KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
|
|
- Marie Åberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010
2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 Innehåll Olikheter Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Ekvationer med absolutbelopp Uppgift Uppgift Uppgift Olikheter med absolutbelopp Problem Problem Avståndet mellan två punkter i rummet Uppgift Längden (normen av en vektor Uppgift Normerad vektor Uppgift Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Uppgift Uppgift Uppgift Visar om två ekvationer anger samma linje Uppgift Linjens ekvation från parameterfri till parameterform
4 INNEHÅLL Uppgift Bestäm skalärprodukten Uppgift Bestäm vinkeln mellan två vektorer Uppgift Avståndet från en punkt till en linje Uppgift Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Uppgift Bestäm projektionen Uppgift Uppgift Uppgift Vektorprodukt Uppgift Linje genom två punkter skär plan Uppgift Planets ekvation för tre givna punkter Uppgift Skärningen mellan två linjer Uppgift Planets ekvation Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Avstånd från punkt till plan Uppgift Uppgift 2. Alternativ Avstånd mellan två linjer Uppgift Planets ekvation på parameterform Uppgift Ligger punkten på linjen? Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 INNEHÅLL Uppgift Bestäm arean till parallellogram Uppgift Bestäm skärningen mellan två plan Uppgift Bestäm vinkeln mellan två plan Uppgift Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Uppgift Matrisalgebra Uppgift Matrisekvationer Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Ekvationssystem Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Uppgift Inversmatris Uppgift Uppgift Determinant Uppgift Uppgift När har ekvationssystemet lösning Uppgift Uppgift Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 INNEHÅLL Uppgift Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 INNEHÅLL Olikheter Uppgift 1 Lös olikheten x 2 x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = 3 och x 2 = 2 vilket leder fram till faktoriseringen (x 3(x+2 < 0. 2 Svar: 2 < x < 3 x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x (x 3(x Reduce[x^2 - x - 6 < 0] Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 OLIKHETER Uppgift 2 Lös olikheten 4 x x Ställ upp tabell för teckenstudium 2 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 x < 2 x = 2 2 < x < 4 x = 4 x > 4 4 x x x x+2 odef + 0 Svar: 2 < x 4 Reduce[(4 - x/(x + 2 >= 0] Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 INNEHÅLL Uppgift 3 Lös olikheten x 2 +2x+1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x+1 2 (första kvadreringsregeln. 2 Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x+1 2 x 1 0 odef + Reduce[(x^2 + 2 x + 1/(x - 1 < 0] Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 OLIKHETER Uppgift 4 Lös olikheten x 2 2x 3 x 2 +2x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren 2 Faktorisera nämnaren 3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 3 vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1(x 3. 2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x 2(x Vi kan nu skriva om olikheten (x+1(x 3 (x 2(x+4 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x x x x (x+1(x 3 (x 2(x+4 + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < 2 eller x 3 (se grafen nedan Reduce[(x^2-2 x - 3/(x^2 + 2 x - 8 > 0] Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 INNEHÅLL Uppgift 5 Lös olikheten x+1 x Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk. 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 x+1 x 3 3; x+1 x 3 3 0; x+1 x 3 3(x 3 0; x x x x < 3 x = 3 3 < x < 5 x = 5 x > x x x x 3 odef + 0 Svar: 3 < x 5 Reduce[(x + 1/(x - 3 >= 3] Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Ekvationer med absolutbelopp Uppgift 1 Lös ekvationen x+3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. 2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1 Då x = 3 är x+3 = 0. 2,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x+3 = 5 x = 8 Ja x 3 x+3 = 5 x = 2 Ja Svar: x 1 = 8 och x 2 = 2 Reduce[Abs[x + 3] == 5, x, Reals] Håkan Strömberg 12 KTH Syd
13 INNEHÅLL Uppgift 2 Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 2 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. 3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 Då x = 6 är x 6 = 0 2 De två ekvationerna me gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6 x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6 x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Reduce[Abs[x - 6] - x == 4] Håkan Strömberg 13 KTH Syd
14 EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Uppgift 3 Lös ekvationen x x + 2x 3 = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1,2 De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x 2 = 3 2 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1 2(4 x (2x 3 = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 2 (x+1 2(4 x (2x 3 = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x+1 2(4 x+(2x 3 = 0 x = 2 Ja 2 x 4 (x+1+2(4 x+(2x 3 = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x 2 = 2 (se grafen nedan Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 INNEHÅLL Reduce[Abs[x+1]-2 Abs[4-x]+Abs[2x-3]==0,x,Reals] Håkan Strömberg 15 KTH Syd
16 OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP Olikheter med absolutbelopp Problem 1 Lös olikheten x 2 + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x 2 = 0 och det x 2 för vilket x 4 = 0 2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x 2 och ett då x > x 2. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. Genomförande: 1 x 1 = 2 och x 2 = 4 2 Intervallen är x < 2, 2 x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 2 (x 2 (x 4 < 8 x > 1 1 < x < 2 2 x < 4 (x 2 (x 4 < 8 Alltid 2 x < 4 x > 4 (x 2+(x 4 < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Reduce[Abs[x - 2] + Abs[x - 4] < 8, x, Reals] Håkan Strömberg 16 KTH Syd
17 INNEHÅLL Problem 2 Lös olikheten 2x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 x 1 = 0, x 2 = 2 och x 3 = 5 2 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < 2 2 x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (2x 4 x < (5 x x > < x < 0 0 x < 2 (2x 4+x < (5 x Alltid 0 x < 2 2 x < 5 (2x 4+x < (5 x x < x < 9 4 x 5 (2x 4+x < (5 x x < 1 2 Inget x Svar: 1 2 < x < 9 4 Reduce[Abs[2x-4]+Abs[x]<Abs[5-x],x,Reals] Håkan Strömberg 17 KTH Syd
18 AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET Avståndet mellan två punkter i rummet Endast som en del i ett större problem. Uppgift 1 Bestäm avståndet mellan punkterna P 1 = (5,9,7 och P 2 = (1,2,3 1 Vi använder direkt avståndsformeln Genomförande: 1 P 1 P 2 = (x 1 x 2 2 +(y 1 y 2 2 +(z 1 z 2 2 P 1 P 2 = ( ( (7 3 2 = = 81 = 9 Svar : Avståndet mellan punkterna är 9 p1 = {5, 9, 7}; p2 = {1, 2, 3}; Norm[p1 - p2] Håkan Strömberg 18 KTH Syd
19 INNEHÅLL Längden (normen av en vektor Uppgift 1 Bestäm längden av vektorn v = (6,3,2 1 Vi använder följande formel Genomförande: v = v 2 1 +v2 2 +v2 3 1 v = = = 49 = 7 Norm[{6, 3, 2}] Håkan Strömberg 19 KTH Syd
20 NORMERAD VEKTOR Normerad vektor Uppgift 1 Bestäm den normerade vektorn r till 1 Bestäm längden av vektorn v v = (4,8,1 2 När vi dividerar varje komposant med v får vi den normerade vektorn r. ( v1 r = v, v 2 v, v 3 v Genomförande: 1 2 Svar: r = ( 4 9, 8 9, 1 9 v = = = 9 r = ( 4 9, 8 9, 1 9 v = {4, 8, 1}; n = v/norm[v] Håkan Strömberg 20 KTH Syd
21 INNEHÅLL Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Uppgift 1 Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1,4,2 och P 2 = (9,4,3 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation Genomförande: 1 Vi väljer punkten P 1 2 r väljs till P 1 P 2 3 P1 P 2 = (9,4,3 (1,4,2 = (8,0,1 x = 1+8t y = 4+0t z = 2+1t Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten och två sätt av bestämma riktningsvektorn. Svar: x = 1+8t y = 4 z = 2+t p1 = {1, 4, 2}; p2 = {9, 4, 3}; linje[t_]:=p1 + t (p2 - p1 linje[3] {25, 4, 5} Håkan Strömberg 21 KTH Syd
22 BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER Uppgift 2 Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1,4,2 och P 2 = (9,4,3 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation Genomförande: 1 Vi väljer punkten P 2 2 r = P 2 P 1 = ( 8,0, 1 3 P 2 + P 2 P 1 t = (9,4,3+( 8,0, 1t Svar: (9,4,3+( 8,0, 1t p1 = {1, 4, 2}; p2 = {9, 4, 3}; linje[t_]:=p1 + t (p2 - p1 linje[3] {25, 4, 5} Håkan Strömberg 22 KTH Syd
23 INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna P 1 = (6,5,4 och P 2 = (1,2,3. 1 Välj en av de givna punkterna till punkten P 0 1 Bestäm en riktningsvektor r = (r 1,r 2,r 3 2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form Genomförande: x x 0 r 1 = y y 0 r 2 = z z 0 r 3 1 Vi väljer punkten P 1 2 r = (6,5,4 (1,2,3 = (5,3,1 3 Med hjälp av formeln får vi nu x 6 5 = y 5 3 = z 4 1 Svar: x 6 5 = y 5 3 = z 4 p1 = {6, 5, 4}; p2 = {1, 2, 3}; p3 = {x, y, z}; r = p1 - p2 v = p3 - p1 v/r Byt ut kommatecknen mot likhetstecken! Håkan Strömberg 23 KTH Syd
24 VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE Visar om två ekvationer anger samma linje Uppgift 1 Är de två linjerna och l 1 = (9,4,3+( 8,0, 1t l 2 = (1,4,2+(16,0,2t identiska? 1 P 1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l 1 2 Ta reda på om P 1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l 2. Om så vet vi att P 1 även ligger på l 2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är identiska. 3 P 2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l 2 4 Ta på samma sätt reda på om P 2 ligger på l 1. Om så är fallet vet vi att P 2 ligger på l 1. 5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska. Genomförande: 1 P 1 = (9,4,3 2 Sök t i 3 P 2 = (1,4,2 2 Sök t i (9,4,3 = (1,4,2+(16,0,2t (8,0,1 = (16,0,2t t = 1 2 (1,4,2 = (9,4,3+( 8,0, 1t ( 8,0, 1 = ( 8,0, 1t t = 1 Svar: De två linjerna innehåller båda punkternap 1 ochp 2 vilket betyder att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 24 KTH Syd
25 INNEHÅLL l1[t_] := {9, 4, 3} + {-8, 0, -1} t l2[t_] := {1, 4, 2} + {16, 0, 2} t Solve[l1[t] == l2[s]] Ger lösningen s = 1 2 t 2 l1[t] l2[1/2 - t/2] // Simplify Visar att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 25 KTH Syd
26 LINJENS EKVATION FRÅN PARAMETERFRI TILL PARAMETERFORM Linjens ekvation från parameterfri till parameterform Uppgift 1 Överför linjens ekvation till parameterform x 3 2 = y+2 = z 3 1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z Genomförande: Svar: 1 x 3 2 = t x = 3+2t y+2 = t y = 2+t z 3 = t z = 0+3t x = 3+2t y = 2+t z = 3t Solve[{t==(x-3, t==y+2, t==z/3}, {x, y, z}] Håkan Strömberg 26 KTH Syd
27 INNEHÅLL Bestäm skalärprodukten Uppgift 1 Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna v = (2, 4, 3 och u = (1, 2, 5 1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna v = (v 1,v 2,v 3 och u = (u 1,u 2,u 3 v u = (v 1,v 2,v 3 (u 1,u 2,u 3 = v 1 u 1 +v 2 u 2 +v 3 u 3 Genomförande: 1 Vi har vektorerna v = (2,4,3 och u = (1, 2,5 och får (2,4,3 (1, 2,5 = ( = = 9 Svar: v u = 9 v = {2, 4, 3}; u = {1, -2, 5}; v.u Håkan Strömberg 27 KTH Syd
28 BESTÄM VINKELN MELLAN TVÅ VEKTORER Bestäm vinkeln mellan två vektorer Uppgift 1 Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = (0, 2, 1 och u = (5, 1, 5 1 Bestäm v och u 2 Bestäm v u 3 Använd sedan formeln för att bestämma cosθ 4 I sista steget har vi att bestämma Genomförande: cosθ = v u v u θ = arccos ( v u v u 1 v = 0 2 +( = 5 u = 5 2 +( 1 2 +( 5 2 = v u = (0, 2,1 (5, 1, 5 = 0 5+( 2 ( 1+1 ( 5 = 3 cosθ = ( 3 θ = arccos 5 51 ( 3 Svar: θ = arccos Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra att kunna följande samband 5 51 ( 1 arccos = π 2 3 = 60 arccos(0 = π 2 = 90 ( 3 arccos = π ( = 30 arccos 2 = π 4 = 45 Håkan Strömberg 28 KTH Syd
29 INNEHÅLL v = {0, -2, 1}; u = {5, -1, -5}; ArcCos[v.u/(Norm[v]*Norm[u]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 29 KTH Syd
30 AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Avståndet från en punkt till en linje Uppgift 1 Givet punkten P 1 = (3,7,9 och linjen l = (10,5, 1+( 4, 1,1t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 Bilda en vektor v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P 1. 2 Ta fram en riktningsvektor r till linjen l. 3 Vektorerna v och r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att v r = 0. Ställ upp detta uttryck. 4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas. 5 Rötterna till ekvationen ger punkten P. 6 Då vi har både P 1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas Genomförande: 1 P = (10 4t,5 t, 1+t är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta vektorn blir v = PP1 = (10 4t,5 t, 1+t(3,7,9= ( 7+4t,2+t,10 t 2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P 2 = (10,5, 1 och P 3 = (6,4,0 och bildar r = (10,5, 1(6,4,0= ( 4, 1,1 3 Vi bestämmer skalärprodukten v r v r = ( 7+4t,2+t,10 t ( 4, 1,1 = ( 4( 7+4t+( 1(2+t+1(10 t = 28 16t 2 t+10 t = 36 18t 4 Vi löser nu i huvudet ekvationen v r = 0, som alltså är 36 18t = 0 med roten t = 2 5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 4 2,5 2, 1+2 = (2,3,1 6 Avståndet mellan P och P1 är (2 32 +( (1 9 2 = = 9 Svar: Det sökta avståndet är 9 Håkan Strömberg 30 KTH Syd
31 INNEHÅLL p1 = {3, 7, 9}; l1[t_] := {10, 5, -1} + {-4, -1, 1} t v = p1 - l1[t]; u = {-4, -1, 1}; Solve[v.u == 0] Vi får t = 2 och genom Norm[l1[2]-p1] får vi svaret 9. Håkan Strömberg 31 KTH Syd
32 FORMEL FÖR: AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Uppgift 1 Givet punkten P 0 = (3,7,9 och linjen l = (10,5, 1+( 4, 1,1t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 För den givna punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och en linje genom punkten P 1 = (x 1,y 1,z 1 med riktningsvektorn r = (a,b,c får vi direkt avståndet genom formeln y 2 0 y 1 z 0 z 1 b c + z 2 0 z 1 x 0 x 1 c a + x 2 0 x 1 y 0 y 1 a b a 2 +b 2 +c 2 Genomförande: 1 Vi sätter in talen för r = ( 4, 1,1, P 1 = (10,5, 1 och P 0 = (3,7, ( ( ( 4 2 +( Svar: Det sökta avståndet är ( 4 2 +( = 81 = 9 18 I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och P 0 = (x 0,y 0 vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret d = ax 0 +by 0 +c a2 +b Håkan Strömberg 32 KTH Syd
33 INNEHÅLL Bestäm projektionen Uppgift 1 Bestäm den vinkelräta projektionen av u = (14, 21, 7 i riktningen v = (2, 6, 3 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r r Genomförande: 1a v = = 49 = 7 1b Svar: 2 Beräkna 3 Beräkna ( u r r ( 38 7, 114 7, 57 7 r = u r = (14,21, 7 ( 2 7, 6 7, 3 7 ( 2 7, 6 7, 3 = = 19 7 ( , 6 7, 3 ( 38 = 7 7, 114 7, 57 7 v = {2, 6, 3}; r = v/norm[v] u.r*r Håkan Strömberg 33 KTH Syd
34 BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 2 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3 på vektorn u = (2, 1, 1. Lösning 1 w har samma riktning som u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna därför w som en faktor k gånger u, alltså som w = k u. 2 w+ p = v leder till p = v w. Vi kan alltså uttrycka p med hjälp av w och v. 3 p ska vara vinkelrät mot w och då är p w = 0. En ekvation med k som obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera u med för att få w Genomförande: 1 w = k u = k(2,1,1 = (2k,k,k 2 p = v w = (1,4, 3 (2k,k,k = (1 2k,4 k, 3 k 3 w p = 0 ger nu (1 2k,4 k, 3 k (2k,k,k = 0 2k(1 2k+k(4 k+k( 3 k = 0 3k(1 2k = 0 k 1 = 1 2 k 1 = 0 Nu har vi k och kan skriva w = ( 1, 1 2, 1 2 Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn (0,0,0 (nollvektorn är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv! Håkan Strömberg 34 KTH Syd
35 INNEHÅLL v = {2, 6, 3}; u = {14, 21, -7}; r = t*v; Solve[r.(u - r == 0] ger t = 0 respektive t = 19/7. Svaret får vi genom 19v/7 Håkan Strömberg 35 KTH Syd
36 BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 3 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3 på vektorn u = (2, 1, 1. Använd direkt formeln w = v u u 2 u w = (1,4, 3 (2,1, (2,1,1 w = ( 31 6 w = 3 6 (2,1,1 w = ( 1, 1 2, 1 2 (2,1,1 v={1,4,-3}; u={2,1,1}; v=v.u/norm[u]^2*u Håkan Strömberg 36 KTH Syd
37 INNEHÅLL Vektorprodukt Uppgift 1 Bestäm vektorprodukten av vektorerna v = (1, 2, 3 och u = (1, 1, 0 1 Ställ upp determinanten 2 Beräkna determinanten Genomförande: 1 Vi har de tre enhetsvektorerna e x = (1,0,0 e y = (0,1,0 e x = (0,0,1 och får determinanten v u = (1,0,0 (0,1,0 (0,0, Svar: ( 3, 3, 1 (1,0,0 2 0 (0,1, (0,0,1 1 1 (0,0, (0,1,0 3 1 (1,0,0 3 1 = (0,0,1 (0,0,2 + (0,3,0 (3,0,0 = ( , , = ( 3,3, 1 e = {ex, ey, ez}; v = {1, 2, 3}; u = {1, 1, 0}; d = Det[{e, v, u}] ex = {1, 0, 0}; ey = {0, 1, 0}; ez = {0, 0, 1}; d Men enklare är förstås Cross[{1,2,3},{1,1,0}] Håkan Strömberg 37 KTH Syd
38 LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN Linje genom två punkter skär plan Uppgift 1 Givet två punkter P 1 = (1,2,3 och P 2 = (4, 1,6. Var skär linjen, genom dessa punkter, planet 2x+3y+4z = 5? 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation Genomförande: 1 På vektorform får vi l = (1,2,3+t (4, 1,6(1,2,3 som i parameterform ger x = 1 3t y = 2+3t z = 3 3t 2 3 2(1 3t+3(2+3t+4(3 3t = 5 2(1 3t+3(2+3t+4(3 3t = 5 2 6t+6+9t+12 12t = t = 5 t = x = = 4 y = = 7 z = Svar: Den eftersökta punkten är ( 4,7, 2 Håkan Strömberg 38 KTH Syd
39 INNEHÅLL p1 = {1, 2, 3}; p2 = {4, -1, 6}; linje[t_] := p1 + t (p1 - p2 plan = {2, 3, 4} Solve[linje[t].plan == 5] som ger t = 5. Svaret ges genom 3 linje[5/3] Håkan Strömberg 39 KTH Syd
40 PLANETS EKVATION FÖR TRE GIVNA PUNKTER Planets ekvation för tre givna punkter Uppgift 1 Tre punkter P 1 = (1,3,0, P 2 = (3,2,1 och P 3 = (3,3,2 är givna. Bestäm planets ekvation på normalform. 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna. 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. Genomförande: 1 v = P 2 P 1 = (1,3,0 (3,2,1 = ( 2,1, 1 och u = P 3 P 1 = (1,3,0 (3,3,2 = ( 2,0, e x e y e z n = u v = = 2 e x 2 e y +2 e z = ( 2, 2,2 2x 2y+2z+d = 0 när vi till exempel sätter in punkten P 1 = (1,3,0 får vi får vi d = d = 0 Svar: 2x 2y+2z+8 = 0 eller varför inte 2x+2y 2z = 8 p1 = {1, 3, 0}; p2 = {3, 2, 1}; p3 = {3, 3, 2}; v = p1 - p2; u = p1 - p3; n = Cross[v, u] Solve[n.p1 + d == 0] Vi får ( 2, 2,2 och d = 8. Av detta kan vi pussla ihop 2x 2y+2z+8 = 0. Håkan Strömberg 40 KTH Syd
41 INNEHÅLL Skärningen mellan två linjer Uppgift 1 Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna l 1 = (1,2,3+(4,5,6t och l 2 = ( 1,4,4+(2,7,7t 1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform 2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna! 3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta 4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t 5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles skär verkligen ekvationerna varandra. 6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra för att erhålla skärningspunkten. Genomförande: 1 (x,y,z = (1+4t,2+5t,3+6t och (x,y,z = ( 1+2t,4+7t,4+7t 2 (x,y,z = (1+4t,2+5t,3+6t och (x,y,z = ( 1+2s,4+7s,4+7s 3 1+4t = 1+2s 2+5t = 4+7s 3+6t = 4+7s 4 { 1+4t = 1+2s 2+5t = 4+7s 5 ger = 1 och t = 1 (behöver förstås inte vara lika 3+6( 1 = 4+7( 1 Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt. 6 Vi använder t = 1 i l 1 och får 3 = 3 (x,y,z = (1+4( 1,2+5( 1,3+6( 1 = ( 3, 3, 3 Svar: Skärningspunkten ( 3, 3, 3 Håkan Strömberg 41 KTH Syd
42 SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER linje1[t_] := {1, 2, 3} + {4, 5, 6} t linje2[t_] := {-1, 4, 4} + {2, 7, 7} t Solve[linje1[t] == linje2[s]] ger s = t = 1 som i sin tur på två sätt ger linje1[-1] linje2[-1] ( 3, 3, 3 Håkan Strömberg 42 KTH Syd
43 INNEHÅLL Planets ekvation Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor n = (1,2,3 till planet och en punkt P 0 = (4,5,6 som ligger i planet 1 Använd formeln med normalvektorn n = (A,B,C och P 0 = (x 0,y 0,z 0 2 Förenkla uttrycket för att nå fram till Genomförande: 1 Insatt i formeln får vi A(x x 0 +B(y y 0 +C(z z 0 = 0 Ax+By+CZ = D 1(x 4+2(y 5+3(z 6 = 0 2 Förenkling 1(x 4+2(y 5+3(z 6 = 0 x 4+2y 10+3z 18 = 0 x+2y+3z = 32 Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32 n = {1, 2, 3}; p0 = {4, 5, 6}; d = n.p0; n.({x, y, z} - p0 // Simplify Håkan Strömberg 43 KTH Syd
44 PLANETS EKVATION Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2 och riktningsvektorerna v = (3,1,2 och u = (2,6,4 är givna. 1 Med punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och riktningsvektorerna r 1 = (a 1,b 1,c 1 och r 2 = (a 2,b 2,c 2 får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Genomförande: 1 x 1 y 2 z = (x (y (z (x (y (z = 8(x 1 8(y 2+16(z 2 = 8x+8 8y+16+16z 32 = 8x 8y+16z 8 Svar: Ekvationen kan skrivas x y+2z = 1 Den här metoden kan användas även för 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna. p = {1, 2, 2}; v = {3, 1, 2}; u = {2, 6, 4}; Det[{{x, y, z} - p, v, u}] Håkan Strömberg 44 KTH Syd
45 INNEHÅLL Avstånd från punkt till plan Uppgift 1 Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1,2,4 till planet med ekvationen 2x+3y+ 4z+5 = 0. 1 Bestäm normalvektorn n till planet 2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P 1 och har riktning n 3 Bestäm linjens skärningspunkt P 2 med planet genom att ersätta x,y och z med motsvarande uttryck i t. 4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten 5 Bestäm avståndet mellan P 1 och P 2 Genomförande: 1 Normalvektorn är n = (2,3,4 2 Den sökta linjen l har ekvationen Vi skriver den på parameterform (x,y,z = (1,2,4+(2,3,4t x = 1+2t y = 2+3t z = 4+4t 3 2(1+2t+3(2+3t+4(4+4t+5 = 0 2+4t+6+9t+16+16t+5 = 0 29t+29 = 0 t = 1 4 Skärningspunkten P 2 = ( 1, 1,0 5 Avståndet mellan P 1 och P 2 är x = 1+2( 1 = 1 y = 2+3( 1 = 1 z = 4+4( 1 = 0 d = (1 ( 1 2 +(2 ( 1 2 +(4 0 2 = = 29 Svar: Avståndet är 29 Håkan Strömberg 45 KTH Syd
46 AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN n = {2, 3, 4}; p = {1, 2, 4}; linje[t_] := p + t n Solve[linje[t].n + 5 == 0] Vi får t = 1 och avslutar med Norm[linje[-1]-p] Håkan Strömberg 46 KTH Syd
47 INNEHÅLL Uppgift 2. Alternativ Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1,2,4 till planet med ekvationen 2x+3y+ 4z+5 = 0. 1 Med punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0 kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A2 +B 2 +C 2 Genomförande: 1 d = = = Svar: 29 n = {2, 3, 4}; p = {1, 2, 4}; Abs[(n.p + 5/Norm[n]] Håkan Strömberg 47 KTH Syd
