Beräkna determinanten för produkten MMM Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området

Transkript

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt. TEN Datum: 11 augusti 015 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Inga Detta prov är avsett för examinationsmomentet TEN5 eller alternativt (det äldre) TEN. Provet består av åtta stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt poäng. För godkänd-betygen, 4, och 5 på TEN5 krävs erhållna poängsummor om minst 11, 16 respektive 1 poäng, och för betygen godkänd och väl godkänd på TEN krävs erhållna poängsummor om minst 11 respektive 18 poäng. Om den erhållna poängen benämns S a, och den vid tentamen TEN6/TEN4 erhållna S b, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S a 11, S b och S a + S b 41 S a 11, S b och 4 S a + S b 5 4 S a + S b 54 5 Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Vektorerna e 1, e, e bildar en ON-bas. Bestäm den ortogonala projektionen av vektorn 5e 1 + e e på vektorn e 1 e + e. Beräkna även dess längd.. Låt M = Beräkna determinanten för produkten MMM }{{... M }. 1 st. faktorer. Skissa, och bestäm arean av, det i det komplexa talplanet belägna området 1 z, π arg(z) π. 4. I den triangel som är illustrerad i figuren till höger ligger hörnen i punkterna A, B och C. Punkten D delar sträckan från A till B i förhållandet : 1, och punkten E ligger mitt emellan punkterna A och C. I det plan som bestäms av triangeln är basen e 1, e definierad på så sätt att de riktade sträckorna DB och DE är representanter för basvektorerna e 1 respektive e. Bestäm, uttryckt i basen e 1, e, den vektor som representeras av den riktade sträckan DC. x + 4y z = 7 5. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet x + y + z = 4 x y + 4z =? 6. Antag att vektorerna e 1, e, e utgör en HON-bas. Bestäm arean av det begränsade parallellogramområde som definieras av att vardera en representant för vektorerna e 1 e e och e 1 e +e sammanfaller med två av sidorna i parallellogrammen. 7. Bestäm den matris H som löser ekvationen ( ) 1 H 4 ( ) 1 1 = 4 ( ) Formulera på parameterfri form en ekvation för det plan π som innehåller punkterna A : (1,, 5), B : (4, 1, ) och C : (, 4, ). (HON-system)

2

3

4

5 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 Grundläggande vektoralgebra BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 014/15 Tentamen TEN5 / TEN e1 e e l.e. POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter 1p: Korrekt formulerat ett uttryck för den ortogonala projektionen, och korrekt beräknat minst en av skalärprodukterna i projektionsutrycket 1p: Korrekt bestämt den ortogonala projektionen 1p: Korrekt bestämt längden av den ortogonala projektionen. 1 Scenario 1 1p: Korrekt tillämpat produktregeln för determinanter, och därmed korrekt omskrivit determinanten till [ det( M )] 1p: Korrekt hanterat faktorn 1 1p: Korrekt (slut-)beräknat determinanten Scenario (förhoppningsvis ingen följare) p: Korrekt multiplicerat de nio matriserna och sedan beräknat determinanten för matrisprodukten. a.e. 1p: Korrekt i en skiss tolkat villkoret 1 z 1p: Korrekt i en skiss tolkat villkoret arg( z ) 1p: Korrekt bestämt arean av det givna området 4. u e1 e DC 1p: Korrekt funnit basvektorerna e1 u och e DB u DE uttryckta i en bas f 1,f som illustrerar två icke-parallella sidor av triangeln ABC 1p: Korrekt funnit basen f 1,f uttryckt i basen e 1,e 1p: Korrekt funnit u uttryckt i basen e 1,e DC Den som har angivit ett uppenbart felaktigt svar, och som inte har kontrollerat detta i en direkt vektoraddition, kan som mest få p totalt. 5. ( x, y, z) ( 1 t, 1 t, t), t R 1p: Korrekt eliminerat en av de obekanta från två av ekv:na 1p: Korrekt eliminerat i ytterligare ett steg och korrekt dragit slutsatsen att ekvationssystemet löses av oändligt många taltripler (oändligt många i den betydelsen att triplerna i praktiken motsvarar punkter på en rät linje) 1p: Korrekt angivit de taltripler som löser ekvationssystemet Den som har gjort ett och endast ett räknefel i den första eller alternativt i den andra elimineringen, och som sedan korrekt har tolkat det uppkomna ekvationssystemet, får 1p totalt. Den som sedan i en kontroll av den uppkomna lösningen konstaterat att den inte fungerar men som inte har funnit felet, kan få upp till p totalt såvida det framgår att studenten verkligen har ansträngt sig för att reda ut felet. 1 ()

6 6. 10 a.e. Scenario 1 p: Korrekt introducerat uttrycket u v för arean av parallellogramområdet, och korrekt bestämt den aktuella vektorprodukten 1p: Korrekt bestämt normen av den aktuella vektorprodukten, och därmed även den sökta arean Scenario p: Korrekt introducerat uttrycket basen ggr höjden dvs u ggr v sin( ) = u v sin( ) för arean av parallellogramområdet, och korrekt via ekvationen för skalärprodukt och den trigonometriska ettan om- formulerat uttrycket till att lyda u v ( u v) 1p: Korrekt bestämt ingående storheter och därmed även den sökta arean 1 7. H 8 11 Scenario 1 1p: Korrekt till formen löst ut matrisen H 1p: Korrekt inverstagit den matris som står till vänster om matrisen H i det ursprungliga uttrycket 1p: Korrekt multiplicerat de tre matriserna som ingår i uttrycket för H, och därmed korrekt funnit elementen i matrisen H 8. : 11x y 7z 55 0 Scenario Scenario 1 p: Korrekt till formen AH BA omskrivit matrisekvationen, korrekt ansatt elementen i den sökta matrisen H, och korrekt utfört matrismultiplikationerna i bägge leden 1p: Korrekt löst det uppkomna ekvationssystemet och sedan korrekt sammanställt matrisen H 1p: Korrekt funnit två vektorer som är parallella med planet 1p: Korrekt på parameterform funnit en ekvation för planet 1p: Korrekt, genom eliminering av parametrarna, på parameterfri form funnit en ekvation för planet Scenario 1p: Korrekt funnit två vektorer som är parallella med planet 1p: Korrekt vektormultiplicerat de funna vektorerna för att få en normalvektor till planet 1p: Korrekt som en skalärprodukt formulerat en ekvation för planet, och sedan utvecklat skalärprodukten Den som har gjort högst två eller alternativt fler än två subtraktionsfel i framtagandet av två vektorer parallella med planet kan få totalt p resp. 1p, förutsatt att ekvationsformuleringen är korrekt gjord utifrån uppkomna vektorer. Den som rent generellt har tolkat punkters koordinater som koordinater för vektorer parallella med planet får totalt 0p. ()