Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Transkript

1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 7 9, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst uppgifter med eller poäng. Godkänd kontrollskrivning ( p) ht ger poäng på uppgift (som alltså inte behöver lösas) och p eller mer ger poäng på uppgift. Markera detta genom att skriva G respektive G+ i rutan för uppgift. Fullständiga motiveringar krävs. Lösningar läggs ut efter skrivtidens slut på Resultat meddelas via e-post inom arbetsdagar. Alla koordinater för vektorer och punkter är, om ej annat anges, givna med avseende på ett positivt orienterat ON-system, R n är ett euklidiskt rum med standardskalärprodukten och standardbasen ett positivt orienterat ON-system. (p). (a) Avgör om linjerna L : L : x y z x y z = = +t, t R, +t, t R skär varann. Om så är fallet, bestäm skärningspunkten. (p) (p) (p) (p) (b) Bestäm (den spetsiga) vinkeln mellan linjerna i (a) (c) Ange skärningslinjen, på parameterform, mellan planen x y + z = och x y +z =.. Låt F:R R vara den linjära avbildning sådan att F(u) = u:s ortogonalprojektion i planet x y =. Ange F:s egenvärden med tillhörande egenrum samt F:s matris i standardbasen och i en bas av egenvektorer.. För vilka värden på a, b R saknar ekvationssystemet x + y + z = b x + y + az = ax + y + z = lösningar? För dessa värden på a och b, bestäm minstakvadratlösningarna till det olösbara ekvationssystemet. VÄND!

2 (p). Betraktaden linjäraavbildningen F:R R somistandardbaserna förr respektive R har avbildningsmatrisen a A = a där a R. Bestäm a så att v = (,,,,) N(F). Bestäm därefter en ON-bas i N(F) och dimensionen av V(F). (p). Visa att Q(u) = x +xy+8y = 8 definierar en ellips. Rita kurvan noggrant på separat blad. Skala: minst rutor per längdenhet. Av din figur skall framgå symmetriaxlarnas riktning, ellipsens halvaxellängder (exakta värdena skall vara angivna i figuren) samt koordinaterna för symmetriaxlarnas skärningspunkter med ellipsen. (p). (a) Betrakta underrummet { U = a +a x+a x +a x P : } a + a a a =. a + a + a + a = Bestäm en bas i U och fyll ut denna till en bas i P. I ditt svar skall basvektorerna skrivas som de polynom de är, inte på bas koordinat-form! (p) (p) (b) Bestäm koordinatmatrisen för q = x+x x i den bas du valde i (a). 7. Låt F:R R vara den linjära avbildning som utför en vridning π/ moturs kring e sett från spetsen av e. Låt G:R R vara samma avbildning fast med e som vridningsaxel. Ge en fullständig beskrivning av den sammansatta avbildningen F G.

3 Lösningsförslag till TATA, Linjär algebra, 7 9. (a) Eventuell skärningspunkt fås genom att lösa +t = +s s +t = r +r Insättning ger skärnigspunkten (7,, ). ( ) s = t r r = ) = ( s t = ( ). (b) För att beräkna vinkeln beräknar vi skalärprodukten mellan linjernas riktningsvektorer. Låt v = (,,) och v = (,,). v v = = Då den spetsiga vinkeln efterfrågas måste skalärprodukten vara positiv. Följaktligen beräknar vi istället (se figur) v π θ v θ v v ( v ) = cosθ = = (c) Lös ekvationssystemet { x y + z = x y + z = = = L: = = cosθ = cosθ = θ = π ekv ekv { x y + z = y z = = x = +y z = +t t = +t y = +z = +t, t R = z = t x y = +t, t R. z

4 . Låt n = (,,) = planets normal och beteckna med v en godtycklig vektor i planet. För en ortogonalprojektion gäller F(n) = och F(v) = v. Följaktligen är n en egenvektor med egenvärde och [n] är egenrummet. Vidare, varje vektor i planet är en egenvektor med egenvärde så egenrummet till är planet självt. Med f = ˆn och f,f en ON-bas för planet har vi en ON-bas för hela R. Vi kan, tex välja f =,f =,f = e, dvs f =. Detta ger att F:s matris i en bas av egenvektorer blir A f =. Eftersom standardbasen och egenbasen båda är ON-baser följer det att T är ortonormal, dvs T = T t. Basbytesformeln ger sedan A e = TA f T = T = = =.. Vi skriver systemet på matrisform och använder determinantkriteriet (Sats.7., sid 9). Då fås x + y + z = b x + y + az = ax + y + z = r r r deta = a r = a x b a y = a z A X Y = (a ) a = a a a a =(a )( ( a)) = a(a ) = a =,, dvs systemet har entydig lösning för alla b R om a eller. a = eller kontrolleras separat. b a = : r r b r r b som är lösbart för alla b R.

