1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 =

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "1. Talföljden {t n } n=0 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 ="

Axel Torbjörn Persson
för 7 år sedan
Visningar:

1 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012 Skrivtid: 5 timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen består av åtta om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maimalt 5 poäng. Den maimalt möjliga poängsumman är således 40. För betygen 3, 4, 5 krävs minst 18, 26 respektive 34 poäng. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Talföljden {t n } n=0 inleds med elementen 0 och 0, dvs lyder 0, 0,.... Bestäm { hela talföljden 24, n = 13, då den för n 2 satisfierar differensekvationen 12t n 8t n 1 + t n 2 = 0, n Vid tidpunkten 0 finns det 20 gram av ämne A och 30 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 2 : 3 och bildar ämnet C, dvs för varje 5 gram av slutprodukten C så går det åt 2 gram av ämne A och 3 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoden av ämne A och återstoden i kvadrat av ämne B (bägge ämnena i gram räknade). Antag att det vid tidpunkten 1/16 minuter har hunnit skapats 10 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 11 minuter? 3. Bestäm och klassificera alla stationära punkter till systemet ( ) ( ) d/dt 4y 2y y 2 =. dy/dt 2 + y Ange om möjligt även klassificeringar med avseende på motsvarande linjariserade system. 4. Lös för t 0 integralekvationen 48 U(t 3) + 7 t där U är Heavisides enhetsstegfunktion. 0 y(τ) sin(3τ 3t) dτ = 3y(t), 5. Bestäm och skissa den kurva som vid tidpunkten 0 börjar i punkten (0, 2), och som satisfierar det linjära systemet ( ) ( ) d/dt + y =. dy/dt 4 y 6. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (2 + 3)y = ( + 1)y + ( + 2)y. 7. En rektangulär, värmeledande platta med sidlängderna 2 och 5 är placerad i ett koordinatsystem på så vis att två av sidorna tangerar de positiva koordinatalarna. De sidor som är parallella med -aeln är de kortare och hålls vid temperaturen 0 grader. Den sida som tangerar y-aeln hålls isolerad från omgivningen, medan dess motstående sida hålls vid temperaturen 3 grader. Bestäm den statiska temperaturfördelningen u i det inre av plattan om fördelningen antages lyda Laplaces ekvation i två dimensioner, u + u yy = Bestäm till differentialekvationen (y ) 2 = (y y )y den lösningskurva som i punkten med koordinaterna (ln(6), 4) har tangenten 3 + y = ln(216/e 4 ). Ange även eistensintervallet för lösningen.

6 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA134 Differentialekvationer och transformmetoder Datum: 26 mars 2012 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Tentamen BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN (mapoäng) för olika delmoment i uppgifterna 1. Talföljden t n = [3 { n} n=0 t har elementen 1 n 13 1 n 13 ( ) () ] u( n 13) 2 6 1p: Korrekt Z-transformerat differensekvationen 2p: Korrekt förberett för inverstagning 1 1p: Korrekt inverstagit (1 1 az ) p: Korrekt inverstagit z (1 az ) gram C ( t) = 50(1 1 ) 1+ 9t 1p: Korrekt uttryckt relationerna mellan A, B, och C 1p: Korrekt formulerat och löst differentialekvationen 2p: Korrekt bestämt förekommande konstanter 1p: Korrekt angivit värdet på C (11) 3. ( 0,0) är en instabil SP (sadelpunkt för motsv. LS) ( 0,4) är en asymptotiskt stabil SP (stabil spiralpunkt för ) ( 3, 2) är en instabil SP (instabil nod för ) 1p: Korrekt bestämt de stationära punkterna 1p: Korrekt linjariserat i de stationära punkterna 3p: Korrekt klassificerat de stationära punkterna, och då även m.a.p. på motsvarande linjariserade system 4. ( t) = ( cos[4( t 3)] ) U ( t 3) y 1p: Korrekt identifierat integralen som en faltning av y (...) och sin(3...) 1p: Korrekt Laplacetransformerat integralekvationen 1p: Korrekt förberett för en inverstransformering 2p: Korrekt utfört inverstransformeringen 5. sin(2t) X ( t) = e 2cos(2t) t Scenario 1: Scenario 2: 1p: Korrekt bestämt egenvärden och egenvektorer till systemmatrisen 2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan 1p: Korrekt utfört en Laplacetransformering 1p: Korrekt förberett för inverstransformering genom att algebraiskt korrekt ha funnit transformuttrycken för lösningarna och y 1p: Korrekt utfört inverstransformeringen 2p: Korrekt skissat lösningskurvan 6. y y 1 = e till DE 2p: Korrekt genomfört en variation av parameter 2p: Korrekt sammanställt den allmänna lösningen till DE 2 = C1 e + C2 ( +1) e 1p: Korrekt funnit lösningen nπ n 6(1 ( 1) ) cosh( 5 ) nπ y 7. u(, y) = nπ sin( 5 ) nπ 2 cosh( ) n= 1 8. y = 2 e 2 I E = (ln( 2), ) 5 2p: Korrekt behandlat y -delen 1p: Korrekt behandlat -delen 2p: Korrekt bestämt Fourier-sin-koefficienterna, och korrekt sammanställt lösningen 2p: Korrekt genomfört substitutionen y ( ) = u( y( )), och korrekt gjort en första integrering 2p: Korrekt gjort en andra integrering 1p: Korrekt angivit eistensintervallet

Relevanta dokument

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen.

dx/dt x y + 2xy Ange även ekvationerna för de mot de stationära punkterna svarande linjariserade systemen. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder