Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Transkript

1 Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers, matrisekvationer Många, fast enkla, begrepp. Läs glosorna, dvs definitionerna!

2 3.. Matriser Definition Låt r och k vara heltal 1. En r k-matris består av r k stycken element ordnade i ett rektangulärt schema enligt nedan: r k kallas format eller typ: a 11 a 1k a r1 a rk a 11 a a 1 a kvadratiska matriser b 11 b 1 b 31 kolonnmatris a ij : där i anger i vilken rad och j i vilken kolonn element står Matriser betecknas med stora bokstäver: A, B, Diagonalmatriser, t.ex. a a a 33

3 Räkneoperationer Definition 3... (Likhet) Matriser A = a ij r k och B = b ij r k är lika, d v s A = B om a ij = b ij för alla i, j: 1 j r, 1 j k (Addition) Låt A = a ij r k och B = b ij r k vara matriser av samma format. Summan av A och B definieras som A + B = a ij + b ij r k = a 11 + b 11 a 1k + b 1k a r1 + b r1 a rk + b rk (Multiplikation med reellt tal) Låt A = a ij r k och λ R. Produkten av A och λ definieras som λa = λa ij r k = λa 11 λa 1k λa r1 λa rk

4 Matrismultiplikation k m r m = Låt A = a ij r m och B = b ij m k. Då definieras produkten A och B som r k matris C där c ij = a i1 b 1j + a i b j + + a im b mj Exempel 1. A B = = = OBS! I detta fall är produkt B A ej definierad! Matrisprodukt skiljer sig från produkt mellan reella tal: A B B A

5 Räkneoperationer För kvadratiska matriser definieras heltalpotens på samma sätt som för reella tal, d v s om A är en n n matris så definieras A = AA, A 3 = AAA = A A etc Enhetsmatriser (enbart ettor står på huvuddiagonalen): I = , I 3 = etc Produkt av en matris A och en kolonnmatris B kan skrivas som en linjärkombination av A:s kolonner och koefficienterna i linjärkombinationen är precis elementen i B. Låt t ex AB = = =

6 Räkneoperationer Låt A, B, C vara matriser av samma format. För addition av matriser gäller: 1) A + B = B + A ) A + B + C = A + B + C 3) Det finns en matris av varje typ r k som kallas nollmatrisen och tecknas 0 sådan att för alla r k-matriser A gäller A + 0 = A 4) Till varje r k-matris A finns en r k-matris A sådan att A + A = 0. Låt A, B, C vara matriser för vilka respektive operationer är definierade. För multiplikation gäller: 1) AB C = A BC ) λa B = A λb = λ(ab), λ R 3) A B + C = AB + AC och B + C A = BA + CA 4) IA = AI = A, där A är en kvadratisk matris och I är enhetsmatrisen av samma typ

7 Transponat och transponering Låt A = a ij r k vara en r k-matris. k r matrisen A t t = a ij transponatet av A och definieras ur A genom att a t ij = a ji för alla i, j: 1 i r, 1 j k k r kallas Exempel. A = 1 3 π e ln, A t = 1 3 π e ln Exempel 3. Låt e vara en ON bas i rummet och u = ex, v = ey. Då är u v = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 = X t Y Räknelagar för transponering A + B t = A t + B t λ A t = λa t A t t = A AB t = B t A t En (kvadratisk) matris A kallas symmetrisk om A t = A

8 Multiplicera ekvation med nollskild konstant Byta plats på två ekvationer Addera konst*(ekvation) till annan ekvation Elementära radoperationer Multiplicera rad med nollskild konstant Byta plats på två rader Addera konst*(rad) till annan rad x + y + z = 3x + y z = 3 x + 3y + 5z = x + y + z = y 4z = y + 3z = x + y + z = y 4z = z = x = y z = 8 y = 3 4z = 9 z = x y z = 8 9 3

9 Lösningsstruktur Sats Ett linjärt ekvationssystem har antigen exakt en lösning ingen lösning eller oändligt många lösningar Exempel Lös ekvationssystem 3x y + 4z = 1 x + 4y + 6z = 4 x + 3y 5z = 1 Exempel Ange en ekvation som a, b, c, d måste uppfylla för att systemet skall vara lösbart: x + y + z = a 3x + y z = b x + 3y + 5z = c x + y + z = d

10 Trappstegsform radekvivalenta Om matrisen B erhålls efter ändligt många radoperationer på matrisen A så säges A och B vara radekvivalenta. nya rad = gamla rad + c annan rad Att A och B är radekvivalenta skrivs trappstegsform A B Sats Om två ekvationssystem har radekvivalenta totalmatriser så är systemens lösningsmängder identiska.

11 Trappstegsform Definition Element a ij i matrisen A kallas pivotelement om a ij 0 och a μν = 0 for μ i, ν j och μ, ν (i, j) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.

12 Trappstegsform Definition Element a ij i matrisen A kallas pivotelement om a ij 0 och a μν = 0 for μ i, ν j och μ, ν (i, j) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.

13 Trappstegsform Sats Varje r k-matris är radekvivalent med minst en trappstegsmatris. Om T 1 och T är trappstegsmatriser och T 1 T så har T 1 och T lika många nollskilda rader. T ex

14 Rang Definition Låt A vara en matris och T en trappstegsmatris sådan att AT. Om T har n st nollskilda rader så säges A har rang n och vi skriver rang A = n. Exempel. A = rang A = 3 B = 0 1 rang B = 1 I 3 = rang I 3 = 3 C = Bestäm rang A för A = rang I 3 =?

15 Rang och lösningstuktur Entydig lösning: rang(koeff) = rang(total) = antal variabler Ingen lösning: rang(koeff) < rang(total) Oändligt många: rang koeff = rang total < antal variabler

16 3.6 Matrisinvers Låt a, y R och a 0. Då ax = y a 1 ax = a 1 y x = a 1 y Motivation: Studerar motsvarande matrisekvationen AX = Y där A är en kvadratisk matris. Definition En kvadratisk matris A kallas inverterbar om det finns en matris B så att AB = BA = I B kallas A:s invers och betecknas A 1 OBS! A, A 1 och B har samma format. Räknelagar. A 1 1 = A A t 1 = A 1 t AB 1 = B 1 A 1 (OBS! ordning) A n 1 = A 1 n för alla heltal n 1

17 3.6 Matrisinvers Sats Låt A vara en n n-matris. Följande påståenden är ekvivalenta: a. A är inverterbar. b. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AX = Y har entydig lösning för alla matriser Y. c. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AX = 0 har endast den triviala lösningen, X = 0. d. rang A = n e. A är radekvivalent med enhetsmatrisen.

18 Exempel: att räkna invers Metod: A I I A 1 Beräkna inversen till Lösning A = A 1 = 5