Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

Transkript

1 Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem Searabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesroblem Värmeledningsekvationen Vågekvationen alace ekvation.

2 Variabelsearation. u = u + u x y Ansats : u(x, y) = X(x)Y(y). X (x)y(y) = X(x)Y(y) + X(x) Y (y) Dividera med X(x)Y(y).

3 X (x) X(x) =1 + Y (y) Y(y) = konstant = X (x) X(x) = Y (y) ( 1)Y(y) = X(x) = Ae x Y(y) = Be ( 1) y

4 u (x,y) = (AB) e x+( 1) y = c e x+ ( 1) y u(x,y) = c e x +( 1)y Villkor : u(x, ) = 5e 3x 4e x. u(x,) = 5e 3x 4e x = c e x

5 Identifiering ger : = -3, c -3 = 5 = 1, c 1 = -4 Övriga c =. u(x,y) = 5e 3x 4y 4e x

6 Partiella differentialekvationer, PDE. k a 2 2 u x 2 = u t, k >. Värmeledningsekvationen. 2 u 2 x = u 2 t. Vågekvationen. 2 2 u x u y 2 =. alace ekvation.

7 Variabelsearation. a 2 2 u x 2 = 2 u t 2. Vågekvationen. Ansats : u(x,t) = X(x)T(t). a 2 X (x)t(t) = X(x) T (t) X (x) X(x) = T (t) a 2 T(t) = konstant =

8 Ett system av okolade ODE erhålles. X (x) X(x) = T (t) a 2 T(t) = injära med konstanta koefficienter. Tre olika fall : >, =, <.

9 >, = 2, R. X (x) 2 X(x) = ösningarna ges av X(x) = A 1 e x + B 1 e x. Motsvarande för "T - ekvationen" ger : T(t) = C 1 e a t + D 1 e a t.

10 = X (x) = X(x) = A 2 x + B 2 T(t) = C 2 t + D 2

11 <, = - 2, R. X (x) + 2 X(x) = X(x) = A 3 cos x + B 3 sin x T(t) = C 3 cos a t + D 3 sin a t

12 Vi söker den lösning som ufyller de givna randvillkoren. u(,t) = u(,t) = Därefter anassar vi lösningen till begynnelsevillkoren. u(x,) = 1 4 x( x), u (x, ) = t

13 Substitutionen ger att randvillkoren kan skrivas = u(,t) = X()T(t) = u(,t) = X()T(t) Dessa samband skall gälla för alla t. Detta innebär att : = X(), = X(). Vi studerar de tre olika fallen.

14 >, = 2, R. ösningarna ges av X(x) = A 1 e x + B 1 e x. = X() = A 1 + B 1 = X() = A 1 e + B 1 e B 1 = A 1 A 1 (e e ) = Endast den triviala lösningen A 1 = B 1 =.

15 = X(x) = A 2 x + B 2 T(t) = C 2 t + D 2 = X() = B 2 = X() = A 2 + B 2 Endast den triviala lösningen A 2 = B 2 =.

16 <, = - X(x) = A 3 cos 2, R. x + B 3 sin x = X() = A 3 = X() = A cos + B sin 3 3 B sin = 3 B 3 = ger endast den triviala lösningen. Däremot ger sin = följande : = n, n Z.

17 X(x) = B 3 sin n x Motsvarande för "T - lösningen": T(t) = C 3 cosa n t + D 3 sin a n t. En lösning som satisfierar differentialekvationen och de givna randvillkoren är : u n (x,t) = B 3 sin n x { C 3 cosa n t + D 3 sina n t }

18 Varje linjärkombination av lösningar är en lösning. u(x,t ) = { a n cosa n t + b sin a n n t } sin n x n=1 Det återstår nu att bestämma konstanterna a n och b n. Begynnelsevillkoren ger oss dessa. t u(x,t) = a n { a sin a n n t + b cosa n n t } sin n x n =1

19 u(x,) = a n sin n n=1 x = 1 4 x( x) (#) t u(x, ) = a n b n sin n x = n=1 (##) Multilicera (# ) med sin m x och integrera från till.

20 sin m x a sin n n xdx = sin m x n=1 sin n x sin m x dx = 1 2 sin n x sin m x (n m) x cos 1 4 cos [ ] = dx = n m x( x)dx (n + m) x dx

21 = 1 2 (n m) sin (n m) x (n + m) sin (n + m) x = sin m x sin n x [ ] = dx = n = m sin m x sin n x dx = cos 2m x dx = 2

22 a n 2 = sin n x 1 4 x( x)dx a n = 2 1 x( x) sin n 4 x dx = = 2 { x( x) 4 n cos n x 2x 4 n cos n x dx } = = 2 { + n { 2x 4 n sin n x 2 4 n sin n x dx }}=

23 = 2 { + n = { 2 4 n n cos n x, n = 2m 2 2, n = 2m (2m +1) }}= (1 cos n ) = n b n = u(x,t ) = { a n cosa n t + b sin a n n t } sin n x n=1 2 2 (2m +1) u(x,t ) = { cosa t} sin (2m +1) 3 3 m = (2m +1) x

24 Ortogonala funktioner och Fourierserier Ortogonala funktioner Fourierserier Fouriercosinus- och sinusserier.

25 Inrerodukt (f 1, f 2 ) = f 1 (x )f 2 (x )dx b a

26 Några trigonometriska formler 2sin sin = cos( ) cos( + ) 2sin cos = sin( ) + sin( + ) 2 cos cos = cos( ) + cos( + )

27 Ortogonalrelationer 1 cos m x dx =, m > 1 sin m x dx =, m >

28 cos m x sin n x dx = cos m x cos n x dx =, m n, m = n sin m x sin n x dx =, m n, m = n

29 Funktionsföljden 1, cos x, cos 2 x,.cos. m x.., sin x,sin 2 x,..sin n x.. är ortogonal å intervallet [,] med den inre rodukten (f 1, f 2 ) = f 1 (x)f 2 (x )dx

30 Trigonometrisk serie f (x) = a n=1 2 + ( a n cos n x + b n sin n x )

31 Fourierserien till en funktion f definierad å intervallet (,) ges av n=1 f (x) = a 2 + ( a cos n x n a = 1 b n = 1 f (x )dx a n = 1 n x f (x )sin dx + b n sin n x ) n x f (x )cos dx

32 f (x )dx = { a 2 + ( a cos n x n n=1 + b n sin n x ) }dx f (x )sin m x dx = { a 2 + ( a cos n x n n=1 + b n sin n x ) }sin m x dx f (x )cos m x dx = { a 2 + ( a cos n x n n=1 + b n sin n x )} cos m x dx

33 Konvergensvillkor. åt f och f vara styckvis kontinuerliga å intervallet (,). Då konvergerar f :s Fourierserie mot f (x+) + f (x ) 2.

34 Fourierserier för udda och jämna funktioner. Jämn funktion : f ( x) = f (x), x I. Udda funktion : f ( x) = f (x), x I.

35 Fourierserien för en jämn funktion å intervallet (, ). f (x) = a 2 + a cos n x n a = 2 n=1 f (x)dx a n = 2 n x f (x) cos dx

36 Fourierserien för en udda funktion å intervallet (, ). f (x) = n=1 b n sin n x b n = 2 f (x)sin n x dx