SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

Transkript

1 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig lösning, ingen lösning, oändligt många lösningar? (4 p) (b) Lös ekvationssystemet för k. ( p) k k 3 k R (R R ) k k Om k då får vi ur första raden att vilket är motsägelse. Om k så ger R att x /(k ). Vi kan alltså dela R med k och få R k (R R ) R 3 (R 3 4R ) k 6 k Om k så ser man att R 3 3R, och eftersom vi får R 3 (R 3 3R ) 4 Emellertid är detta skärningen mellan två plan som ger en linje som lösning. Dvs oändlig många lösningar. Vi får alltså att x, y + z 4 som ger (x, y, z) (, y, 4 y). Väljer vi y t som parameter får vi (x, y, z) (,, 4) + t(,, ). Om k, så kan reducera matrisen ovan k k R (R k 3 R 3) k vilket, efter att ha delat rad med (k ) samt reducerat rad 3, ger en enda lösning. Svar: a) Om k, har vi en enda lösning. För k har vi inga lösningar. För k har vi oändligt många lösningar. Svar: b) Då k har vi en linje som lösning (x, y, z) (,, 4) + t(,, ).. P är det plan i R 3 som innehåller punkten (,, ) och linjen t, t i R. (a) Bestäm en normalvektor och en ekvation till P.

2 (b) Bestäm ortogonalprojektionen av punkten (, 4, ) på linjen som går genom origo och punkten (,, ). (a) Eftersom planet innehåller linjen t och linjen går genom origo (för t ), så in- nehåller planet även origo. Det betyder att vektorerna och är parallella till pla- net. Kryssprodukten av dessa vektorer blir en normalvektor till planet: n. Ekvationen för planet blir då x x 3 ; här har vi använt oss av att planet innehåller origo. (b) Sätt v 4 och n. vilket efter kalkyl ger Proj n v ( v n) n n, v n n och därmed Proj n v n. 3. Låt T vara övergångsmatrisen från basen V till basen W av ett delrum U av R 3 4. (a) Bestäm övergångsmatrisen från bas W till bas V. (b) Låt f : U U vara en linjär avbildning som uppfyller [f] W. Bestäm [f] V. (Med [f] B menas matrisen för avbildningen f med avseende på basen B.) (a) Övergångsmatrisen från basen W till basen V ges av inversen till T T 3 (b) Vi har [f] V T [f] W T

3 4. En linjär avbildning L: R 3 R 3 definieras av formeln L( x) e 3 x för alla vektorer x. Här är e 3 och med menas kryssprodukten. (a) Bestäm standardmatris till L: R 3 R 3. ( p) (b) L transformerar planet x 3 till sig själv. Beskriv geometrisk hur vektorer i detta plan transformeras. ( p) (c) Bestäm alla egenvärden och tillhörande egenvektorer till L. (a) Kryssprodukten beräknas och vi får L(x) e 3 x x x Standardmatrisen ges då av hur L verkar på standardbasen i rummet L( e ) L( e ) L( e 3 ) och därmed är dess matris (b) Avbildningen skickar alla vektorer till planet x 3, eftersom tredje komponenten i Lx är lika med noll. Vektorer i planet x 3 ges av (x, x, ) som avbildas på ( x, x, ) dvs (x, x ) avbildas på ( x, x ) som tydligen är en rotation och vi kan skriva x x [ ] x x [ cos π/ sin π/ sin π/ cos π/ ] x x (c) som är en rotation med 9, dvs π/. λ det λ λ(λ + ) ger λ, λ så L har bara ett egenvärde λ. Det betyder att motsvarande egenvektorer ges av de nollskilda vektorerna i ker(l). Matrisen till L har rang, som ger att ker(l) har dimension. Vi kan konstatera att egenvektorer till L ges av α e 3 där α är en nollskild skalär. 5. Låt Q vara den kvadratiska form på R n som är definierad genom Q(x,..., x n ) x x n + x x n + + x n x n+. (a) Bestäm den symmetriska matrisen som tillhör Q. ( p) (b) Avgör karaktären av Q: positivt/negativt (semi)definit eller indefinit? (4 p)

4 (a) Symmetriska matrisen ges av: A..... dvs A (a ij ), där a ij / för (i, j) (n, ), (n, ), (n, 3),, (, n ), (, n) (b) Man kan enkelt konstatera att och att 4x i x j [(x i + x j ) (x i x j ) ] 4Q(x) [(x + x n ) (x x n ) ] [(x n + x n+ ) (x n x n+ ) ] Dvs efter en rotation med ansatsen y x +x n,... y n x n +x n+, samt y n+ x x n,... y n x n x n+, har vi att kvadratiska formen är indefinit, då den skrivs som n n 4Q(y) yi yi. i in+ 6. Låt A vara en n n-matris. Col(A) betecknar kolonnrummet av A. Visa: (a) Om Col(A k ) Col(A k+ ) för något heltal k, så gäller Col(A k ) Col(A k+l ) för alla heltal l. (b) Om A j för något heltal j så är A n. (a) Beteckna W Col(A k ) och W Col(A k+ ). Enligt antagande gäller W W. Enligt definitionen för bildrummet, W Col(A k+ ) {A k+ x, x R n } {A(A k x), x R n } {A y, y W }. Eftersom W W har vi () {A y, y W } W. Nu bestämmer vi Col(A k+ ): Col(A k+ ) {A(A k+ x); x R n } {A y; y W } W W {A y; y W } () W. Alltså Col(A k+ ) W Col(A k ). På samma sätt Col(A k+3 ) {A(A k+ x); x R n } {A y; y Col(A k+ )} {A y; y W } () W. Om vi forsätter med samma resonemang får vi att Col(A k+l ) W Col(A k ), V.S.B (b) Om A j för något heltal j då är A j+k A k A j för varje k,,,... Låt m vara minst av alla tal l sådana att A l. Då är A m medan A m. Därför finns det en vektor v sådan att A m v. Vi ska visa att följande vektorer v, A v, A v,..., A m v är linjärt oberoende. Låt () c v + c A v + c m A m v

5 Vi multiplicerar ovanstående relation från vänster med A m. Eftersom A l för l m får vi c A m v. Detta och A m v medför c. Ekvationen () förenklas till c A v + c n A m v. Multiplikationen med A m ger c. Fortsättning med samma resonemang ger c,..., c m, som betyder att v, A v, A v,..., A m v är m stycken linjärt oberoende vektorer i ett n-dimensionellt vektorrum. Därför m n. Slutligen A n A m A n m A n m V.S.B.