TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november Tentamen består av 3 sidor

Transkript

1 TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter, som var och en vid korrekt lösning ger 2 poäng (maxpoäng 24 Poäng Betyg A B C D E 9 Fx Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx. Vem som har rätt till komplettering framgår av betyget Fx på MINA SIDOR. Om komplettering blir godkänd rapporteras betyg E, annars rapporteras F. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar, som lämnas i på papper. Ingen hänsyn kommer att tas eventuella filer på tentamenskontot. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 1. Givet planet x+y+2z 3 = 0 och linjen x = 1+t y = 2 t z = 3+2t Bestäm vinkeln mellan planet och linjen Problem 2. För matrisen A(2 2 gäller att den är symmetrisk dess determinant är 10 tr(a = 12 Summan av matrisens samtliga element är 14 Bestäm matrisens element. (tr (trace är summan av elementen på huvuddiagonalen Problem 3. Bestäm x så att matrisen ( erhålles då dessa fyra matriser multipliceras samman 1 x 4 2 ( A = x B = x 2 1 x 3 0 x x 1 C = x 1 x D = 0 x x 2 3 x Problem 4. Man vet, att två av rötterna till en polynomekvation, med reella koefficienter, av fjärde graden har rötterna x 1 = 1 2i och x 2 = 2+i. Bestäm polynomet Problem 5. För vilka värden på a har ekvationssystemet 1, ingen eller oändligt många lösningar? x+z = 1 x+y+az = 0 ay 2z = 1 Problem 6. Givet de tre vektorerna v 1 = (0,2, 1, v 2 = (2, 2, 4, v 3 = (10,2,4. Uttryck u = (10,20,25 som en summa av vektorerna v 1, v 2, v 3 Problem 7. Skärningen mellan de två planen pl 1 och pl 2 bildar linjen l 1 pl 1 : (x,y,z = (4, 1,9 +s(5, 5,10 +t(3, 1,5 pl 2 : (x,y,z = ( 2,1,1 +s( 1, 3,2 +t( 6,2, 8 Skärningen mellan de två planen pl 3 och pl 4 bildar linjen l 2 pl 3 : (x,y,z = (0,2,0 +s(1, 4,1 +t( 1,0, 1 pl 4 : (x,y,z = (3,0, 2 +s(3, 2, 2 +t( 2,4, 2 Bestäm skärningspunkten mellan l 1 och l 2 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problem 8. Bestäm arean hos den triangel, där skärningspunkterna mellan linjerna x = 4+t x = 2 l 1 = y = 3 t l 2 = y = 11+2t z = 4+t z = 4 2t och planen utgör hörn i triangeln. x = 2+s t pl 1 = y = 3+2t z = 1+s Problem 9. Lös matrisekvationen x = 2+2s pl 2 = y = s t z = 2+2t där A = ( Problem 10. Lös ekvationen AX+BX = (C+BX+C B = ( C = 2x 5 + 2x 9 = 4 ( Problem 11. En student som lagt lite för mycket tid på sina studier den senaste tiden har drabbats av vitaminbrist. Hans läkare ordinerar honom därför 5 enheter A-vitaminer, 13 enheter B-vitaminer och 23 enheter C-vitaminer. Studenten har tre olika burkar med multi-vitaminer med följande innehåll (i enheter/piller. Sort A B C Pris (kr/piller HoppaHögt Gladaminer TaEnBlett a Finn alla kombinationer av piller som ger exakt rekommenderad dos. Endast hela piller är tillåtna. b Till höger i tabellen finns ett pris per tablett angivet. Vilken är den billigaste kombination av de som finns i svaret på a. Problem 12. Två flygplan rör sig i en rätvinklig bana så att deras positioner vid tiden t ges av x = 1+t x = 2+t y = 6 t y = 1+t z = 3 z = 1 t a Bestäm avståndet mellan linjerna. b Bestäm det minsta avståndet mellan flygplanen (I b kan det vara lämpligt att använda Minimize i Mathematica Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Svar 1. n är planets normalvektor. v är linjens riktningsvektor. n = {1, 1, 2}; v = {1, -1, 2}; ArcCos[n.v/(Norm[n]*Norm[v]]*180.0/Pi Vi får som är vinkeln mellan linjen och normalvektorn. Genom får vi Svar: Svar 2. Vi antar att A har följande utseende ( a c c b Vi kan ställa upp följande ekvationer som leder till ett icke linjärt ekvationssystem ekv1 = a*b - c^2 == 10; ekv2 = a + b == 12; ekv3 = a + b + 2 c == 14; Solve[{ekv1, ekv2, ekv3}] Svar: (a = 1,b = 11,c = 1 eller (a = 11,b = 1,c = 1 Svar 3. Vi definierar matriserna och bildar den enda möjliga ordningen hos matrismultiplikationen. Ekvationen ger oss svaret a = {{1, x, 4, -2}, {1, 0, -2, x}, {x, 3, 0, x}}; b = {{0, -1, 3}, {x, -2, 1}}; c = {{1, x, 1}, {x, 1, x}, {3, x, 1}}; d = {{-1, 1}, {0, x}, {x, -2}, {4, 0}}; Solve[b.c.a.d == {{14, 12}, {5, 9}}] Svar: x = 2 Svar 4. Vi känner till att komplexa rötter till polynomekvationer med reella koefficienter är parvis konjugerade och kan då ställa upp följande uttryck: Expand[(x-(1-2I(x-(1 + 2I(x-(-2+I(x-(-2-I] ger p(x = x 4 +2x 3 +2x 2 +10x+25 Svar 5. Vi definierar koefficientmatrisen M Vi tar reda på när det(m = 0 m = {{1, 0, 1}, {1, 1, a}, {0, -a, -2}}; Solve[Det[m]==0] Ekvationerna har lösningarna a = 1 och a = 2. Vi definierar totalmatrisen och ersätter samtidigt a med 1 tm = {{1, 0, 1, 1}, {1, 1, -1, 0}, {0, 1, -2, -1}}; RowReduce[tm] // TableForm Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Vi får Från detta sluter vi oss till att systemet har oändligt många lösningar då a = 1. Nu över till = 2 tm = {{1, 0, 1, 1}, {1, 1, 2, 0}, {0, -2, -2, -1}}; RowReduce[tm] // TableForm Vi får och ser att systemet saknar lösning då a = 2. Svar: Då a 1 och a 2 har systemet en entydig lösning. Då a = 1 har systemet oändligt många lösningar (en-parametrig lösning. Då a = 2 saknar systemet lösningar. Svar 6. v1 = {0, 2, -1}; v2 = {2, -2, -4}; v3 = {10, 2, 4}; u = {10, 20, 25}; Solve[h1*v1 + h2*v2 + h3*v3 == u] Vi får h1 = 3,h2 = 5,h3 = 2 och kan skriva Svar: u = 3 v 1 5 v 2 +2 v 3 Svar 7. Vi definierar de fyra planen pl1[s_, t_] := {4, -1, 9} + s {5, -5, 10} + t {3, -1, 5} pl2[s_, t_] := {-2, 1, 1} + s {-1, -3, 2} + t {-6, 2, -8} pl3[s_, t_] := {0, 2, 0} + s {1, -4, 1} + t {-1, 0, -1} pl4[s_, t_] := {3, 0, -2} + s {3, -2, -2} + t {-2, 4, -2} genom Solve[{pl1[s, t] == pl2[q, r]}] får vi ett underbestämt ekvationssystem med tre ekvationer och fyra obekanta med parameterlösningen q = s,r = 1 s,t = 0 pl1[s, 0] pl2[s,-1- s] // Simplify Dessa uttryck ger samma resultat, skärningslinjens ekvation som vi definierar l1[t_] := {4, -1, 9} + t {5, -5, 10} Samma rutin för de andra två planen ger Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Solve[pl3[s, t] == pl4[q, r]] med resultatet q = 1,r = t,s = t pl3[-t, t] pl4[-1, t] som båda ger skärningslinjens ekvation som vi definierar l2[t_] := {0, 2, 0} + t {-2, 4, -2} Solve[l1[t] == l2[s]] ger svaret s = 1 2, t = 1 som insatt i l2[1/2] eller l1[-1] båda ger Svar: ( 1, 4, 1 Svar 8. Först definierar vi de två planen och de två linjerna. Därefter tar vi fram skärningspunkterna mellan plan och linjer. pl1[s_, t_] := {2, 3, 1} + s {1, 0, 1} + t {-1, 2, 0} pl2[s_, t_] := {2, 0, 2} + s {2, 1, 0} + t {0, -1, 2} l1[t_] := {4, 3, 