardkoordinater till A-koordinater :: P A S = Uppgiften söker efter basbtesmatrisen P S B och består av B?s basvektorer uttrckta i standardbasen. Denna matris får vi genom sammansättningen P S B = P S A } {{ } =(P A S ) P A B = (P A S ) P A B Matrisen (P A S ) kan vi beräkna genom uppställningen (P A S P A B ) (I (P A S ) P A B ), där vi radreducerar tills identitetsmatrisen står till vänster och vår produkt till höger.:

7 som ger oss den matris vi söker P S B = (P A S ) P A B = Eftersom matrisen är smmetrisk så finns det verkligen en ortogonal matris som diagonaliserar matrisen. Den ortogonala matrisen har kolonner som är egenvektorer till matrisen. Eftersom matrisen är smmetrisk så är egenvektorer till olika egenvärden automatiskt ortogonala. Om vi har ett multippelt egenvärde så är egenvektorerna till detta inte automatiskt ortogonala mot varandra och i ett sådant fall behöver man använda Gram-Schmidt för att bestämma ortogonal bas för detta egenrum. För vår aktuella uppgift så behvöver vi börja med att beräkna egenvärdena och sedan egenvektorerna. När egenvektorerna är beräknade så behöver vi se till att vi får fram ortogonala egenvektorer som har längden. När vi har denna OrtoNormala uppsättning egenvektorer så ställer vi upp dem som kolonner i en matris och då har vi fått vår ortogonala matris. Egenvärden :: Lös det(a λi) = 0 det(a λi) = det λ λ λ = λ + 4λ + λ 4 = (λ 4)(λ )(λ + ) Faktoriseringen i sista steget får vi genom att beräkna nollställena till tredjegradspolnomet. Genom att gissa på delarna ±, ±, ±4 till konstanttermen 4 och sätta in dem i polnomet så får vi att ± och 4 är nollställena vilket alltså ger faktoriseringen. Dessa tre tal är våra egenvärden. Vi har alltså tre olika enkla egenvärden. Egenvektorerna till dessa är därför automatiskt ortogonala (eftersom A är smmetrisk). Vi har kvar att beräkna dessa egenvektorer och sedan normalisera dem. Egenvektorer :: λ = :: Lös (A I) = 0 Från detta får vi att = t, e λ= = beskriver egenrummet med normaliserad egenvektor e λ=. λ = :: Lös (A + I) = Från detta får vi att = 0 t, e λ= = beskriver egenrummet med normaliserad egenvektor e λ=. 0 7

8 λ = :: Lös (A 4I) = Från detta får vi att = t, e λ= = beskriver egenrummet med normaliserad egenvektor e λ=4. Den ortogonalt diagonaliserande matrisen:: Matrisen vi söker har de normaliserade egenvektorerna som kolonner (vi har naturligtvis verifierat att egenvektorerna verkligen är ortogonala mot varandra) P = 0 8