5 a = : b r r b b r +r r r b b som saknar lösning om b. Återstår att bestämma minsta-kvadratlösningarna till AX = Y för a = och b. A t A = = 8 8 A t Y = b = Lös sedan normalekvationerna på vanligt sätt r b+ r r 8 b+ r 8 b+ 8 b 8 b 8 b 7 7 b 7 b r r 7r r / b+ b+ b+. 8 b+ 8 b+ 9 b+ = X = 7 9 b 7 b b+ b+ +t r r r r r 8r r /, t R.. Vi börjar med att beräkna a F(,,,,) = F e = e a a = e a a = e a =. Beräkna sedan N(F) på vanligt sätt genom att lösa AX =. r +r r r r r r +r r r +r = =

6 = N(F) u = re u +se u +te u, r,s,t R och följaktligen är N(F) = [u,u,u ] vilket ger dimn(f) =. Dimensionssatsen (Sats 7.., sid 8) ger då att dimv(f) = dimr dimn(f) = =. Vidare observerar vi att u u och väljer därför f = û, f = û. För att erhålla en ON-bas i N(F) behöver vi bara använda Gram-Schmidtprocessen på u. Vi får u [f,f ] = (u f )f +(u f )f = e + e = = e +e = e, u [f,f ] = u u [f,f ] = e e = e, f = u [f,f ] = e. Sammanfattningsvis,a=,f,f,f enligtovanärenon-basin(f)ochdimv(f)=.. Skriv Q på matrisform och beräkna egenvärden och egenvektorer. Q(u) = Q ( e ( x y )) = x +xy +8y = ( x y )( 8 ) A ( x y ) = 8, det(a λi) = λ 8 λ = ( λ)(8 λ) = λ λ+ = = (λ 9)(λ ) = λ =,9. λ = : ( ) ( ) = X = t ( ), t R

7 ( ) ( ) λ = 9 : f = ( ) e. I ovanstående ON-bas av egenvektorer fås ( Q(u) = Q f ( ) = X 9 = t, t R ( )) y = y y +9y = 8 ) + ( ) ( ) ( y + y = y y y + = Ur ellipsens ekvation på standardform avläser vi nu att ( y ) =. storaxelns längdär och att storaxeln skär ellipsen i punkterna med ortsvektor ( ) u S = ±f = ± f = ± ( ) ( ) e = ±e, lillaxelns längd är och att lillaxeln skär ellipsen i punkterna med ortsvektor ( ) u L = ±f = ± f = ± ( ) ( ) e = ±e. Vi får ur detta följande figur (kurvan skall gå genom (±,) men jag är för dålig på ritprogrammet för att få till det). y y (,) (, ) x (, ) (, ) y

8 . (a) Lös ekvationssystemet för att få en bas i U. { { a + a a a = ekv ekv a + a a a = a + a + a + a = a + a + a = { ekv ekv a a a = a + a + a = = a s+t = a a = s t s = s +t, s,t R. a t Ur detta följer att p = x = x+x och p = x = x+x ärenbasiu.förattvälja utfyllnadutnyttjar vi plus-satsen (Sats..,sid) tvågånger.somförstautfyllnadspolynomväljervi p = xsombryter motden :a av de ursprungliga ekvationerna men uppfyller den andra och som därmed inte tillhör U. Enligt plus-satsen är p,p,p linjärt oberoende och [p,p,p ] = { a +a x+a x +a x P : a +a +a +a = }. Som sista utfyllnad väljer vi ett polynom som bryter mot den återstående ekvationen, tex p =. Enligt plus-satsen är p,p,p,p linjärt oberoende och eftersom de är rätt antal är de en bas i P enligt satsen om rätt antal element (Sats..9, sid ). (b) Insättning av q:s koordinater i ekvationerna för U ger att q U. Följaktligen gäller att q:s p - och p -koordinater är och r r,r r r +r,r +r q = x p +x p = r r r r = = q = p p +p +p = ( ) p p p p, dvs q:s koordinatmatris i basen p,p,p,p är.

9 7. Kalla F:s avbildningsmatris A, G:s B och F G:s C. Klart att (håll tre pennor som ett ON-system och vrid π/ kring e respektive e ) F(e ) = e =, F(e ) = e =, F(e ) = e = G(e ) = e =, G(e ) = e =, G(e ) = e = = A =, B = = Satsen om avbildningsmatris till sammansatt avbildning (Sats 7.., sid 8) ger C = AB = =. Vi observerar att även C är en ortonormal matris och enligt Sats 7.7., sid 9 är också F G isometrisk. Enligt sats 7.7., sid 9 är deta = detb = eftersom både F och G är vridningar. Produktlagen för determinanter, Sats.8., sid 9 ger då detc = detab = deta detb = = så även F G är en vridning. Bestäm vridningsaxeln till F G, dvs lös ekvationen CX = X (C I)X =. Vi får Sätt = X = t r +r r, t R. f =, f = e f = f f =, r +r r = = / / / = f = / / / / / = et, T = T t, C f = T C e T = T t = / / / / / / / / =

10 = / / / / / / / / = / /, / / / / / / / / / / = dvs F G är en vridning moturs vinkeln arccos( /)=π/ sett från toppen av f = (,,). Alternativ: Istället för att använda basbytesformeln kan vi beräkna vinkel och vridningsriktning enligt följande: Tag vektor ortogonal mot vrisningsaxeln, t ex (,, ). Vridningsvinkeln fås då som vinkeln mellan (,,) och F(,,). Beräkna sedan (,, ) F(,, ). Denna blir med nödvändighet parallell med vridningsaxeln. Blir riktningen samma som vridningsaxeln sker vridnngen moturs sett från toppen av vridningsaxeln. Blir riktningen motsatt sker vridningen medurs. Vi får F(,,) = = F(,,) = = =cosθ cosθ= = θ=π F(,,) = = = vridningsaxeln, dvs vridningen sker moturs sett från toppen av (,,).