4} + t {1, -1, 1} l2[t_] := {2, 11, -4} + t {0, 2, -2} Solve[pl1[s, t] == l1[r1]] Solve[pl1[s, t] == l2[r2]] Solve[pl2[s, t] == l1[r3]] Solve[pl2[s, t] == l2[r4]] Vi får i tur och ordning följande värden r 1 = 2, r 2 = 3, r 3 = 3, r 3 = 8, som vi använder för att få fram punkterna. p = l1[-2] p1 = l2[-3] p2 = l1[3] p3 = l2[-8] Vi upptäcker att P = P 1 och förstår nu vilka tre punkter som utgör hörnen i triangeln. Nämligen dessa P 1 = (2,5,2, P 2 = (7,0,7 och P 3 = (2, 5,12. Vi använder nu formeln för arean till en triangel som spänns upp av två vektorer v och u A = u v 2 Vi bildar vektorerna med hjälp av punkterna och får v = p1-p2 u = p1-p3 Norm[Cross[v,u]]/2 Svar: 25 2 areaenheter Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Svar 9. Vi startar med att lösa ut X AX+BX AX+BX AX CX (A CX X = (C+BX+C = CX+BX+C = C = C = (A C 1 C Så definierar vi matriserna och skriver in högra ledet från lösningen ovan. a = {{1, 2}, {-2, 2}}; b = {{1, 4}, {6, 3}}; c = {{2, -1}, {-1, -2}}; Inverse[a - c].c Svar: X = ( Svar 10. Solve klarar inte den här ekvationen, inte heller Reduce innan vi lägger till att ekvationen ska lösas med avseende på x. Solve[Abs[2 x - 5] + Abs[2 x - 9] == 4] Reduce[Abs[2 x - 5] + Abs[2 x - 9] == 4] Reduce[Abs[2 x - 5] + Abs[2 x - 9] == 4, x] Vi får resultatet 5/2<=Re[x]<=9/2 && Im[x]==0 Vilket betyder att lösningen är ett intervall 5 2 x 9 2. En graf förklarar Plot[{Abs[2x-5]+Abs[2x-9], 4}, {x, 0, 7}, PlotRange->{0, 8}] Svar 11. Vi får ett ekvationssystem Systemet i en annan skepnad h+g = 5 2h+g+t = 13 4h+3g+t = 23 Vi undersöker om systemet har några lösningar h g t = Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 m = {{1, 1, 0}, {2, 1, 1}, {4, 3, 1}}; Det[m] Eftersom det(a = 0 har systemet ingen entydig lösning. Inte ens om man fick använda delar av piller. Vi undersöker nu med hjälp av RowReduce om det möjligen finns oändligt många lösningar. tm = {{1, 1, 0, 5}, {2, 1, 1, 13}, {4, 3, 1, 23}}; RowReduce[tm] // TableForm som ger Vi sätter z = t och gör en bakåt substitution som leder till linjen utefter vilken lösningarna ligger linje[t_] := {8, -3, 0} + t {-1, 1, 1} Table[linje[t], {t, 1, 10}] Genom Table får vi 10 lösningar. Eftersom vi inte tillåter negativa värden återstår endast som svar a losningar = {{5,0,3}, {4,1,4}, {3,2,5}, {2,3,6}, {1,4,7}, {0,5,8}}; pris={3,2,5}; Genom att beräkna losningar[[i]].pris får vi reda på dagspriset. pris = {3, 2, 5}; Table[losning[[i]].pris, {i, 1, 6}] som ger (30, 34, 38, 42, 46, 50 som leder till Svar: Kombinationen (h = 5,g = 0,t = 3 ger lägsta kostnaden 30 kr. (Observera att problemet kan, ganska enkelt, lösas för hand, vilket förstås är tillåtet Svar 12. Vi startar med att lösa b. Definierar linjerna och skapar en funktion avst[t] som bestämmer avståndet mellan flygplanen vid tiden t l1[t_] := {-1, 6, 3} + t {1, -1, 0} l2[t_] := {-2, -1, -1} + t {1, 1, -1} avst[t_] := Norm[l1[t] - l2[t]] Plot[avst[t], {t, -10, 10}] Minimize[avst[t], t] Minimize ger oss svaret 46, som inträffar vid tiden t = 2. Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 v = {1, -1, 0}; u = {1, 1, -1}; w = l1[t] - l2[s]; Solve[{v.w == 0, u.w == 0}] Som ger s = 4 3 och t = 3. Dessa värden insatt Norm[l1[3] - l2[4/3]] ger Svar: Håkan Strömberg 9 KTH Syd