Preliminärt lösningsförslag
|
|
- Lucas Pålsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad Ej räknedosa Tentamen bedöms med betyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg (3) krävs minst 6 poäng från del I och II tillsammans, ( ) Var och en av dessa åtta uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av uppgifterna 6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga från kurstillfället ht 4 (duggaresultatlista bifogas) Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från I+II minst poäng från del II och III tillsammans, för betyg 5 minst 3 poäng Lämna fullständiga lösningar till alla uppgifter, om inte annat anges Skriv inte mer än en uppgift på varje blad Del I Uppgift 6 kan en och en ersättas av duggapoäng Ni får inte ersätta delar av en uppgift med duggaresultat och lämna in lösning på andra delar, har ni lämnat in en lösning för en del av en av dessa sex uppgifter är det den som gäller för hela den uppgiften Däremot får ni naturligtvis välja fritt vilka av de sex uppgifterna ni utnyttjar duggaresultaten för, och vilka ni lämnar in lösningar för Om inget annat anges är deluppgifterna värda en poäng var a (D) (3p) (a) För vilka värden på a är vektorerna a och 9 parallella? 3 9 (b) Bestäm ekvationen på normalform för planet som går genom punkterna A = (,, 3), B = (, 3, ) och C = (3,, ) Lösningsförslag: (a) Tredje koordinaten i vektorerna ger direkt att andra vektorn måste vara 3 gånger första vektorn, om de är parallella För att detta ska gälla för första koordinaten måste a = 3, och en kontroll av andra koordinaten ger att det värdet också gör att detta villkor gäller för den koorddinaten med a = 3 Så enda värdet är a = 3 (b) Om n är en vektor ortogonal mot alla vektorer i planet (normalvektor till planet)), så är X en punkt i planet om och bara om n AX = p Vi kan konstruera en normalvektor med hjälp av vektorprodukt som n = AC ( ) AB = = = ( ) = 4
2 Planets ekvation på normalform/allmän form är då (om vi för enklare räkningar väljer normalvektor n = ) n AX = x y = (x ) + (y ) + (z 3) = z 3 x + y + z 6 = Alternativt: Sätt in koordinater för A, B och C i ax+by+cz+d = Det ger tre ekvationer i a, b, c, d Lös för a, b, c, d (D) (3p) (a) Finn alla lösningar till ekvationsystemet p x + y + 3z =, y + z =, (b) Avgör om vektorerna v =, v =, v 3 = och v 4 = 3 är linjärt oberoende eller linjärt beroende Korrekt motivering krävs för poäng Lösningsförslag: (a) Vi genomför Gauss-Jordanreducering (egentligen bara bakåtsubstitution) på systemet skrivet i matrisform (ri, med i siffra, betecknar rad nummer i): 3 r-r Vi ser att kolonn 3 saknar pivotelement, alltså blir z en fri variabel, sätt z = t, t R Ekvation i det sista systemet ger y = z = t, och första ekvationen ger x = z = t Alltså är lösningen x y = + t, t R z (b) Det är tredimensionella vektorer, men de är fyra stycken Sats i kursen säger att en samling av vektorer som är fler än vektorernas dimension alltid är linjärt beroende Så vektorerna är linjärt beroende 3
3 (D) 3 (3p) (a) Beräkna A B, då A = och B = 3 (b) Finn radrummet för matrisen p 3 5 Lösningsförslag: (a) Enligt definitionen av matrismultiplikation har vi att A B = = + + = ( ) 3 + ( ) 6 (b) Vi radreducerar matrisen till en radekvivalent trappstegsmatris De kvarvarande ickenollraderna i denna spänner upp radrummet r3+r 4 r3-3r, r-r [ ] Alltså är radrummet span{ 4, } (Observera att detta svar inte är unikt Till exempel är spannet av de två första raderna i den ursrpungliga matrisen ett lika korrekt svar) (D) 4 (3p) Den linjära transformationen () x x + y T : R R, där T =, y x 3y () x x kan uttryckas med en matrismultiplikation: T = A y y (a) Bestäm matrisen A samt matrisen för den inversa transformationen T (b) Beräkna determinanten av B då p 4
4 B = 3 4 Lösningsförslag: (a) Vi har att x + y x = x 3y 3 y enligt definitionen av matrismultiplikation Alltså är vår sökta matris A = 3 En sats i kursen säger att den inversa transformen T på samma sätt motsvaras av matrisen A, inversen av A Vi behöver alltså beräkna denna invers Ett resultat i kursen säger att om vi utvidgar matrisen A åt höger med en enhetsmatris av samma typ, och genomför elementära radoperationer som slutar med att vi har en enhetsmatris där vi hade A kommer vi till höger om denna enhetsmatris att ha A : [ A ] I = r+r 3 (r+r, och sedan multiplicera hela matrisen med ) Alltså är [T ] = (b) Utveckling längs tredje raden ger att det B = = ( ) 3+ = En ny utveckling, nu längs kolonn ger det B = ( ) + 4 = 4 4 Om vi slutligen använder den konkreta definitionen av determinanten för en -matris får vi det B = 4 ( ) = 36 5
5 (D3) 5 (3p) (a) A = 4 4 Bestäm egenvärdena för A 3 3 (b) Matrisen har ett egenvärde 3 Bestäm en egenvektor som hör till detta 4 egenvärde för matrisen A 5 (c) Matrisen har en egenvektor Bestäm det egenvärde som hör till dnna 3 egenvektor för matrisen A Lösningsförslag: (a) Enligt sats i kursen är egenvärdena för en triangulär matris värdena på diagonalen för matrisen Alltså är egenvärdena för A,4 och 3 (Egenvärdena kan också ganska enkelt beräknas från den karaktäristiska ekvationen om man i determinantberäkningen systematiskt utnyttjar rader med flest nollor) (b) Egenvektorerna till B = som hör till egenvärdet 3 är alla (nollskilda) vektorer 4 v som löser ekvationen B v = 3 v eller ekvivalent (B 3I) v = Vi Gausseliminerar för att hitta lösningarna, dvs nollrummet till matrisen B 3I 3 B 3I = =, 4 3 så x x = t x (A 3I) x + y = = t y y = t y Egenvektorerna till A som svarar mot egenvärdet 3 är alltså vektorerna t, där t är en allmän (nollskild) parameter Eller med andra ord, egenrummet som svarar mot egenvärdet 3 spänns av vektorn (c) Det enda vi behöver göra är att multiplicera matrisen med egenvektorn från höger och jämföra resultatet med den ursprungliga egenvektorn = = = ( 4) Alltså ger definitionen av egenvärde och egenvektor att denna egenvektor har egenvärdet 4 (D3) 6 (3p) (a) Finn en vektor u som tillsammans med R 3 och bildar en ortogonal bas för 6
6 (b) B = ( x + x 3, x 3 + x 5, + x 5, x 5) är en bas för ett underrum till P 5 (P 5 är rummet som består av alla polynom upp till och med grad fem) Bestäm koordinatvektorn [p(x)] B för polynomet p(x) = x 3 x 5 p Lösningsförslag: (a) Eftersom vi bara vill ha en ortogonal bas räcker det att hitta en tredje vektor som är vinkelrät mot de två första Eftersom vektorerna är 3-dimensionella är det enklaste sättet nog att beräkna vektorprodukten av de givna vektorerna (ett alternativ är att ansätta vektor som obekant, skalärmultiplicera denna obekanta med de två givna vektorerna och lösa det ekvationssystem som uppstår) Kallar vi den tredje vektorn u har vi alltså 3 u = = ( ) = ( ) 3 (b) Koordinatvektorns komponenter är koefficienterna i linjärkombinationen av baselementen Eftersom B = {x + x 3, x 3 + x 3, + x 5, x 5 } och om a b [p(x)] B =, c d så är p(x) = a(x + x 3 ) + b(x 3 + x 5 ) + c( + x 5 ) + d( x 5 ) p(x) = x 3 x 5 = c + d + ax + (a + b)x 3 + (b + c d)x 5 Om vi jämför koefficienter i VL och HL, får vi ekvationssystemet c + d =, a =, a + b = b + c d =, eller på matrisform a b = c d Vi kan lösa systemet med Gausseliminering 7
7 Vi har alltså att [p(x)] B =
8 Del II 7 (3p) Följande linjära ekvationssystem är givet, där c är ett reellt tal (en parameter): x + y + cz + w = c, x + ( c)z =, y + z + w = 3, Avgör, för alla värden på c, om systemet är lösbart eller inte För de värden på c som ger ett lösbart system, bestäm alla lösningar till systemet Lösningsförslag: Ekvationssystemet beskrivs av den utökade koefficientmatrisen c c A = c 3 Vi kan bestämma lösningsrummet för olika värden på c genom att Gausseliminera A och utnyttja vad vi vet om trappstegsmatrisers lösningsrum c c c c c c c c c c c c 3 c (för att förbereda för bestämmandet av lösningsrummen i de fall lösning finns genomför vi redan nu bakåtsubstitutionen) Sista raden ger en omöjlig ekvation om högerledet (sista kolonnens element) inte är noll, dvs när c 3 Så systemet har bara lösning när c = 3; då representeras ekvationssystemet av matrisen 3 Vi ser direkt att pivotelementen är i kolonn och, så x och y är bundna variabler medan z och w är fria variabler; vi sätter z = s, w = t, s, t R Första ekvationen ger då x + z = x = z = s, medan andra ekvationen ger y + z + w = 3 y = 3 z w = 3 s t Skriver vi nu detta på vektorform, där vi samlar s- respektive t-termerna i separata vektorer får vi lösningsmängden 9
