, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Fordringar: 3: 5-9p; 4: -4p; 5: 5p-, inklusive bonus Uppgifterna:,4, 8 ger 3 poäng; - 3, 5, 7 ger 4 poäng, 6 ger 5 poäng Bestäm den lösning till differentialekvationen x y + 3xy = sin x x som uppfyller villkoret y( ) =, x > Differentialekvationen omformas till x 3 y + 3x y = sinx Vänstra ledet är en derivata (x 3 y ) = sinx Integrera map x : x 3 y = cosx + C Villkoret ger = cos + C, C = Insättning ger: x 3 cosx y = cosx, y = SVAR: Den lösning som uppfyller differentialekvationen och villkoret är y = cosx x 3 x 3 En tavla som är till salu påstås vara 4 år gammal Pigment i målningen innehåller vitt bly med halveringstiden år Noggranna mätningar ger vid handen att 3/3 av den ursprungliga mängden vitt bly har sönderfallit Antag att sönderfallshastigheten är proportionell mot mängden vitt bly Är en tavelskojare i farten? Avgör tavlans ålder Låt N(t) vara mängden vitt bly i målningen vid en godtycklig tidpunkt t Sönderfallshastigheten är proportionell mot mängden vitt bly, dvs dn dt = kn där k är proportionalitetsfaktorn Den allmänna lösningen är N(t) = Ce kt Sätt för t = N = N Vi erhåller:n(t) = N e kt Halveringstiden är år vilket insatt i lösningen ger N = N ek k = ln = ln, N(t) = N e t ln = N t Vi bestämmer tiden t då N = ( 3 3 )N = t 3 N : 3 N = N, 5 = t, t = år SVAR: Det är en tavelskojare i farten, ty tavlans ålder är år, ej 4 år 3Sök allmänna lösningen till X = AX, där A = Vad är hastighetsvektorn då X = 4 Avgör även en partikels öde om den vid tiden t = 5 befinner sig i punkten (,4) Vi börjar med att bestämma egenvärden och därefter egenvektorer till matrisen A = det(a I) = 4 = ( ) 4 = ( + )( ) = (3 )( ) Egenvärdena blir = 3, = Bestäm motsvarande egenvektorer K, där (A I)K = = 3 4 K =, K = k, k R = 4 K =, K = k, k R 4?

2 Motsvarande lösningar blir: = 3 : X = e3t = X = e t Den allmänna lösningen erhålles som linjärkombinationer av X och X X = c X + c X = c e 3t + c e t = e3t e t c e 3t e t c Hastighetsvektorn X = AX för X = 4 blir X = 4 4 = 3 Observera att punkten (,4) ligger på den räta linje vars riktningsvektor ges av Då t växer går partiklen mot origo SVAR: Den allmänna lösningen X = c e 3t + c e t = Hastighetsvektorn X = 3 e3t e 3t e t c e t c Partikeln går mot origo då t växer obegränsat 4 Antag att (x +) y + x y y =, x > En lösning till denna ekvation är y(x) = e x Bestäm allmänna lösningen En lösning är given Använd reduktion av ordning Insättning av y = e x z, y = e x z e x z, y = e x z e x z + e x z i differentialekvationen ger: (x +)(e x z e x z + e x z) + x (e x z e x z) e x z =, (x +) z + z ( (x +)+ x) = Reducera ordningen Sätt: u = z, u = z (x +) u + u( x ) = u u = x + x + = + x + Integrera map x: ln u = x + ln x + + ln C, u =±C (x +)e x = C (x +)e x, z = C (x +)e x Integrera map x: z = C xe x + C 3 y = e x z = e x (C xe x + C 3 ) = C x + C 3 e x SVAR: Den allmänna lösningen är y = C x + C 3 e x 5 Ett mekaniskt system styrs av ekvationen x + 5 x + 4x = b(t), där b(t) =, < t <, för övrigt Systemet startar i vila x() =, x () = Bestäm x(t) för t > Tolka den givna differentialekvationen fysikaliskt Laplacetransformera differentialekvationen s X(s) sx() x () + 5(sX(s) x()) + 4X(s) = s e s s e s, (s + 5s + 4)X(s) = s (e s e s ) X(s) = s(s +)(s + 4) (e s e s ) = ( 4 s 3 s + + s + 4 )(e s e s ) Återtransformera: x(t) = U(t )( 4 3 e (t ) + e 4( t ) ) U(t )( 4 3 e (t ) + e 4( t ) ) Differentialekvationen representerar rörelsen för en partikel som påverkas av tyngdkraft, dämpning, fjäderkraft samt en kraft Kraften är noll utom i intervallet från ett till två Differentialekvationen representerar även laddningen i en kondensator i en seriekopplad elektrisk krets innehållande motstånd, kondensator, spole samt en spänningspuls SVAR: Den sökta lösningen x(t) = U(t )( 4 3 e (t ) + e 4( t ) ) U(t )( 4 3 e (t ) + e 4( t ) )

3 6 a) En lösning till begynnelsevärdesproblemet y = y 3, y() = ges av y Är lösningen entydig? Motivera! b) y = x 3 är en lösning till y = 3y 3, y() = Är lösningen entydig? Motivera! c) Ange det största intervall i vilket lösningen till ekvationen y = 3x (y +), y() = existerar Är lösningen entydig? Motivera! a) En lösning är y och den är entydig, ty f (x,y) = y 3 och b) f y = 3y är kontinuerliga Lösningen är ej entydig, ty en lösning är y = x 3 och en annan lösning är y c) Vi börjar med att lösa differentialekvationen, vilken är separabel Omformning ger: y + y = 3x Integrera map x : arctan y = x 3 + C Villkoret ger: C = arctan = 4 Differentialekvationens lösning ges av: y = tan(x ) Det definitionsområde som innehåller x = är: x: < x 3 + < 4 = x: 3 4 < x 3 < 4 = x: 3 3 < x < 4 Lösningen är entydig, ty f (x,y) = 3x (y +) och SVAR: a) Entydig lösning b) Ej entydig lösning 3 4 f y = 6x y är kontinuerliga c) Det största intervallet i vilket lösningen existerar är x: 3 3 < x < 4 7 Bestäm och klassificera de kritiska punkterna till systemet: 3 4 x = 3x + y + y = x y Entydig lösning Bestäm först de kritiska punkterna I de kritiska punkterna är tangentvektorn lika med nollvektorn Tangentvektorn x y = 3x + y + x y Vi erhåller följande icke-linjära ekvationssystem: 3x + y + = x 3x + = x y, y =±x, (x )(x ) = y =±x De kritiska punkterna är: (,), (, ), (,) och (, ) För att klassificera de kritiska punkterna studeras dessa lokalt Vi kan då antingen införa ett nytt koordinatssystem med origo i den kritiska punkten och ta med den linjära delen av systemet eller direkt bestämma Jacobimatrisen i den kritiska punkten Vi väljer det senare Tangentvektorn x y = 3x + y + 3 y = g(x) x y ger oss Jacobimatrisen g (X) = x y Insättning av respektive punkt ger oss en matris, vars egenvärden avgör typ och stabilitet

4 Egenvärdena kan erhållas med hjälp av determinanten och spåret :, = ± a) Punkten (,) ger g (,) = 3 = och spåret = 5 Skilda reella egenvärden som är negativa innebär att den kritiska punkten är en stabil nod 3 b) Punkten (, ) ger g (, ) = = och spåret = 4 Skilda reella egenvärden med olika tecken innebär att den kritiska punkten är en sadelpunkt och därmed instabil c) Punkten (,) ger g (,) = = 4 och spåret = 7 Skilda reella egenvärden med olika tecken innebär att den kritiska punkten är en sadelpunkt och därmed instabil d) Punkten (, ) ger g (, ) = = 4 och spåret =, 4 = 6 = 5 < Komplexa egenvärdena med med spåret > innebär att den kritiska punkten är en instabil spiralpunkt SVAR: (,) är en stabil nod (, ) och (,) är sadelpunkter och därmed instabila (, ) är en instabil spiralpunkt u 8 Lös Laplaces ekvation x + u = i rektangeln < x <, <y < med randvärdena y u(,y) = u(,y ) = u(x,) =, u(x,) = Vi löser problemet med variabelseparationsmetoden Sätt: u(x,y) = X(x)Y (y) Insåttning i differentialekvationen ger: X (x)y (y ) + X (x) Y (y ) = X (x) Dividera med X(x)Y (y): X (x) = Y (y) = konstant =, R Y(y) Den partiella differentialekvationen övergår i ett system av ordinära differentialekvationer X (x) X(x) = Y (y ) + Y (y) = För "X-ekvationen" behandlas tre olika fall: >, = och < >, =, R = <, =, R X (x) = A e x + B e x X (x) = A x + B X (x) = A 3 cos x + B 3 sin x Variabelseparationen och villkoren u(,y) = u(,y ) = ger X ()Y (y) = X( )Y (y) = Detta skall gälla för alla aktuella y Ger att X () = X( ) = >, =, R = <, =, R = X () = A + B = X () = B = X () = A 3 = X ( ) = A e + B e = X( ) = A + B = X( ) = A 3 cos + B 3 sin Endast den triviala lösningen = n, n N X (x) = B 3 sin nx Endast den triviala lösningen Detta system har icke-triviala lösningar då Vi erhåller icke-triviala lösningar endast då separationskonstanten =, R X (x) + X (x ) = Systemet är då: Y (y ) Y(y) =

5 Nu över till "y-ekvationen" Den har lösningen: Y (y) = Ce ny + De ny Villkoret u(x,) = och variabelseparationen ger: X(x)Y () =, vilket skall gälla för alla aktuella x Vi erhåller: Y () = Detta ger oss: = Y () = C + D, D = C Y (y) = C(e ny e ny ) Superpositionsprincipen ger: u(x,y) = a n (e ny e ny )sin nx Det återstår att bestämma a n Det resterande villkoret u(x,) = ger: = u(x,) = a n (e n e n )sin nx n= Här är a n (e n e n ) fourierkoefficienterna för den udda funktion som på intervallet (, ) är lika med Vi erhåller: a n (e n e n ) = sin nxdx = cosnx n cos n u(x,y ) = n(e n e n ) (eny e ny )sin nx n= SVAR: Den sökta lösningen är: u(x,y ) = n = [ ] = cosn n cos n n(e n e n ) (eny e ny )sin nx n=, a n = cos n n(e n e n )