48 AVSTÅND MELLAN TVÅ LINJER Avstånd mellan två linjer Uppgift 1 Bestäm avståndet mellan linjerna x = 1+3t l 1 = y = 2t z = 3 t x = 2+4t l 2 = y = 1 2t z = 3+t 1 Ta ut riktningsvektorer till de två linjerna och kalla dem u och v. 2 Låt punkten P 1 vara en punkt på den första linjen, som vi får får genom l 1 (t. Låt punkten P 2 vara en punkt på den andra linjen, som vi får genom l 2 (s. Bilda vektorn w = P 1 P 2. 3 Vi inser att w varierar i längd och riktning beroende på hur vi väljer s och t. Vi ska finna de värden på s och t då w är så kort som möjligt. Då är samtidigt u w och v w (Påstår vi utan bevis 4 Då kan vi ställa upp ekvationssystemet { u w = 0 v w = 0 Lösningen till detta system ger oss det s och t vi söker. Insatt i l 1 (t och l 2 (s får vi två punkter. Det är avståndet mellan dessa punkter vi söker och som är svaret på uppgiften. Genomförande: 1 v = (3,2, 1 och u = (4, 2,1. 2 Vi får vektorn w = (2, 1,3+s(4, 2,1 ((1,0,3+t(3,2, 1= (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t Håkan Strömberg 48 KTH Syd
49 INNEHÅLL 3 Ekvationssystemet får följande utseende { (4, 2,1 (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t = 0 (3,2, 1 (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t = 0 När vi räknat en stund får vi { 6+21s 7t = 0 1+7s 14t = 0 Systemet har lösningen s = 11 35,t = Dessa värden insatt i l 1 ( 3 35 och l 2( P 3 = ( 26 35, 6 35, ger punkterna P 4 = ( 26 35, 13 35, Avståndet mellan dessa punkter beräknas genom ( ( ( = p1 = {1, 0, 3}; v = {3, 2, -1}; p2 = {2, -1, 3}; u = {4, -2, 1}; linje1[t_] := p1 + t v linje2[t_] := p2 + t u w = linje1[s] - linje2[t]; Solve[{w.v == 0, w.u == 0}] Som ger s = 3,t = Norm[linje1[-3/35] - linje2[-11/35]] och vi har svaret 1 5 Håkan Strömberg 49 KTH Syd
50 PLANETS EKVATION PÅ PARAMETERFORM Planets ekvation på parameterform Uppgift 1 Tre punkter är givna P 1 = (1,2,3, P 2 = (4,5,6 och P 3 = (7,7,7; Skriv planets ekvation på parameterform. 1 Bilda två vektorer, r 1 och r 2, med hjälp av de tre punkterna. 2 Välj ut en av de tre punkterna 3 Ställ upp planets ekvation Genomförande: 1 r 1 = P 1 P 3 = (7,7,7 (1,2,3 = (6,5,4 r 2 = P 1 P 2 = (7,7,7 (4,5,6 = (3,2,1 2 Vi väljer punkten P 2 3 x = 4+6t+3s y = 5+5t+2s z = 6+4t+1s För varje val av s och t får vi en punkt i planet. p1 = {1, 2, 3}; p2 = {4, 5, 6}; p3 = {7, 7, 7}; plan[s_, t_] := p1 + s (p1 - p2 + t (p1 - p3 plan[2, -1] {1, 1, 1} Håkan Strömberg 50 KTH Syd
51 INNEHÅLL Ligger punkten på linjen? Uppgift 1 Ta reda på om punkten P = (1,2,4 ligger på linjen x = 5+8t y = 5+6t z = 6+4t 1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen. 2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen Genomförande: 1 1 = 5+8t ger t = ( 1 = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt ( 1 = 4, så 2 även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen. Svar: Punkten ligger på linjen p = {1, 2, 4} linje[t_] := {5, 5, 6} + t {8, 6, 4} Solve[linje[t] == p] Om det finns lösning till det överbestämda ekvationssystemet får vi ett värde på t. Håkan Strömberg 51 KTH Syd
52 BESTÄM AREAN TILL PARALLELLOGRAM Bestäm arean till parallellogram Uppgift 1 Bestäm arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna v = (8,2,7 och u = (7,8,3. 1 Denna area A = v u. Bestäm först w = v u 2 och därefter w Genomförande: 1 Uppställningen av v u ger e x e y e z w = v u = = = 2 3 e x +7 7 e y +8 8 e z 7 8 e x 8 3 e y 2 7 e z = (6 56 e x +(49 24 e y +(64 14 e z = ( 50,25,50 2 A = ( = 5625 = 75 Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e. Norm[Cross[{8, 2, 7}, {7, 8, 3}]] Håkan Strömberg 52 KTH Syd
53 INNEHÅLL Bestäm skärningen mellan två plan Uppgift 1 Bestäm skärningen mellan planen 4y x z = 3 och 3x 11y+3z = 6. 1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och y. { A1 x+b 1 y+c 1 t = D 1 A 2 x+b 2 y+c 2 t = D 2 2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen Genomförande: 1 { x+4y t = 3 3x 11y+3t = 6 2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y 3 t. Detta resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y 3(4y 3 t 11y+3t = 6 12y 9 3t 11y+3t = 6 y = 15 y = 15 insatt i x = 4y 3 t ger x = 57 t. Vi har nu x,y och z uttryckta i t och kan skriva linjens ekvation x = 57 1 t = 57 t y = 15+0 t = 15 z = 0+1 t = t Svar: x = 57 t y = 15 z = t Håkan Strömberg 53 KTH Syd
54 BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN ekv1 = 4 y - x - z - 3 == 0; ekv2 = 3 x - 11 y + 3 z - 6 == 0; ekv3 = z == t; Solve[{ekv1, ekv2, ekv3}, {x, y, z}] {{x -> 57 - t, y -> 15, z -> t}} Svaret kan användas för att definiera linjen genom linje[t_]:={57,15,0}+t{-1,0,1} Håkan Strömberg 54 KTH Syd
55 INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två plan Uppgift 1 Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x+3y 8z = 3 och 9x+4y+z = 8. 1 Ta fram normalvektorerna n 1 och n 2 2 Beräkna normalvektorernas norm, n 1 och n 2. 3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln. ( n1 n 2 θ = arccos n 1 n 2 Genomförande: 1 n 1 = (5,3, 8 och n 1 = (9,4,1. 2 n 1 = ( 8 2 = 98 och n 2 = = 98 3 θ = arccos (5,3, 8 (9,4,1 = arccos = arccos = π 3 Svar: Vinkeln mellan planen är 60 n1 = {5, 3, -8}; n2 = {9, 4, 1}; ArcCos[n1.n2/(Norm[n1]*Norm[n2]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 55 KTH Syd
56 BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Uppgift 1 Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen x = 3+2t y = 4+t z = 9+t 1 Ta fram en normalvektor n till planet 2 Bestäm längden hos n 3 Ta fram en riktningsvektor r till linjen 4 Bestäm längden hos r 5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan r och n. ( n r α = arccos n r 6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 α Genomförande: 1 n = (5,3,8 2 n = = 98 = r = (2,1,1 4 r = = 6 5 ( (5,3,8 (2,1,1 21 α = arccos = arccos = arccos = arccos 2 = π 6 6 θ = π 2 π 6 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60 n = {5, 3, 8}; v = {2, 1, 1}; 90 - ArcCos[n.v/(Norm[n]*Norm[v]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 56 KTH Syd
57 INNEHÅLL Matrisalgebra Uppgift 1 Beräkna uttrycket ( ( Utför först matrismultiplikationen av (3 2-matrisen och (2 3-matrisen, som resulterar i en (2 2-matris 2 Avsluta med att subtrahera de två (2 2-matriserna Steg 1. ( = ( ( ( ( 1 ( ( = Steg 2. ( ( = ( a = {{3, 2, 1}, {-1, 2, 0}}; b = {{2, -1}, {1, 3}, {1, 2}}; c = {{1, 3}, {0, 2}}; a.b - c // TableForm Håkan Strömberg 57 KTH Syd
58 MATRISEKVATIONER Matrisekvationer Uppgift 1 Lös följande matrisekvation med avseende på X. ( ( ( X+ = Bestäm först vilken typ matrisen X tillhör och sätt in en sådan i uttrycket. 2 Utför alla beräkningar i vänsterledet 3 När vi jämför vänster och höger led uppstår ett ekvationssystem. 4 Lös detta ekvationssystem Vi kommer fram till att X måste tillhöra typen (2 1. ( x1 X = Detta leder nu till ( 3x1 +4x 2 2x 1 +2x 2 och vi får ekvationssystemet + ( 3x1 +4x x 1 +2x 2 +3 x 2 ( 2 3 = = { 3x1 +4x 2 = 19 2x 1 +2x 2 = 10 ( ( som vi kan lösa med Gausselimination och få lösningen Svar: x 1 = 1 och x 2 = 4 a = {{3, 4}, {2, 2}}; b = {2, 3}; c = {21, 13}; Inverse[a].(b - c Håkan Strömberg 58 KTH Syd
59 INNEHÅLL Uppgift 2 Lös matrisekvationen AX = A B då A = ( B = ( Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen Genom att först bestämma A 1 kan vi genom A 1 AX = A 1 (A B EX = A 1 (A B X = A 1 (A B Först bestämmer vi A B till A B = ( Sedan kommer turen till A 1. Först bestämmer vi determinanten det(a = 3 ( 1 ( 2 2 = 1, Med hjälp av den kan vi så bestämma A 1 A 1 = 1 1 Till sist beräknar vi A 1 (A B och får X ( ( ( = ( Svar: X = ( a = {{3, -2}, {2, -1}}; b = {{2, 0}, {-1, 2}}; Inverse[a].(a - b // TableForm Håkan Strömberg 59 KTH Syd
60 MATRISEKVATIONER Uppgift 3 Lös matrisekvationen AXA = 2B då ( 1 2 A = 1 2 B = ( Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen A 1 AXAA 1 = 2A 1 BA 1 X = 2A 1 BA 1 Dags att ta reda på A 1. Determinanten är det(a = ( 1 = 4 Som hjälper oss att få A 1 A 1 = 1 ( Högerledet leder nu fram till följande matrismultiplikationer och till svaret X 2A 1 BA 1 = ( ( ( = Svar: ( ( X = ( = ( a = {{1, 2}, {-1, 2}}; b = {{-1, 0}, {3, 4}}; 2 Inverse[a].b.Inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 60 KTH Syd
61 INNEHÅLL Uppgift 4 Lös matrisekvationen XB = XA C med avseende på X då ( ( ( A = B = C = Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen Vi skriver om ekvationen XB = XA C XB XA = C X(B A = C X(B A(B A 1 = C(B A 1 XE = C(B A 1 X = C(B A 1 Vi beräknar först B A ( ( = ( Sedan beräknar vi (B A 1. det(b A = 8 (B A 1 = 1 ( Återstår för att beräkna C(B A 1 för att få X. C(B A 1 = 1 ( ( = Svar: X = ( ( = ( a = {{1, 2}, {-2, 3}}; b = {{4, 3}, {0, 1}}; c = {{3, 1}, {-2, 2}}; -c.inverse[b - a] // TableForm Håkan Strömberg 61 KTH Syd
62 MATRISEKVATIONER Uppgift 5 Lös matrisekvationen där A = ( Lös först ut X symboliskt XA = 2A+B 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen B = ( Vi löser ut X symboliskt XA = 2A+B XAA 1 = (2A+BA 1 XE = (2A+BA 1 X = (2A+BA 1 Först bestämmer vi 2A + B 2A+B = ( Därefter A 1. Dess determinant är och inversen blir då ( det A = 4 3 = 1 A 1 = ( = Vi kan nu bestämma X genom att beräkna (2A+BA 1 X = ( ( = ( ( a = {{1, 1}, {3, 4}}; b = {{0, 1}, {2, 0}}; (2 a + b.inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 62 KTH Syd
63 INNEHÅLL Ekvationssystem Uppgift 1 Lös ekvationssystemet x+y+2z+w = 14 3y+x+2w = 16 z+2x+2y+2w = 19 w+4x+2y+z = 19 1 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen. 3 Med bakåtsubstitution får man så till slut lösningen Gausselimination ger oss möjlighet till följande åtgärder i totalmatrisen. Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 2 gånger rad 1 till rad 3 Addera 4 gånger rad 1 till rad Rad 3 har redan värdet 0 på aktuell plats. Addera 1 gånger rad 2 till rad 4. Håkan Strömberg 63 KTH Syd
64 EKVATIONSSYSTEM Addera 3 gånger rad 3 till rad 4 Bakåtsubstitution ger nu: Svar: x = 2,y = 2,x = 3,w = w = 8 w = 4 3z +0 4 = 9 z = 3 2y = 2 y = 2 x = 14 x = 2 e1 = x + y + 2 z + w == 14; e2 = 3 y + x + 2 w == 16; e3 = z + 2 x + 2 y + 2 w == 19; e4 = w + 4 x + 2 y + z == 19; Solve[{e1, e2, e3, e4}] Håkan Strömberg 64 KTH Syd
65 INNEHÅLL Uppgift 2 Lös ekvationssystemet 3x 11y+2z = 4 x 4y+z = 2 x 6y+3z = 2 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen Addera 1/3 gånger rad1 till rad3 och rad /3 1/3 2/3 0 7/3 7/3 10/3 Addera 7 gånger rad2 till rad /3 1/3 2/ Systemet saknar lösning. 0x+0y+0z 8. De tre planen har alltså ingen gemensam punkt. a = {{3, -11, 2}, {1, -4, 1}, {1, -6, 3}}; b = {4, 2, -2}; Inverse[a].b Det[a] Då det(a = 0 finns ingen entydig lösning tm = {{3, -11, 2, 4}, {1, -4, 1, 2}, {1, -6, 3, -2}}; RowReduce[tm] // TableForm Vi får Nu vet vi att systemet helt saknar lösningar Håkan Strömberg 65 KTH Syd
66 EKVATIONSSYSTEM Uppgift 3 Lös ekvationssystemet x+y+z = 2 x y z = 4 2x+4y+4z = 10 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Jacobis metod. Addera 1 gånger rad1 till rad2. Addera 2 gånger rad1 till rad3. Addera rad2 till rad Systemet har oändligt många lösningar. Sätt z = t. Bakåtsubstitution ger nu 2y 2t = 6 y = 3 t x +1 (3 t +1 t = 2 x = 1 De tre planen skär varandra utefter linjen x = 1 y = 3 t z = t a = {{1, 1, 1}, {1, -1, -1}, {2, 4, 4}}; Det[a] tm = {{1, 1, 1, 2}, {1, -1, -1, -4}, {2, 4, 4, 10}}; RowReduce[tm] // TableForm Visar att det finns en en-parametrig lösning. Vi sätter z = 1 och utför bakåtsubstitution och får linjen linje[t_]:={-1,3,0}+t{0,-1,1} Håkan Strömberg 66 KTH Syd
67 INNEHÅLL Uppgift 4 Lös ekvationssystemet 3x+2y+z = 2 6x 4y 2z = 4 15x+10y+5z = 10 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen. Addera 2 gånger rad1 till rad2. Addera 5 gånger rad1 till rad Systemet har oändligt många lösningar. Här räcker det inte med att sätta z = t. Vi måste ta till ännu en parameter och sätter y = s. Detta ger x = t 2 3 s Lösningen är ett plan x = t 2 3 s y = s z = t a = {{3, 2, 1}, {-6, -4, -2}, {15, 10, 5}}; Det[a] tm = {{3, 2, 1, 2}, {-6, -4, -2, -4}, {15, 10, 5, 10}}; RowReduce[tm] // TableForm Visar att systemet har en två-parametrig lösning. Sätt z = t och y = s och utför bakåtsubstitution Vi får planet plan[s_,t_]:={2/3,0,0}+t{-1/3,0,1}+s{-2/3,1,0} Håkan Strömberg 67 KTH Syd
68 EKVATIONSSYSTEM Uppgift 5 Lös detta underbestämda ekvationssystem { 2x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 1 Vi vet att vi inte kan få någon entydig lösning då antalet obekanta är större än antalet ekvationer. 2 Ställ upp totalmatrisen 3 Använd Gausselimination för att lösa systemet Vi får totalmatrisen [ Addera 2 gånger rad1 till rad2 [ Ur detta får vi att z = 2. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får 3 ] ] 2x+3y+ 2 3 = 5 2x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x 2x+3t = 13 3 x = t 2 Lösningen är som väntat en linje Svar: x = 13 9t 6 y = t z = 2 3 Håkan Strömberg 68 KTH Syd
69 INNEHÅLL tm = {{2, 3, -1, 5}, {4, 6, 1, 8}}; RowReduce[tm] // TableForm Vi får ( Här ska man tänka sig en sista rad med idel 0:or. Om vi som vanligt skulle sätta z = t skulle vi få en motsägelse på rad 2, eftersom den ger z = 2. Istället får vi 3 sätta y = t och sedan lösa x = 13 9t och vi har linjens ekvation. 6 6 Håkan Strömberg 69 KTH Syd
70 INVERSMATRIS Inversmatris Uppgift 1 Bestäm inversen till matrisen C = Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination tills den högra delen av totalmatrisen är en enhetsmatris. Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad2 med Addera 3 gånger rad2 till rad Multiplicera rad3 med Håkan Strömberg 70 KTH Syd
71 INNEHÅLL Addera rad3 till rad2 Addera 2 gånger rad2 till rad Den sökta inversen är C 1 = c = {{1, -2, 0}, {0, -1, 1}, {-1, -1, 2}}; Inverse[c] // TableForm Håkan Strömberg 71 KTH Syd
72 INVERSMATRIS Uppgift 2 Bestäm inversen till A = ( När det gäller inversen till en (2 2-matris kan den direkt bestämmas med hjälp av följande formel ( 1 A 1 a11 a = 12 = a 21 a 22 1 ( a22 a 12 det(a a 21 a 11 A 1 = ( = 1 ( ( 4 1 = a = {{1, 2}, {3, 8}}; Inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 72 KTH Syd
73 INNEHÅLL Determinant Uppgift 1 Bestäm determinanten det(a = Använd någon av de minnesregler du lärt dig 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 det(a = = 21 a = {{1, 3, 1}, {-1, 2, 1}, {2, -2, 3}}; Det[a] Håkan Strömberg 73 KTH Syd
74 DETERMINANT Uppgift 2 Lös ekvationen x 1 2 2x x 3 = 0 1 Använd någon av de minnesregler du lärt dig för att bestämma determinanten 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 3 Lös ekvationen Från determinanten får vi Som har rötterna x 1 = 5 och x 2 = 3 12x x 2 6x = 0 3x x = 0 x 2 +2x 15 = 0 a = {{x, 1, 2}, {2 x, 0, 5}, {9, 3 x, 3}}; Solve[Det[a] == 0] Håkan Strömberg 74 KTH Syd
75 INNEHÅLL När har ekvationssystemet lösning Uppgift 1 För vilket eller vilka a saknar ekvationssystemet entydig lösning? 2x+3ay+2z = 7 x+2z = 3 2y+z = 4 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 2 3a a = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. m = {{2, 3 a, 2}, {-1, 0, 2}, {0, 2, 1}}; Solve[Det[m] == 0] Håkan Strömberg 75 KTH Syd
76 NÄR HAR EKVATIONSSYSTEMET LÖSNING Uppgift 2 För vilket eller vilka a saknar ekvationssystemet entydig lösning? ax+y+3z = 4 x+2y+5z = 7 3x+y+az = 2 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. Koefficientmatrisen är A = a a A = a a = 2a a+a = 2a 2 4a 6 Ekvationen 2a 2 4a 6 = 0 har rötterna a 1 = 1 och a 2 = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = 1 eller a = 3. m = {{a, 1, 3}, {-1, 2, 5}, {3, 1, a}}; Solve[Det[m] == 0] Håkan Strömberg 76 KTH Syd
77 INNEHÅLL Uppgift 3 Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. 5 Undersök med hjälp av Gausselimination om det för aktuella a finns en, ingen eller oändligt många lösningar { x+ay+2 a = 0 (2 ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a 2 (2 ax 3y = 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = 1 a 2 a 3 det(a = 3 a(2 a. det(a = 0 då a 2 2a 3 = 0, som har rötterna a 1 = 1 och a 2 = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 1 och a 2 3. Först sätter vi upp totalmatrisen då a = 1 och löser den. [ ] Addera 3 gånger rad1 till rad 2 [ Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] Addera rad1 till rad2. [ Vilket betyder oändligt många lösningar. Svar: Då a = 3 finns oändligt många lösningar. Då a = 1 finns ingen lösning. För övriga värden på a finns en entydig lösning. ] ] Håkan Strömberg 77 KTH Syd
78 NÄR HAR EKVATIONSSYSTEMET LÖSNING m = {{1, a}, {2 - a, -3}}; Solve[Det[m] == 0] ger att det finns unika lösningar för a 1 och a 3. Vi bildar totalmatrisen för a = 1 och får tm = {{1, -1, -3}, {3, -3, -1}}; RowReduce[tm] // TableForm ( som innebär ingen lösning. Vi bildar totalmatrisen för a = 3 och får tm = {{1, 3, 1}, {-1, -3, -1}} RowReduce[tm] // TableForm som innebär oändligt många lösningar. ( Håkan Strömberg 78 KTH Syd
KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merÖvningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1
Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merMoment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument
Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merTENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merÖvningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a
Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl
entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs mer1 Vektorer i koordinatsystem
1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merVeckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merTENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?
Läs merOctober 9, Innehållsregister
October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................
Läs merVektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.
Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merMoment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så
Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 016 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1.
Läs merMoment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.
Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs mer(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs mer===================================================
AVSTÅNDSBERÄKNING ( I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERAT KOORDINATSYSTEM ) Avståndet mellan två punkter Låt A ( x1, och B ( x, y, z) vara två punkter i rummet Avståndet d mellan A och B är d AB ( x z x1)
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merEnhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v
Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs mer. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Torsdag 22 augusti Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF90 Torsdag augusti Skrivtid: 4:00-8:00 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs 0 av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive 0 poäng
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna
Läs merBetygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merEftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:
MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merFöreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I
Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merVektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot
Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs merEXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON
EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merLinjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.
Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät
Läs merExplorativ övning Vektorer
Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merAvsnitt 4, Matriser ( =
Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merVektorer för naturvetare. Kjell Elfström
Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merLösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4
Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin Lösningsforslag till tentamen i SF64 den /0 007 Eftersom planet går genom punkten (,, 0, det har ekvation a(x + b(y + + cz = 0, där a, b, c är koefficienter
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs mer1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer
För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merTentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:
Tentamen 010-10-3 : Lösningar 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall: x 5 0 och 3 x > 0 x 5 och x < 3, en motsägelse, eller x 5 0 och
Läs mer4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade
Läs mer1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,
Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merÖvningstentamen i MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp
Övningstentamen i MA00 Tillämpad Matematik II, 7hp Tentamen består av 30 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal Varken räknedosa eller
Läs merSubtraktion. Räkneregler
Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom
Läs merMULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =
Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET
Läs merVektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.
Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på
Läs merMATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt
MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merAtt beräkna:: Avstånd
Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre
Läs merLYCKA TILL! kl 8 13
LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A
SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3
Läs merVektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson
Vektorgeometri En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 01 Innehåll 1 Inledning Geometriska vektorer.1 Definition av vektorer........................
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs mer