9 x y z w = 3 + s + t (3p) Bestäm alla värden på talet c så att determinanten det A c för matrisen A c = c c är noll, och bestäm en bas för nollrummet till matrisen A c för var och ett av dessa värden på c Lösningsförslag: Om vi subtraherar sista raden från första och tredje raden i matrisen ändrar vi enligt resultat i kursen inte determinantens värde, samtidigt som får får rader med tre nollor, som är trevliga att utveckla längs med: det A c = c c = c c = = ( ) +3 c c = ( ) + (c ) c = (c ) (c ) Genom att vi har genomfört räkningarna så att faktoriseringen av de två termerna bibehålls ser vi direkt att determinanten är noll c = eller c = I vanlig ordning radreducerar vi matriserna för att erhålla baser för nollrummet: c = 3
10 3 Nollrummet för matrisen är nu lösningsrummet för den färdigreducerade matris som vi just räknat fram: Vi ser att pivotelementen är i kolonn, och 3 Så den fjärde variablen är den enda fria, x y om vi kallar variablerna blir alltså w = t, t R De två första ekvationerna ger sedan z w x w = x = w = t och y + 3w = y = 3w = 3t, medan tredje ekvationen ger z = Bekriver vi lösningsrummet på vektorform ger detta x y 3 = t, z w så en bas för matrisens nollrum är 3 { } c = Nollrummet för matrisen är återigen lösningsrummet för den färdigreducerade matris som vi just räknat fram: På samma sätt som tidigare ser vi att pivotelementen är i kolonn, och 3 Så den fjärde variablen är den enda fria, så w = t, t R Första ekvationen ger z = och tredje ekvationen ger y = medan ekvation två ger x + w = x = w = t Bekriver vi lösningsrummet på vektorform ger detta
11 x y z w = t, så en bas för matrisens nollrum är { }
12 Del III För full poäng krävs förutom en korrekt och välmotiverad lösning en redig och lättläst presentation 9 (p) (a) A är en n n-matris, som har ett enda egenvärde λ och n stycken linjärt oberoende egenvektorer Visa att A = λi där I är identitetsmatrisen av ordning n 4p (b) En 7 7-matris har sekulärpolynomet p(λ) = λ(λ 3)(λ 5) 3 (λ + 6) Avgör om matrisen är inverterbar eller inte, eller motivera varför detta inte går att avgöra Oavsett vad svaret är måste det motiveras väl 3p (c) Ett homogent ekvationssystem har 5 obekanta och 7 ekvationer Ekvationssystemets koefficientmatris har rang Bestäm dimensionen på systemets lösningsrum, dvs rummet av alla lösningar till systemet 3p Lösningsförslag: (a) Eftersom vi har n stycken linjärt oberoende egenvektorer kommer matrisen P som har dessa vektorer som kolonner att vara en inverterbar n n-matris Förutsättningarna i diagonaliseringssatsen är därmed uppfyllda och vi har att A = P DP där D är diagonalmatrisen med egenvärdena som diagonalelement Men eftersom vi hara har ett enda egenvärde λ blir alla diagonalelement λ, dvs D = λi där I är identitetsmatrisen av ordning n Men då måste A = P DP = P (λi)p = λp IP = λp P = λi vilket skulle visas (b) Sekularpolynomet ges på faktoriserad form, så vi kan direkt läsa av vilka egenvärdena är Vi ser att ett av egenvärdena är noll från faktumet att en av faktorerna är λ Fundamentalsatsen för inverterbara matriser (masterdontsatsen som byggs på genom hela kursen) säger bland annat att en inverterbar matris inte kan ha egenvärde noll Alltså är matrisen inte inverterbar (c) Rang-satsen säger att antalet kolonner i en matris är rangen av matrisen plus nolldimensionen för matrisen Men för ett homogent ekvationssystem så är nolldimensionen till koefficientmatrisen lika med dimensionen för lösningsrummet, då lösningsrummet är just nollrummet Uppgiften ger informationen att antalet kolonner i matrisen är 5, eftersom det är lika med antalet obekanta i ekvationssystemet Vi får också veta att matrisens rang är Och därmed kan vi stoppa in detta i formeln från rang-satsen och ser att lösningsrummets dimension är lika med antalet obekanta minus matrisens rang, dvs 5 = 5 3
13 (p) Matrisen A = är given Bestäm baser för radrum, kolonnrum och nollrum för matrisen Glöm inte att tydligt tala om vilket matrisrum varje bas hör till Lösningsförslag: Radoperationer bevarar nollrum och radrum, samt förhållandet mellan kolonnerna (a) Vi utnyttjar Gausseliminering av A A = Pivotelementen i trappstegsformen är positionerna (, ), (, ), (3, 3), (4, 4) så de 4 första kolonnerna i den ursprungliga matrisen är en bas för kolonnrummet Radrummet är samma för alla radekvivalenta matriser, och i en trappstegsmatris bildar de nollskilda raderna en bas för radrummet Slutligen ger den radekvivalenta trappstegsmatrisen att lösningen till det homogena ekvationssystemet med A som koefficientmatris (om de okända variablerna är x, y, z, u, v, w) är x + 3 v + 5 w = y + v 9 w = z + 3 v + 3 w = u + 4 v 3 4 w = x = 3 v 5 w y = v + 9 w z = 3 v 3 w u = 4 v w x y z = s u v w t om vi låter de bundna variablerna bli v = s R, w = t R Detta ger oss följande baser: Radrummet {[ 3 ] [ ] [ 5, 9, 3 4 ] [ ]} 3, 4 3 4
14 Kolonnrummet Nollrummet 3,,, , (p) Beräkna A 5 då A = 3 4 Det är ok att svara med potenser av tal i svaret, men svaret får inte innehålla några ej uträknade matrismultiplikationer Lösningsförslag: egenvärdena och egenvektorerna Vi undersöker om vi kan diagonalisera matrisen och behöver alltså Resultat i kursen ger direkt att egenvärdena för matrisen A är diagonalelementen i matrisen eftersom den är en triangulär matris Egemvärdena är alltså λ =, λ = 3 samt λ 3 = 4 Enligt resultat i kursen ger 3 olika egenvärden garanterat 3 linjärt oberoende egenvektorer, och därmed vet vi att diagonalisering kommer att fungera Vi finner egenvektorerna genom lösning av ekvationssystemen med koefficientmatriser A λ i I för i =,, 3 λ = A λ I = 3, 4 vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = 5
15 λ = 3 3 A λ I = 3 3, 4 3 vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v = λ 3 = 4 4 A λ 3 I = 3 4, 4 4 vilket ger lösningsmängden {t, t R} och (om vi väljer till exempel t = ) egenvektor v 3 = I enlighet med diagonaliseringssatsen bildar vi nu matriserna P = [v, v, v 3 ] och D = λ λ = 3 och diagonaliserar enligt formeln A = P DP λ 3 4 Först beräknas P : så P = [P I] = Därmed har vi bestämt P och D I enlighet med resonemang i kursen har vi nu att 6
16 k A k = P D k P = 3 k = 4 k k k k 3 k k 4 k 3 k = 3 k 3 k = 3 k 4 k 3 k 4 k 4 k (p) B = ( x, x, x + x ) är en bas för rummet P som består av alla polynom upp till och med grad Låt T : P P vara operatorn T (p)(x) = p(x ) (a) Visa att T är en linjär operator (=linjär transformation) (b) Bestäm [T ] B, (= [T ] B B ) 3p 7p Lösningsförslag: (a) låt p = a + bx + cx och q = d + ex + fx, a, b, c, d, e, f R, vara två godtyckliga polynom i P En direkt beräkning ger enkelt att medan T (p + q) = (p + q)(x ) = a + d + (b + e)(x ) + (c + f)(x ) = = a + d (b + e) + c + f + (b + e (c + f))x + (c + f)x T (p) + T (q) = p(x ) + q(x ) = a + b(x ) + c(x ) + d + e(x ) + f(x ) = = a + bx b + cx cx + c + d + ex e + fx fx + f = = a + d (b + e) + c + f + (b + e (c + f))x + (c + f)x Därmed är vänsterledet och högerledet i första villkoret i definitionen av linjär avbildning lika, så den likheten är visad Återstår att visa att T (kp) = kt (p) för alla k R: medan T (kp) = ka + kb(x ) + kc(x ), k(t (p)) = k(a + b(x ) + c(x ) ) = ka + kb(x ) + kc(x ) 7
17 Därmed har vi visat att vänsterledet är lika med högerledet även i det andra villkoret i definitionen, och alltså är avbildningen linjär (b) Vi kallar vektorerna (polynomen) i basen B i tur och ordning v = x, v = x och v 3 = x + x Enligt resultat i kursen är [T ] C B = [[T (v )] C, [T (v )] C, [T (v 3 )] C ] där kolonnerna är koordinaterna i en bas C I vårt fall vill vi använda C = B Vi bestämmer bilderna genom T av de tre basvektorerna T (v ) = T ( x) = (x ) = x, T (v ) = T (x ) = (x ) = x + x, T (v 3 ) = T (x + x ) = (x ) + (x ) = x + x Att finna koordinaterna för dessa vektorer i basen B motsvarar att lösa var och en av ekvationerna x = a( x) + bx + c(x + x ) = a + (c a)x + (b + c)x, respektive x + x = a( x) + bx + c(x + x ) = a + (c a)x + (b + c)x, x x = a( x) + bx + c(x + x ) = a + (c a)x + (b + c)x Notera att ekvationerna bara skiljer sig åt i högerledet (den del som inte beror på de obekanta, som jag råkar skriva längst till vänster i just dessa ekvationer), så översätter vi ekvationerna till koordinater får vi linjära ekvationer (en ekvation för termen, en för termen x och en för termen x ) med samma koefficientmatris, så vi kan lösa dem simultant, genom att jobba med tre högerled i Gauss-Jordan-eliminationen Gör vi detta får vi ekvationssystemet givet i matrisform: GJ-elimination ger nu
18 Första kolonnen i högerledet är [T (v )] B, andra [T (v )] B och tredje [T (v 3 )] B Men, från det resultat vi började med får vi då direkt att högerledet i den färdigreducerade totalmatrisen är exakt den matrisrepresentation för T som vi söker: alltså [T ] B = Lycka till! /JOR 9
Preliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merPreliminärt lösningsförslag
Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merdenna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.
Kursen edöms med etyg 3, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta etyg För godkänt etyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt 3 poäng För var och en av
Läs merx + y + z + 2w = 0 (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet y + z+ 2w = 0 (2p)
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.
ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)
Läs merTentamen TMV140 Linjär algebra Z
Tentamen TMV40 Linjär algebra Z 307 kl. 08.30 2.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, 0703 088 304 Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa För godkänt
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs mer3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t
SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u
Läs mer3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.
TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 130313 kl 0830 1230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV142 Linjär algebra Z Tentan
Läs merA = x
Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på linjära avbildningar och egenvärden och ehenvektorer inför lappskrivning nummer 5 på kursen linjär algebra SF604, ht 07.. (a) A(2,, 0) A(2(,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära
Läs merx 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merA = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)
SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna
Läs merLinjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a
TM-Matematik Mikael Forsberg 074 41 1 Linjär algebra/matematik för ingenjörer ma014a, ma01a 011 0 8 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 3 6 kl. 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Tony Stillfjord,
Läs merTMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen
MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn
Läs merLösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar inför lappskrivning nummer 3 på kursen Linjär algebra för D, vt 15. 1. Undersök om vektorn (1,, 1, ) tillhör span{(1,, 3, 4), (1, 0, 1, 1),
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på
Läs mer3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2
TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 3 7 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs mer2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.
TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 010 kl 14.00-19.00. Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Betygsgränser:
Läs mer(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.
TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta
Läs merProv i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera
Läs merUPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara
Läs merLösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel
Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel v0.4, augusti 04 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 04-03-08 kl
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet
Läs merFör ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3
ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016
SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen
Läs merTMV142/186 Linjär algebra Z/TD
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 2018-08-27 kl 1400 1800 Tentamen Telefonvakt: Anders Hildeman ank 5325 TMV142/186 Linjär algebra Z/TD Skriv
Läs merÖvningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till
Läs mer1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller
Läs merM = c c M = 1 3 1
N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF604, den 5 mars 202 kl 08.00-3.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merkvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =
MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 9-- kl 8 Tentamen Telefonvakt: Aron Lagerberg tel 76-786 Linjär Algebra Z (tmv4) Skriv tentamenskod tydligt på samtliga
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merDEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna
Läs mer2x + y + 3z = 1 x 2y z = 2 x + y + 2z = 1
ATM-Matematik Sören Hector 7 46686 Mikael Forsberg 734 433 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 3 5 Skrivtid: :-5:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa.
Läs merLinjär algebra på 2 45 minuter
Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom
Läs merDN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013
TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E
Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra
Läs merDel 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z
MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om
Läs merLösningar till MVE021 Linjär algebra för I
Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter
Läs mer8(x 1) 7(y 1) + 2(z + 1) = 0
Matematiska Institutionen KTH Lösningsförsök till tentamensskrivningen på kursen Linjär algebra, SF60, den juni 0 kl 08.00-.00. Examinator: Olof Heden. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen.
Läs merTMV166 Linjär algebra för M, vt 2016
TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merMVE022 Urval av bevis (på svenska)
MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller
Läs mer1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet
1 Matematiska Institutionen, KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDA- TE, CTFYS och vissa CL, fredagen den 13 mars 015 kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden. OBS:
Läs merAlgebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U
Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)
Läs merax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll
Läs merÖvningstenta 001. Alla Linjär Algebra. TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg. 1. x 2y z + v = 0 z + u + v = 3 x + 2y + 2u + 2v = 4 z + 2u + 5v = 0
TM-Matematik Sören Hector Mikael Forsberg Alla Linjär Algebra Övningstenta. x z + v z + u + v 3 x + + u + v 4 z + u + 5v. (a) Bestäm storleken (absolutbeloppet) och argumentet till z i. (b) Uttrck på formen
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merFör studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift
Läs merEgenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle
Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV Innehåll Nollrum och
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 41 Linjär Algebra, Föreläsning
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merProv i matematik F2, X2, ES3, KandFys2, Lärare, Frist, W2, KandMat1, Q2 LINJÄR ALGEBRA II
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Bo Styf Prov i matematik F, X, ES, KandFys, Lärare, Frist, W, KandMat1, Q LINJÄR ALGEBRA II 010 08 4 Skrivtid: 1400 1900 Tillåtna hjälpmedel:
Läs merÖvningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.
Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v
Läs merLÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A
Läs mer1 basen B = {f 1, f 2 } där f 1 och f 2 skall uttryckas i koordinater i standardbasen.
Akademin för teknik och miljö Rolf Källström telefonkontakt med examinator via tentamensvakten Matematiktentamen Ingenjörer, lärare, m fl Linjär algebra maa. 5 6 Skrivtid: 9... Inga hjälpmedel. Lösningarna
Läs merDefinition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller
April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +
Läs merLÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:
Läs merDagens program. Linjära ekvationssystem och matriser
Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016
SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 202-2-3 DEL A Betrakta punkterna A = (2, 2) och B = (6, 4) och linjen (, 3) + t(2, ) i planet (a) Det finns exakt en punkt P på linjen så att triangeln
Läs mer