. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

Transkript

1 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från -7 minst 5% ( poäng) från uppgift 4, för betyg 5 minst 75% ( poäng) För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift) Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt () Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng (Dugga ) (a) Bestäm vektorprodukten u (u + v) v (u + v) om du vet att u v 4u v 4 (b) Bestäm en generell ekvation för planet som går genom punkten vektorerna och x 7y + z 4 4 (p) och som är parallellt med (p) (Dugga ) (a) Lös ekvationssystemet x y z t t t, t R (b) För vilka värden på k har ekvationssystemet lösning? k x + y + z 4 y + z 4x + y 6 { x + y + 4z 5 x + ky + kz ingen (p) (p)

2 (Dugga ) (a) Beräkna A B, där A produkten och B 5, eller motivera varför det inte går att beräkna Går inte, i produkten är antal kolonner i vänstra matrisen inte samma som antal rader i högra matrisen (antal kolonner, antal rader), vilket krävs för att matrismultiplikation ska kunna genomföras (p) (b) A, B och X är kvadratiska matriser av samma ordning Lös matrisekvationen (p) AXBA A dvs uttryck X i termer av A, B och deras inverser X AB (c) Beräkna inversen av 4 (Dugga ) (p) (a) Avgör om vektorerna (,, ), (,, ) och (,, ) är linjärt oberoende eller inte Linjärt oberoende (b) Bestäm en bas för radrummet och en bas för nollrummet till matrisen 5 (Dugga ) Radrummet: Nollrummet: och (a) Är matrisen A 5 7 Nej, matrisen är av fel typ, och en standardmatris för en avbildning från R till R 8? (p) (p) (p) (b) T är en linjär avbildning som avbildar vektorer i R 8 på vektorer i R Om u och u är vektorer i R 8 som uppfyller T (u) 4 och T (v) beräkna T ( u + 5v) 7, (p)

3 (c) Avbildningen S : R R har standardmatrisen A och avbildningen T : R R 4 har standardmatrisen B En av sammansättningarna S T och T S går att bilda Bestäm standardmatrisen för den av dessa sammansättningar som går att bilda (p) 7 9 S T går att bilda och har standardmatris (Dugga ) (a) v är en egenvektor till matrisen A egenvektor Beräkna det egenvärde som hör till denna (p) (b) Betrakta matrisen A Bestäm alla egenvärden till A, och bestäm för varje egenvärde en egenvektor (p) Egenvärden: och Egenvärdet har en egenvektor Egenvärdet har en egenvektor 7 (a) Bestäm värdet på a så att vektorerna, och inte bildar en bas i R (p) a 4 5 (b) Finn en vektor u så att u, 6 (c) Finn koordinaterna för w (w) B och i basen B { a bildar en ortonormal bas i R, (p) } (p)

4 Följande uppgifter bedöms för betyg 4 och 5 8 (a) Ett plan P i R har normal n (,, ) Finn en ekvation på normalform för det plan P som är vinkelrät mot P och innehåller punkterna (,, ) och (,, ) Vi kan beräkna en normalvektor n för planet genom att beräkna vektorprodukten av två vektorer i eller parallella med planet Vi har en vektor som är parallell med planet, nämligen normalvektorn n (,, ) till planet P, eftersom det planet är vinkelrät mot det plan vi söker ekvationen till En annan vektor parallell med det plan vi söker är naturligtvis vektorn u mellan punkterna A (,, ) och B (,, ) eftersom dessa punkter enligt uppgiften ligger i planet: u AB B A Så en normal till planet ges av vektorprodukten e x e y e z 6 ( 4) n u n ( ) x Ekvationen för planet blir nu (tex) n ( y ) x y + z + Förenklar vi lite får vi ekvationen x + y z z (b) Bestäm en ekvation på parameterform för det plan P som innehåller punkterna (,, ), (,, ) och (,, ) Om vi har två (ickeparallella) vektorer u och v som är parallella till planet och en punkt A i planet så får vi planets ekvation på parameterform som x y A + su + tv där s och t är reella parametrar z Eftersom vi har tre punkter i planet kan vi bestämma två vektorer i planet genom att bilda vektorer mellan dessa punkter, som vi får genom att ta differensen av koordinaterna för punkterna: u (,, ) (,, ) och v (,, ) (,, ) (tex, flera möjliga val finns) Vi noterar att dessa två vektorer är ickeparallella vilket krävs (vi kan inte skriva den ena som ett tal multiplicerat med den andre) Alltså är en parametrisk ekvation för planet x y A + su + tv (c) Bestäm värdena på a så att vektorerna z a och + s a + t är vinkelräta (p) (p) (p) 4

5 Vi vet att två vektorer är vinkelärta omm deras skalärprodukt är noll Så vi multiplicerar vektorerna a skalärt och får villkoret a a + a + ( ) a a 9 (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) k + k + k + 5 har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart Vi Gauss-Jordan-reducerar ekvationssystemet: (r + r, r4 r) 6 k + k + 6 k + k + k + 5 k + k (r r) k + k + (r r4) k + k + Vi ser att näst sista ekvationen blir (k + )x 4 vilket blir den omöjliga ekvationen om k Sista ekvationen beror också på k men har noll i högerledet och kan alltså aldrig bli en omöjlig ekvation, oavsett vad k väljs som Vi kan alltså dra slutsatsen att systemet saknar lösning för ett och endast ett k-värde, nämligen k För k löser vi ekvationssystemet: vi förenklar så långt vi kan i den radreducerade trappstegsmatrisen 5 7 (r r) k + k + k + k + Vi ser att tredje variabeln är fri och sätter den till en parameter: x t Vi ser också att x 5 och x 4 (går att göra, eftersom ju k ) Slutligen ger bakåtsubstitution att x t och k+ x + 7t Så vi får att lösningen blir x 7 x + t x x 4 x 5 k+ (b) Ge ett enkelt argument, utan att bestämma någon lösning, för varför systemet { x + y + z x + y (5p) 5

6 inte kan ha en unik lösning (p) Systemet har fler variabler än ekvationer Alltså blir minst en variabel fri, och lösningen kommer att bero på minst en parameter och alltså har systemet oändligt många lösningar (reduktion av andra ekvationen ger att systemet är lösbart) (c) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen 4 A (p) Vi radreducerar matrisen, och får Resultat i kursen ger att radoperationer inte bevarar kolonnrummet, men att kolonnerna med pivotelement i den radreducerade trappstegsmatrisen pekar ut de kolonner i den ursprungliga matrisen som är en bas för matrisens kolonnrum Vi ser alltså att kolonn, och 4 i den ursprungliga matrisen är en bas för kolonnrummet: En bas för kolonnrummet är, 5 och (d) Vilken dimension har nollrummet för matrisen A i (c)? 5 Enligt sats så är dimensionen för rad- och kolonnrummet alltid samma Enligt en annan sats så är antalet kolonner lika med dimensionen för radrummet + dimensionen för nollrummet Vi har från (c) att dimensionen för kolonnrummet är (basen har tre vektorer), och antalet kolonner i matrisen är 5: alltså är dimensionen för nollrummet 5- (a) För vilka k är matrisen (4p) k k k k k 4 k inverterbar Det lättaste är nog att undersöka när matrisens determinant är noll Tredje raden i matrisen har bara ett element som inte är noll: det är alltså mycket behändigt att utveckla längs denna rad för att beräkna determinanten 7 (p) 6

7 k k k k k 4 k ( ) + k k k k k k Notera nu att första och andra raden bara skiljer sig i en kolonn Alltså kan vi subtrahera första raden från andra (vilket inte förändrar determinanten) och sedan utveckla längs rad ; vi får k k k k k k ( ) + k k k k k k( ) + (k ) k k k k k 4 k Använder vi Sarrus regel på den siste -matrisen så får vi k k k k k(k )(k + k + k 6 k) k(k )(k ) k 4 k Vi vet att matrisen är inverterbar om och endast om determinanten är skild från noll, dvs när k(k )(k 5), vilket ger k, k och k k k (b) Beräkna inversen för matrisen (p) Vi betecknar matrisen med A och utökar med en enhetsmatris till höger om A Sedan radreducerar vi tills vi har erhållit en enhetsmatris i vänstra delen av matrisen: Så A 7

8 (a) Är vektorn en egenvektor till matrisen A Om du svarar nej, motivera svaret k k för några värden på k? Om du svarar ja, finn egenvärdet och för vilka värden på k som det är ett egenvärde till A A k k + k k Om är en egenvektor måste det finnas ett reellt egenvärde a så att A a a + k a Detta innebär att + k a och a k ( + k) a k a + k a a a Det enda tal som kan uppfylla detta är a Med a får vi villkoret + k a k Alltså är vektorn en egenvektor om och endast om k och då med egenvärde a (b) Låt A Beräkna A 7 med hjälp av diagonalisering av A et ska uttryckas som enbart en matris, dvs eventuella produkter av matriser ska beräknas (6p) Att diagonalisera matrisen A innebär att vi finner en diagonalmatris D och en inverterbar matris P som uppfyller att A P DP (p) Vi vet att om vi bestämmer egenvärden och egenvektorer till matrisen A (och om vi kan hitta lika många linjärt oberoende egenvektorer som antalet rader och kolonner i matrisen A (i det här fallet ) så kan vi bilda D som diagonalmatrisen med egenvärdena som diagonalelement, och P som matrisen som har motsvarande egenvektorer som kolonner Vi behöver alltså undersöka egenvärden och egenvektorer för matrisen A Sekularekvationen som ger egenvärdena blir λ λi A (λ + )(λ ) (λ + )(λ ) λ + Vi ser direkt att sekularekvationen ger att egenvärdena är λ, och λ Nu behöver vi för varje egenvärde finna en egenvektor (Eftersom vi har funnit två olika egenvärden till en x-matris, vet vi från resultat i linjär algebra att vi kan hitta två linjärt oberoende egenvektorer (en till varje egenvärde) så diagonaliseringen kan genomföras) λ Egenvektorn är lösningen till ekvationssystemet (λ I A)x Med λ blir detta ekvationssystemet som representeras av matrisen Radreducera så får vi t Vi får y, x fri variabel Välj tex x t så får vi lösningarna och om vi väljer t får vi att en egenvektor är λ På samma sätt får vi här systemet Vi får x + y x y, y kan alltså ses som en fri variabel Välj tex y t så får vi lösningarna t och om vi väljer t får vi att t 8

9 en egenvektor är (Kom ihåg att vilka egenvektorer som helst duger som kolonner i matrisen P bara den ena är egenvektor till λ och den andra till λ ) Därmed får vi matriserna D och P som uppfyller att AP P D, dvs A P DP Därmed har vi diagonaliserat A Innan vi kan utnyttja detta för att genomföra beräkningen av potensen behöver vi beräkna P Vi utökar P med enhetsmatrisen åt höger, och radreducerar så att vänstra delen blir en enhetsmatris: Så, P Så, vi har att A 7 (P DP ) 7 (P DP )(P DP ) (P DP ) P D(P P )D(P P )DP P D 7 P, efterssom P P I Räknar vi ut vad det sista är får vi att A 7 P D 7 P D 7 9 ( ) 9 (a) Är avbildningen T från rummet M av alla matriser av typ till M som definieras av a b c a + c T d e f d + e e + f g h j en linjär avbildning? Motivera svaret väl g + j Ja! Avbildningen är linjär ty för att avbildningen ska vara linjär krävs att T (A + B) T (A) + T (B) och T (ka) kt (A), där A och B är -matriser och k ett reellt tal Vi har a b c a b c a + a b + b c + c T d e f + d e f T d + d e + e f + f g h j g h j (a + a ) + (c + c ) g + g h + h j + j (d + d ) + (e + e ) (e + e ) + (f + f ) (g + g ) + (j + j ) (a + a ) + (c + c ) (d + d ) + (e + e ) (e + e ) + (f + f ) (g + g ) + (j + j ) a + c + a + c a + c d + e + d + e e + f + e + f d + e e + f g + j + g + j g + j (p) a + c + d + e e + f g + j 9

10 g h j a b c a b c T d e f + T d e f g h j kg kh kj g h j och a b c ka kb kc ka + kc T k d e f T kd ke kf kd + ke ke + kf Alltså är avbildningen linjär g + j kg + kj a + c a b c k d + e e + f kt d e f g h j (b) Är samlingen + x, x och x + x en bas för rummet av alla polynom av grad? Bestäm i så fall koordinaterna i denna bas för polynomet x + x Motivera svaren väl Alla elementen i samlingen ligger i rummet av alla polynom av grad : Vi undersöker om samlingen är en bas Är de linjärt oberoende? a( + x) + b(x) + c(x + x) a + (a + b + c)x + cx (4p) a, a + b + c och c Utnyttja att a c så får vi att a + b + c b b Så om en linjärkombination av polynomen ska vara noll måste alla koefficienterna vara noll, dvs polynomen är linjärt oberoende Ena villkoret för att samlingen ska vara en bas är uppfyllt Återstår att se om de tre polynomen spänner upp hela rummet av alla polynom av grad : Låt q(x) a + a x + a x vara ett godtyckligt polynom i rummet Kan vi hitta koefficienter a, b och c så att a + a x + a x a( + x) + bx + c(x + x)? Samma algebraiska resonemang som ovan ger att a a, c a och a + b + c a Substituera de första två villkoren i det sista så får vi att a a + b + c a + b + a b a a a Alltså kan vi hitta koefficienter så att vi kan uttrycka q(x) i termer av + x, x och x + x Alltså spänner samlingen upp hela rummet och är alltså en bas Det sista resonemanget ger oss också koefficienterna för ett givet polynom Med q(x) a + a x + a x x + x får vi att a, a och a och stoppar vi in detta i formlerna för de nya koefficienterna a, b och c får vi att a a, b a a a 6 och c a Lycka till! Jan-Olav R, Stefan K