Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Transkript

1 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a n1 x 1 +a n x +...+a nn x n = b n Detta system har vi tidigare påpekat att det kan skrivas om på matrisform a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a 31 a 3... a 3n x 1 x... x n = Den första matrisen i uttrycket, vi kallar den här A, är systemets koefficientmatris och vektorn efter likhetstecknet är dess högerled. Normalt är alla koefficienter kända. Då det(a 0 har A en invers A och därmed ekvationssystemet en lösning. Den man får genom att multiplicera, från vänster, båda leden i A x = b med A. b 1 b... b n A x = b A A x = A b E x = A b x = A b Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 3x y +z = 7 x +y z = 3 multiplicera med -3 x 3y +z = 1 multiplicera med -3 3x y +z = 7 addera rad 1 till och 3 3x 3y +z = 9 3x +9y z = 3 3x y +z = 7 4y +8z = 1 multiplicera rad med +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +1z = 3 addera rad till 3 +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +1z = 3 +1z = 3 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Gausselimination är ett exempel på en sådan metod. Vi önskar lösa ekvationssystemet 3x+y+z w = x y+z+w = 4 x y+3z+w = x+y z w = Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Håkan Strömberg KTH Syd

3 Vi skriver först om systemet i en totalmatris Vänster om det vertikala strecket finns koefficientmatrisen och på andra sidan högerledet. Genom att tillämpa de regler som finns i sats 1 ska vi nu successivt överföra denna matris till en form, från vilken vi enkelt kan avläsa lösningen. Byt plats på rad 1 och rad 4. Addera gånger rad 1 till rad Addera gånger rad 1 till rad 3. Addera 3 gånger rad 1 till rad Addera gånger rad till rad Multiplicera rad 4 med och byt plats på rad och rad Addera 3 gånger rad till rad 4. Addera gånger rad 3 till rad Multiplicera rad 4 med 1/7 och byt plats på rad 3 och rad 4. Addera 3 gånger rad 3 till rad Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Multiplicera rad 4 med 1/3. Addera 7 gånger rad 3 till rad Addera 5 gånger rad 4 till rad. Addera gånger rad till rad Addera gånger rad 3 till rad 1. Addera gånger rad 4 till rad Ur den sista matrisen kan vi så utläsa lösningen x = 1, y = 0, z = och w =. Kvadratiska system där det(a = 0 Vi riktar nu intresset mot kvadratiska ekvationssystem där determinanten för koefficientmatrisen har värdet 0 och inleder diskussionerna med några enkla exempel Exempel 1. { x+3y = 9 x y = 1 Detta ekvationssystem har lösningen x = 3 och y = 1. Matriserna i uttrycket A x = b har följande utseende. ( ( ( 3 x A = x = 9 b = 1 y 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = ( 3 1 = 7, och systemet tillhör alltså inte den kategori vi tänkt studera här. Exempel. { x+y = 3x+y = 5 Detta system har determinanten 1 3 = 0 och tillhör, liksom nästa exempel, system där koefficinetmatrisens determinant är 0. Exempel 3. { 3x y = 4 9x 3y = 1 Determinanten är här 3 ( 3 ( 9 = 0. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Eftersom varje ekvation i ekvationssystemen ovan motsvarar ekvationen för en rät linje kan vi grafiskt visa de tre systemen i figur 1. Figur 1: De tre systemen från ovan Vi ser att de två linjerna från exempel 1 skär varandra i punkten (3,1, vilket överensstämmer med lösningen ovan. I exempel verkar linjerna vara parallella vilket skulle betyda att lösning saknas linjerna har ingen skärningspunkt. Om vi använder tekniken från förra avsnittet för att lösa detta ekvationssystem och adderar 3 gånger rad 1 till rad får vi ( ( Från sista raden får vi att 0x+0y =, som är en omöjlighet och därför saknar ekvationssystemet lösningar. Ett liknande resonemang vad gäller exempel 3 ger då vi adderar 3 gånger rad 1 till rad ( ( Bara med den skillnaden att nu motsvarar sista raden 0x+0y = 0 och det är sant för alla värden på x och y. Eftersom de två linjerna blivit en, förstår vi att de två ekvationerna är identiska. Vi har egentligen endast en ekvation med två obekanta. I det läget bestämmer vi oss för att y = t och x = (4 + t/3. För varje värde på t får man en punkt på linjen, som samtidigt är en