Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 8 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning ( p) ht ger poäng på uppgift (som alltså inte behöver lösas) och p eller mer ger poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system. (p) (p) (p). (a) Låt L vara linjen genom (,,) med riktningsvektor v (,,) och låt Π vara planet med ekvation x y +z. Bestäm skärningspunkten P mellan Π och L. Ange därefter linjen L genom P som är ortogonal mot L och ligger i Π. (b) Beräkna determinanten / / / / / / / /.. Låt F:R R vara den linjära avbildning sådan att F(u) u:s spegling i planet x+z. Ange F:s egenvärden med tillhörande egenrum samt F:s matris i en bas av egenvektorer och i standardbasen.. Låt U { (x,x,x,x ) R : x x +x x }. (p) (p) (p) (a) Bestäm en ON-bas i U. (b) Beräkna avståndet mellan v (,,,) och U.. Den linjära avbildningen F:R R definieras av F(x,x,x,x ) (x +x +x x, x +x x +ax ). Bestäm a R så att (,,,) tillhör F:s nollrum. Ange sedan F:s matris relativt standardbaserna i R och R samt en bas i nollrummet. VÄND!

2 . Låt u (x,x,x ) R och Q(u) x +x +x x x x x x x. (p) (p) (p) (a) Bestäm det största respektive minsta värde Q(u) kan anta då u π. (b) Bestäm minsta avståndet från ytan Q(u) till origo samt i vilka punkter detta minsta avstånd antas.. (a) Underrummet U P definieras som [ ] +x +x, x+x +x +x, x+x +x +x, U. x+x +x x, x+x +x Ange en bas i U samt dimensionen av U. (p) (b) Låt V [ bx x +x, x x +x x ]. Finns det något värde på b R så att V är ett underrum av U? (p) 7. För alla värden på α,β R (ej båda ), bestäm a R så att gränsvärdet ( ) n ( ) α lim n a n β existerar ändligt och är skilt från ( ). Ange också gränsvärdet i varje fall.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, (a) Ekvationen för L på parameterform blir x L. e y e +te z, t R. Skärningspunktens P t-värde beräknas genom insättning av L i Π:s ekvation. Vi får x y +z (+t) (+t)+(+t) t+8 t OP e e e. Då L skall ligga i Π måste riktningsvektorn v L vara ortogonal mot planets normal n (,,). Då L skulle vara ortogonal även mot L följer det att 7 7 v L n v e e e e L : e x y z e +te 7, t R. (b) För att underlätta kalkylen ordnar vi så att vi får heltal i varje position r / / r r r r / / / r r r r / / / r r r [ ] Utveckla efter rad (! ). Låt n (,,) planets normal och beteckna med v en godtycklig vektor i planet. För en spegling gäller F(n) n och F(v) v. Följaktligen är n en egenvektor med egenvärde och [n] är egenrummet. Vidare, varje vektor i planet är en egenvektor med egenvärde så egenrummet till är planet självt. Med f ˆn och f,f en ON-bas för planet har vi en ON-bas för hela R. Vi kan, tex välja f e, f e, f e, dvs f e.

4 Detta ger att F:s matris i en bas av egenvektorer blir A f. Eftersom standardbasen och egenbasen båda är ON-baser följer det att T är ortonormal, dvs T T t. Basbytesformeln ger sedan A e TA f T T.. Skulle vi parametrisera U:s definierande ekvation skulle vi behöva tre paramterar, dvs dimu. (a) Följaktligen behöver vi tre vektorer till vår ON-bas. Välj två ortogonala vektorer i U, tex u (,,,), u (,,,). Välj sedan en tredje vektor i U som inte är en linjärkombination av u och u, tex u (,,,). Sätt f û, f û och ortogonalisera u med hjälp av Gram-Schmidtprocessen. Vi får f û e, f û u (u [f,f ] f )f +(u f )f e e e e + e e + e u u [f,f ] u [f,f ] e e + e 9, 9, e

5 f û [f e,f ] och vi har att f,f,f är en ON-bas i U. (b) Enligt sats.., sid är minsta avståndet det ortogonala avståndet, d v s Med v (,,,) fås. Insättning ger min v u v v U v U. u U v U (v f )f +(v f )f +(v f )f e + e + e v U v v U e v U. e e e F(,,,) ( +, +a) (,a ) (,) a. Låt e och e vara standardbaserna i R respektive R. Skriver vi de inblandade vektorerna i bas koordinatform fås x F(x,x,x,x ) F e x x x (x +x +x x, x +x x +x ) ( ) x +x e +x x x +x x +ax ( ) x e x x, }{{} A e x,e dvs matrisen A e,e är F:matris med avseende på standardbaserna i R och R. För att beräkna N(F) löser vi A e,e X på vanligt sätt ( ) ( ) ( ) r r r r 8 7

6 x x x x 8s+7t s t s t s 8 +t dvs ( 8,,,), (7,,,) är en bas i N(F).. Skriv Q på matrisform och beräkna egenvärdena. 7, s,t R, Q(u) x +x +x x x x x x x ( ) x x x x x X t AX x λ det(a λi) λ r r λ λ λ λ 8 8 λ 8 λ (λ 8) λ (λ 8) 8 λ λ k +k (λ 8)((8 λ)( λ) 8) (λ 8) ( λ 8λ+7 ) (λ 8)(λ )(λ ) λ 8,,. (a) Enligt Sats 9.., sid 7 gäller att λ min u Q(u) λ max u med likhet då u är en egenvektor till respektive egenvärde. I vårt fall är λ min, λ max 8 och u π så min-värdet blir π och max-värdet 8 π. (b) Sats 9.., sid 7 ger i denna nya situation att u Q(u) 8 u med likhet i den vänstra då u är en egenvektor till och i den högra då u är en egenvektor till 8. Då vi söker den närmaste punkten är den vänstra olikheten ointressant och den högra ger 8 u u u, med likhet då uären egenvektor till 8,dvs omq(u) ochuären egenvektor till λ max 8 så är u. Beräkna egenvektorerna till λ 8. r r r / r (A 8I)X 8 r r r 8 X 8 t, t R.

7 Låt û 8 e, dvs en egenvektor av längd till egenvärdet 8. Punkterna närmast origo, på avstånd / är alltså de som har ±û 8 / som ortsvektor, dvs P ± (,, ) ± (,, ) är de punkter på ytan som ligger närmast origo.. Kalla de genererande polynomen p,...,p, ställ upp beroendeekvationen samt linjärkombination godtyckligt polynom, skriv som ekvationssystem på vanligt sätt och lös. Vi får λ p +λ p +λ p +λ p +λ p, a +a x+a x +a x +a x a a a r r r a r a r +r r +r r a a r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a (a) Vi börjar med beroendeekvationen. Ur () följer λ λ λ λ λ λ s t λ λ λ λ λ λ s λ λ s t s s λ t +t s,t : p p +p +p p p +p p s,t : p p +p. r r r r r r (), s,t R Följaktligen kan p och p utses till löjliga element enligt sats.., sid. DärmedgällerattU [p,p,p ]ochp,p,p ärlinjärtoberoende.följaktligen är de en bas i U och därmed är dimu.

8 (b) Ur () följer att ett godtyckligt polynom är en linjärkombination av de genererandepolynomenp,p,p,p,p omma +a a +a ocha +a +a a, dvs U { a +a x+a x +a x +a x P : Insättning av V:s genererande polynom i U:s ekvationer ger } a + a a + a. a + a + a a x x +x x : a + a a + a +( ) ( )+ a + a + a a + ( ), dvs x x +x x U och bx x +x : a + a a + a +( b) ( )+ b a + a + a a b+ b, dvs bx x +x U omm b. Följaktligen är V ett underrum av U omm b. 7. Beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. det(a λi) λ λ ( λ)( λ)+ λ λ+ λ, ( ) ( ) λ : X t, t R ( ) ( ) λ : X t, t R. Följaktligen har vi en bas av egenvektorer till A A e. Sätter vi ( ) ( ) f e, f e fås ( ) ( ) ( ) ( ) f et e T, A f, A n n f n ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) α α α A n e TA n f β T TA n n α β f T β β n α+β (( )) ( ( ) ( )) n (α β) T n T n (α β) + n ( α+β) ( α+β) ( )( ) ( )( ) n (α β) + n ( α+β) ( ) ( ) n (α β) + n ( α+β) ( ) ( ( ) α a nan e n )+ n β a n(α β) a n( α+β) ()

9 Eftersom gränsvärdet skall vara ändligt och nollskilt följer det ur () att om a och α+β α β så fås ( ) ( ( ) α nan e n )+ n β n(α β) n( α+β) ( ) ( ) ( ) n n(α β) +( α+β) ( α+β) () då n. Om α β så blir resultatet i () nollmatrisen och vi ser i () att termen innehållande n försvinner. Följaktligen, om α β så måste a för att vi skall få ett ändligt och nollskilt gränsvärde. Detta ger ( α nan e β ) n ( n(β β) )+ n ( n( β +β) ( ) för varje värde på n så därmed blir ju också gränsvärdet β. Vi sammanfattar: ) ( ) β (a) Om α β så måste a för ( att ) gränsvärdet skall existera ändligt och nollskilt. Gränsvärdet blir ( α + β). (b) Om α β så måste a ( ) för att gränsvärdet skall existera ändligt och nollskilt. Gränsvärdet blir då β.