För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

Transkript

1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa Svaren skall ges på reell form Del Modul En matematisk modell ges av dp(t) = P(t)(a + bp(t)) c, där a = 5, b = och c = dt Hur kan denna modell tolkas? Studera lösningskurvorna och bestäm vad som händer efter lång tid för alla startvärden P() Den matematiska modellen är en populationsmodell P(t) är antalet individer vid tiden t ( ), där b är negativ Födelsehastigheten är ap(t) och dödshastigheten är b P(t) c är antalet som per tidsenhet som flyttar ut Insättning av de givna konstanterna ger dp(t) = (5 P(t))P(t) = 5P(t) P (t) = (P(t) )( P(t)) dt Här finns två stationära lösningar, P(t) = och P(t) = För startpopulationer P() i intervallet till är derivatan negativ och populationen dör ut För startpopulationen P() lika med är derivatan noll och populationen förblir lika med ett För startpopulationer P() i intervallet till är derivatan positiv och populationen väande För startpopulationer P() större än är derivatan negativ och populationen avtagande Efter lång tid kommer populationen att dö ut om startpopulationen är mindre än Är startpopulationen större än kommer den efter lång tid att gå mot För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant SVAR: Efter lång tid kommer populationen att dö ut om startpopulationen är mindre än Är startpopulationen större än kommer den efter lång tid att gå mot För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant Modul Låt y = 3 vara en lösning till differentialekvationen y y 3y =, > Bestäm den lösning till differentialekvationen y y 3y = 3, > som uppfyller villkoren y() = och y () = Vi reducerar ordningen hos den inhomogena differentialekvationen genom att utnyttja en lösning till den homogena differentialekvationen Sätt: y = 3 z, y = 3 z + 3 z och y = 3 z + 6 z + 6z Insättning i den inhomogena differentialekvationen ger ( 3 z + 6 z + 6z) ( 3 z + 3 z) 3 3 z = 3 Förenkling ger: 5 z + 5 z = 3 Vi väljer bland två olika vägar Den ena är att sätta u = z, u = z Den andra är att konstatera att vänstra ledet är en derivata Differentialekvationen 5 z + 5 z = 3 övergår ( 5 z ) = 3 Integrera med avseende på 5 z = + C z = + C 5 Integrera med avseende på z = ln C + C Den ursprungliga inhomogena differentialekvationen har den allmänna lösningen

2 y = 3 (ln C 3 + C ) = 3 ln C 3 + C 3 Det återstår att bestämma den lösning som uppfyller villkoren y() = och y () = y = 3 ln + + C 3 + C 3 = y() = C 3 + C C = = y () = + C 3 + C 3 C 3 = Insättning av konstanterna ger: y = 3 ln, > SVAR: Den sökta lösningen är y = 3 ln, > Modul 3 Den -periodiska funktionen g ges av g() = +, <, << Bestäm g :s fourierserie samt beräkna med hjälp av denna summan av serien m = (m + ) Den givna funktionen är jämn g :s fourierserie är på formen a + a cosn n där n = a n = ( + )cos nd = ( + ) sin n n [ n ] sin d n a n = cosn [ n ] = cos n n a = ( + )d = + g :s fourierserie är + cosn + cosn n n= För att bestämma den sökta seriens summa utnyttjar vi fourierseriens konvergens Fourierserien konvergerar mot medelvärdet av funktionen i den aktuella punkten Välj = vilken är en kontinuitetspunkt Vi får = g() = + cosn + n, n= = cosn n, cosn = ( ) n, n=, n=m cosn = ( ) n =, n=m+ = m = (m + ) 8 [ ] = + SVAR: g :s fourierserie är + cosn + cosn n n= Den sökta seriens summa = m = (m + ) 8 Del t Bestäm y( 3 ) då y (t) + y(t u)cos 3udu = (t ) och y() = Vi bestämmer först ekvationens lösning och därefter insättes det aktuella t-värdet Laplacetransformera ekvationen och lös ut den obekanta funktionens laplacetransform

3 s sy (s) + Y(s) s + 3 = e s s +3 s 3 + s = s + 3 (s + )s = Y(s) s3 + 3s + s = e s + s, Y(s) = e s s s 3 + s + s + 3 s 3 + s Partialbråksuppdela den rationella funktionen 3 Y(s) = e s (3 s + Återtransformera s s + s + s s + ) + 5( 3 s + s s + ) y(t) = U(t ) (3 + cos(t ) + 5(3 + cost) Nu över till bestämning av funktionsvärdet y( 3 ) = U(3 ) (3 + cos( 3 )) + 5(3 + cos3) = + 5 = y( 3 ) = SVAR: Det sökta funktionsvärdet y( 3 ) = Undersök om differentialekvationen ( +) y ( +)y + =, > har några lösningar y() med egenskapen att y(), då Ange alla sådana lösningar, om de nu finns Den givna differentialekvationen är linjär av första ordningen, vilken löses med hjälp av integrerande faktor y y = + d En integrerande faktor är e = e ln =e ln = Multiplicera differentialekvationen med integrerande faktorn y y = + y 3 y =, ( +), Integrera med avseende på y = ln( +) ln + C y = ln( + ) + C Nu över till villkoret y(), då y = ln( + ) + C Omformning med hjälp av MacLaurinutveckling ger ln( + ) = ( + O( )) = + O( ), Villkoret y() SVAR: Den sökta lösningen är, då är uppfyllt då C = y = ln( + ), > d ( d y) = +

4 3 Vad menas med fundamentallösningar till systemet av linjära differentialekvationer X = AX Systemet har följande lösningar: X = et, X e t = e3t, X e 3t 3 = et och X 7e t = et + 3e 3t e t + 3e 3t Bestäm en fundamentalmatris till systemet Bestäm därefter den konstanta matrisen A Låt matrisen B vara och ha multipelt egenvärde med endast en tillhörande egenvektor K Ange först en lösning, X, till systemet X = BX MatrisenB är konstant Redovisa därefter hur en av X linjärt oberoende lösning till systemet kan bestämmas Fundamentallösningar är linjärt oberoende lösningar som spänner upp lösningsrummet För att bestämma en fundamentalmatris behövs i detta fall två linjärt oberoende lösningar X och X är linjärt oberoende av varandra Däremot ärx 3 linjärt oberoende av X Vidare är X en linjärkombination av X och X Vi väljer X och X Då bli en fundamentalmatris Φ = et e 3t e t e 3t Varje kolonn i fundamentalmatrisen uppfyller systemet Vi har ekvationen Φ = AΦ Vi får den konstanta matrisen A genom att multiplicera från höger med fundamentalmatrisens invers Vi erhåller A = Φ Φ Fundamentalmatrisens invers Φ = e 3t e 3t = e t e t e t e t e t e 3t e 3t Vi får A = et 3e 3t e t e t = e t 3e 3t e 3t e 3t 5 En lösning är X = e t K Vi ansätter X = e t (Et + F) där E och F är konstanta matriser Insättning i systemet X = BX ger e t (Et + F) + e t E = Be t (Et + F) t : E = BE (B I)E = (B I)E = Identifiering ger följande system: t : F + E = BF (B I)F = E (B I) F = Matrisen E är en egenvektor till B och F en generaliserad egenvektor till B SVAR: En fundamentalmatris är Φ = et e 3t och matrisen A = e t e 3t 5 För övrigt se ovan a) Bestäm de lösningar till differentialekvationen y + y =, är större än noll, som uppfyller randvillkoren y()= och y () = b) Visa att de i a) erhållna funktionerna, som är linjärt oberoende, är ortogonala på intervallet [,] c) Bestäm de lösningar till den partiella differentialekvationen u t = u som uppfyller randvillkoren u(,t) = och u (,t) = a) är större än noll gör att vi kan sätta = där R Insättning i differentialekvationen ger y + y = De karakteristiska rötterna är r = ±i Lösningarna är på formen y = Acos + Bsin Vi utnyttjar de givna randvillkoren Då behövs även y = Asin + B cos y() = = A Randvillkoren ger oss följande system: y () = = Asin + B cos (n ) Icke-triviala lösningarna erhålles då cos =, dvs då =, n=,, (n ) De icke-triviala lösningarna är på formen y = B n sin, n =,,

5 (n ) (m ) b) Vi visar att inre produkten sin sin d =, n m Vi omformar vänstra ledet VL = (n m) cos cos (n + m ) d [ ] = Integration ger: VL = (n m) sin(n m) + sin(n m ) (n m ) (n ) (m ) Vi har erhållit sin sin d =, n m c) Vi använder variabelseparation för att bestämma lösningar till den partiella differentialekvationen u t = u Sätt u(,t ) = X()T(t) X () Insättning ger: X() T (t) = X ()T(t) Denna ekvation kan skrivas X() = T (t) T(t ) = konstant = X () X() = Den partiella differentialekvationen övergår i ett system: T (t) T(t) = Här observerar vi att -ekvationen med motsvarande randvillkor svarar mot deluppgift a Med = övergår -ekvationen i X () + X() = Randvillkoren u(,t) = och u (,t) = tillsammans med variabelseparationen u(,t ) = X()T(t) ger randvillkoren X()= och X () = (n ) Detta innebär att X = B n sin, n=,, ( n ) t Vidare har "T-ekvationen" lösningar på formen T = C n e, n =,, Lösningar till den partiella differentialekvationen är på formen ( n ) t (n ) u n (,t) = a n sin e, n=,, Även linjärkombinationer är lösningar (n ) u(,t) = c n u n (,t) = b n sin n= n = e ( n ) t SVAR: a) De icke-triviala lösningarna är på formen y = B n sin b) Se ovan c) u(,t) = b n sin n = (n ) e ( n ) t (n ), n =,, 5 Tillväten av en cell beror av flödet av näringsämnen(som eempelvis aminosyror) genom det omslutande cellmembranet Låt W (t) vara cellens massa i gram vid tiden t, mätt i timmar, med W ()=W Antag att massans tillväthastighet är proportionell mot membranets yta och att densiteten (i g/volymsenhet) är konstant Cellen förutsätts ha formen av ett klot (en sfär) a) Härled att differentialekvationen för W bör ha formen dw dt = kw 3 där k är en konstant b) Bestäm W (t) om W = 6 g och om massan efter timme är, 3 6 g (,33 6 g) c) Antag att cellen börjar dela sig då massan fördubblats, dvs är 6 g 3 När startar celldelningen? (För ett numeriskt värde behövs att,6) a) Cellens massa är W = V = 3 r3, är densiteten och r är sfärens radie

6 Membranets area är A = r Uttryck A i W A = (( 3W ) 3 ) 3 = (( ) 3 W 3 = k W 3 Massans tillväthastighet är proportionell mot membranets area ger: dw dt = k A = k k W 3 = kw 3 b) dw dt = kw 3 är separabel, dock saknar den triviala lösningen intresse Omforma differentialekvationen: W 3 dw dt = k Vi integrerar med avseende på t: 3W 3 = kt + C Begynnelsevillkoret W ()= 6 ger: 3( 6 ) 3 = C, C=3 3W 3 = kt + 3 Bestäm k Efter timme är massan, 3 6 g 3(, 3 6 ) 3 = k + 3, k = 3, = 3 3, 3W 3 = 3 3 t + 3 Cellens massa vid tiden t ges av W (t) = 6 (,t +) 3 g c) Bestäm tidpunkten, t, då cellens massa är fördubblad 6 = 6 (,t +) 3, t = ( 3 ) (,6 ) =,6 Cellens massa är fördubblad efter,6timmar SVAR: a) se ovan b) Cellens massa vid tiden t ges av W (t) = 6 (,t +) 3 g c) Cellens massa är fördubblad efter,6timmar