ny lösning. Det finns alltså oändligt många lösningar till det tredje ekvationssystemet. Ovan har vi med enkla exempel visat tre olika fall och redovisar nu denna sats. Sats. Linjära ekvationssystem har antingen en, ingen eller oändligt många lösningar. Homogena och inhomogena ekvationssystem Då högerledet i ekvationssystemet består av enbart nollor, kallas systemet homogent. Så fort åtminstone ett element är 0 kallas systemet däremot inhomogent 3x+4y+5z = 0 x y+3z = 0 4x+3y 4z = 0 3x+4y+5z = 1 x y+3z = 3 4x+3y 4z = Samma koefficientmatris i två olika ekvationssystem. Det vänstra är homogent och det högra är inhomogent Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Underbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är fler än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet underbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är alltså m < n. Betraktar vi de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element, så vet man att de n kolonnvektorena är linjärt beroende. Detta medför att det homogena systemet alltid har oändligt många lösningar där den triviala lösningen, den då x 1 = x = x 3 =... = x n = 0, är en. För det inhomogena systemet kan antalet lösningar vara ingen eller oändligt många. Överbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är mindre än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet överbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b a 31 x 1 +a 3 x +...+a 3n x n = b 3 a 41 x 1 +a 4 x +...+a 4n x n = b 4... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är m > n. Betraktar vi även här de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element. Så kan dessa kolonner vara antingen linjärt beroende eller linjärt oberoende. Tar vi med både homogena och inhomogena system, så får vi fyra olika kategorier av överbestämda system. För homogena system med linjärt oberoende kolonnvektorer finns bara den triviala lösningen. För det inhomogena systemet med linjärt oberoende kolonnvektorer finns det antingen ingen eller endast en lösning. Då kolonnvektorerna är linjärt beroende har det homogena systemet oändligt många lösningar och det inhomogena ingen eller oändligt många lösningar. Sammanfattning Vi avslutar genomgången av olika typer av linjära ekvationssystem med en översiktstabell där m står för antalet ekvationer och n för antalet obekanta. n < m Kolonnerna oberoende n < m Kolonnerna beroende n = m Kolonnerna oberoende n = m Kolonnerna beroende n > m Kolonnerna beroende linjärt linjärt linjärt linjärt linjärt Homogent system Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Oändligt många lösningar Inhomogent system Ingen eller en enda lösning Ingen eller oändligt många lösningar Entydig lösning Ingen eller oändligt många lösningar Ingen eller oändligt många lösningar Håkan Strömberg KTH Syd

7 Läxa 1. Vi vet att A till A( är 1 a 11 a a1a1 ( a a 1 a 1 a 11 Eftersom A x = b har lösningen x = A b kan vi direkt skriva ( ( ( x = y ( ( x y = 1 19 ( 9 38 = ( 1 Så beräknas en invers Vi har i tidigare föreläsning sett vikten av att känna till A, Bland annat vid lösandet av ekvationssystem. Att hitta inversen till A( är som vi vet ganska enkelt. Här ska vi först koncentrera oss på matriser av typen (3 3 och deras inverser. Ett krav, för att det ska finnas en invers till A, är att det(a 0. Vi är redan bekanta med hur determinanten till (3 3-matriser bestäms. Om vi har matrisen A = så kan vi först ange följande formel för A = 1 det(a a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 13 a 3 a 1 a 33 a 1 a 3 a 13 a a 3 a 31 a 1 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 1 a 11 a 3 a 1 a 3 a a 31 a 1 a 31 a 11 a 3 a 11 a a 1 a 1 Denna formel är svår att lära sig utantill. Så här kommer man fram till den. Vi startar med A(3 3 a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 och bildar en tillfällig matris B a a 33 a 3 a 3 (a 1 a 33 a 3 a 31 a 1 a 3 a a 31 B = (a 1 a 33 a 13 a 3 a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 3 a 1 a 31 a 1 a 3 a 13 a (a 11 a 3 a 13 a 1 a 11 a a 1 a 1 Ett element i B bildas genom att stryka den rad och den kolumn som elementet befinner sig i och bestämma determinanten till den ( matris som återstår. Dessutom får elementen tecken enligt Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 När vi sedan bestämmer B T får vi adj A och A = 1 det A adj A Bättre är då kanske, att försöka finna en metod att räkna sig fram till inversen. Vi använder här Jacobis metod som fungerar för alla matriser A sådana att det(a 0. Exempel Målet är nu att få en E-matris till vänster om det lodräta strecket. Matrisen till höger om strecket är då A. Samma tre regler som vid Gausselimination gäller även här. Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera rad1 till rad Addera rad1 till rad3 Addera rad till rad Multiplicera rad och rad3 med Addera rad till rad1 Addera rad3 till rad1 Addera rad3 till rad Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Äntligen har vi kommit fram till att A = Det är fritt fram att kontrollera att A A = E. Exempel 5. När vi ska lösa ekvationssystemet 3x y z = 3z+y = y x = kan man ställa upp ekvationen A x = b, söka A och till sist få lösningen genom x = A b. Det är dock enklare att lösa ekvationssystemet med Gausselimination. Vi har gjort det förut och vi gör det igen! Multiplicera rad3 med 3 Addera rad1 till rad3 Multiplicera rad med 4 Addera rad till rad Vi få nu direkt z = och sätter in detta värde i rad och får 4y( = 8 som ger y = 1. Till slut sätter vi in z = och y = 1 i rad1 och får 3x 1( =, som ger x = 0. Svar: x = 0,y = 1 och z = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Exempel. För att ett ekvationssystem ska ha en entydig lösning måste determinanten av koefficientmatrisen vara 0. Med hjälp av denna kunskap kan vi avgöra för vilket a detta ekvationssystem har en entydig lösning x+3ay+z = 7 x+z = 3 y+z = 4 Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 3a a = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. Exempel 7. För vilka värden på a har ekvationssystemet entydiga lösningar? ax+y+3z = 4 x+y+5z = 7 3x+y+az = Koefficientmatrisen är A = a a A = a a = a a+a = a 4a Ekvationen a 4a = 0 har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = eller a = 3. Exempel 8. Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna { x+ay+ a = 0 ( ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a ( ax 3y = A = ( 1 a a 3 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 det(a = 3 a( a. det(a = 0 då a a 3 = 0, som har rötterna a 1 = och a = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 och a 3. x = y = 1 a 1+a 1+a Det är uppenbart att då a = så saknar systemet lösning. Addera 3 gånger rad1 till rad [ [ Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] Addera rad1 till rad. [ Vilket betyder oändligt många lösningar. Exempel 9. Bestäm inversen till A = ] ] ] Lösning: Vi startar med att bestämma 1 1 det A = = = 1 Nu är det dags att bestämma adj A, men först B, eftersom vi inte orkar transponera direkt. ( B = ( 3 ( som sedan ger För säkerhets skull en test: A = 1 1 adj A = AA = = = Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 1 Vi har matrisen A nedan. Vilka värden har a 3 och a 31? A = Vilken typ är A av? 3 Utför matrismultiplikationen nedan BC = Tre matriser A(4, B(3 4, C( 5 ska multipliceras samman till D. Ställ upp det enda möjliga uttrycket för denna multiplikation. Vilken typ får D? 5 Beskriv detta ekvationssystem med ett matrisuttryck. 3x z = 1 z+y = 0 4x = 7 5 Det är visserligen långt ifrån huvudräkning, men ändå, bestäm med Jacobis metod, A då 1 4 A = Utför du detta en gång till så sitter det sedan. Alltså, bestäm med Jacobis metod, A då A = Kan du beräkna den här determinanten i huvudet? Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 1 a 3 = 1 och a 31 = A( BAC. D får typen ( det(a = A = x y z = A = Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Exempel 10. I figuren ovan ser vi de åtta möjligheter som tre plan kan förhålla sig till varandra. Studera figurerna och fyll i tabellen under rubriken antal lösningar. Svaren kan vara 0, 1, oändligt många plan eller oändligt många linje. Figur Antal lösningar System Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 I nästa steg ska du klassificera följande åtta ekvationssystem. De beskriver var och en ett av de åtta fallen i figurerna. Fyll i tabellen ovan med bokstaven för det system som motsvarar viss figur. a c e g 3x1y+z = 4 x 4y+z = x y+3z = x+y z = x+y z = 0 x y+z = x+y+z = x y z = 4 x+4y+4z = 10 x+y+z = 3 x+y+z = 8 x y+3z = a b d f h x+y z = 3 x y+4z = x+y z = 3 x y z = 4 x+y = 0 x+y z = 5x+1y+z = 15x+3y+3z = 10 0x+48y+4z = 3x+y+z = x 4y z = 4 15x+10y+5z = 10 Addera /3 gånger rad1 till rad3 och rad /3 1/3 /3 0 7/3 7/3 0/3 Addera 7 gånger rad till rad /3 1/3 / Systemet saknar lösning. Om vi tittar på två plan i taget får vi tre ekvationssystem { 3x1y+z = 4 x 4y+z = som har lösningen l 1 = (,,0 +(3,1,1t, en linje. Sätt z = t och lös ekvationssystemet med avseende på x och y. Lös först ut x, x = 4 t+11y 3 ur första ekvationen och sätt in i den andra 4 t+11y 3 4y+t = 4 t+11yy+3t = y = +t Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Detta ger x = 4 t+11( +t 3 x = +3t { 3x1y+z = 4 x y+3z = som har lösningen l = (4/7,10/7,0 +(3,1,1t en linje. { x 4y+z = x y+3z = som har lösningen l 3 = (10,,0+(3,1,1t en linje. Varje par av plan skär varandra utefter en rät linje. Riktningsvektorern (3, 1, 1 är gemensam för de tre linjerna, vilket betyder att de är parallella. Figur 3. b Addera gånger rad1 till rad. Addera /3 gånger rad1 till rad /3 4/3 Byt plats på rad och rad /3 4/ Systemet har oändligt många lösningar. Vi ser att planen i rad1 och rad är identiska, till exempel genom att dividera båda led i plan med. Det tredje planet skär dessa två efter en rät linje. Figur 5. c Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad Planet på rad1 är identiskt med planet på rad3. Planet på rad är parallellt med de andra två planen. Systemet har alltså ingen lösning. Figur 7. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

17 d Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera gånger rad till rad Systemet har en entydig lösning, nämligen z =, y = och x = 1. Figur 8 e Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera rad till rad Systemet har oändligt många lösningar. Då vi som i a löser ekvationen mellan två plan i sänder får vi varje gång samma linje: l = (,3,0 +(0,,1t. Figur f Addera 3 gånger rad1 till rad. Addera 4 gånger rad1 till rad Systemet saknar lösning. Vi ser att det handlar om tre parallella plan. Figur. Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 g Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad Byt rad med rad Systemet saknar lösning. Vi ser att planet i rad 1 är parallellt med planet i rad. Det tredje planet skär de andra två. Figur 4. h Addera gånger rad1 till rad. Addera 5 gånger rad1 till rad Systemet har oändligt många lösningar. De tre planen är identiska. Figur 1. Här har vi den ifyllda tabellen Figur Antal lösningar System 1 plan h ingen f 3 ingen a 4 ingen g 5 linje b linje e 7 ingen c 8 punkt d Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 Problem 1. Lös ekvationen BC x = b Där ( 0 1 B = Svar 1. Svar: x 1 = 8,x = C = ( b = ( 3 Problem. Lös tipsekvationen 1 x x = 0 Svar. Svar: x 1 = 1,x = 4 Problem 3. Lös ekvationen då Svar 3. Svar: x = Problem 4. Givet matriserna Bestäm 4A + 3B. Svar 4. ( A = A = ( ( ( = AB = BA B = B = ( ( x ( ( Problem 5. Lös ekvationssystemet med avseende på x och y { x+8y = u x+7y = v Svar 5. Vi får x = 7u 8v och y = u+v ( x y = ( och kan ställa upp följande matrisuttryck = 1 ( ( 7 8 u v Den sökta inversen är Problem. Bestäm inversen till ( C = Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 Svar. Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad med Addera 3 gånger rad till rad Multiplicera rad3 med Addera rad3 till rad Addera gånger rad till rad Den sökta inversen är Problem 7. Lös ekvationen Svar 7. Från determinanten får vi Som har rötterna x 1 = 5 och x = 3 C = 4 3 x 1 x x 3 = 0 1x +455x x = 0 3x +45 x = 0 x +x5 = 0 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

21 Problem 8. Lös olikheten 3 x 1 1 x 3 Svar 8. Från determinanten får vi ekvationen > x x x8 = 0 x x 4 = 0 x x = 0 som har rötterna x 1 = 3 och x = 4. Vi kan nu skriva olikheten (x+3(x 4 > 0 Med gammal känd teknik får vi x < 3 eller x > 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd