1. Använd Laplacetransformen för att lösa differentialekvationen (5p) y (t) y(t) = sin 2t, t > 0 y(0) = 1

Transkript

1 Matematik Chalmer Tentamen i TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3 Telefon: Maximilian Thaller, Hjälpmedel: Endat tabell på bakidan av teen. Kalkylator ej tillåten. Betyggräner, 3: -7p, 4: 8-3p och 5: 4-3p Löningar/Grankning: Se kurhemidan.. Använd Laplacetranformen för att löa differentialekvationen (5p) { y (t) y(t) = in t, t > y() =. Låt f(x) = x och g(x) = x, där x [, ]. a) Via genom att beräkna normer och kalärprodukter att Cauchy-Schwarz olikhet är uppfylld för f, g. (p) b) Hitta en funktion h P (, ) om är ortogonal mot f. (p) 3. a) Betäm Fouriererien till den -periodika funktionen f(x) = x, x [, ). (4p) b) Använd reultatet i a) för att beräkna umman (p) S = n 4. Härled variationformulering och finita element-formulering, amt beräkna tyvhetoch konvektionmatri och högerledvektor för den tyckvi linjära finita elementapproximationen till randvärdeproblemet { 4u (x) + u (x) =, x (, ), (5p) u() = u () =, på en likformig partition T h av intervallet [, ] med teglängd h = /3. Formulera det reulterande linjära ekvationytemet (löningen behöver ej beräkna). 5. Betrakta vågekvationen (5p) ü = u, x (, ), t >, u(, t) = u(, t) =, t, u(x, ) = x x, x (, ) u(x, ) =, x (, ). Använd variabeleparationmetoden för att betämma löningen u(x, t). 6. Betrakta värmeledningekvationen u u =, x (, ), t >, u(, t) = u(, t) =, t, u(x, ) = u (x), x (, ) Via att d a) dt u + u = b) u(, t) e t u (3p) (p) LYCKA TILL! /TG

2 Tabell med Laplacetranformer och trigonometrika formler f(t) af(t) + bg(t) tf(t) t n f(t) F () af () + bg() F () ( ) n F (n) () e at f(t) F ( + a) f(t T )θ(t T ) f (t) e T F () F () f() f (t) F () f() f () f (n) (t) t f(τ) dτ n F () F () θ(t) t n n! n+ e at + a coh at a a inh at a co bt + b b in bt + b t in bt b ( + b ) b 3 (in bt bt co bt) ( + b ) n n k f (k ) () k= in a in b = co(a b) co(a + b) in a co b = in(a b) + in(a + b) co a co b = co(a b) + co(a + b)

3 TMA683/TMA68 Tillämpad matematik K/Bt, 7 4, kl 8:3-:3. Löningar.. Laplacetranformering med y() = ger, efterom L[in t] = +4, Partialbråkuppdelning ger Y () y() Y () = + 4 = ( )Y () = + = Y () = ( )( + 4) ( )( + 4) = A + B + C + 4 där vi kan multiplicera ihop och få ekvationytemet A + B = B + C = 4A C = med löningen A = /5, B = /5, C = /5. Alltå ( Y () = + ) där vi använt att L[e at ] = a, L[co at] = = y(t) = 7 5 et 5 co t in t, t 5 +a, L[in at] = a +a.. a) Vi beräknar f, g = [ ] ( x( x x )dx = x4 4 = 4, amt f / L (,) = dx) x = ( ) ( / ) / ( ) 3 och g L(,) = x / ( [x dx = ( x + x 4 )dx = 3 x3 + 5 x5] / ) = ( 8 ) /. 5 Vi vill via att f, g f g, dv att Men detta är ant, ty om vi kvadrerar båda idor får vi = 8 45 vilket är uppenbart ant. b) Att h är ortogonal mot f betyder att h, f =. Vi anätter h(x) = ax + b P (, ) och kall betämma a och b. Vi har ] = h, f = (ax + b)xdx = [a x3 3 + bx = a 3 + b. Vi kan alltå välja t.ex. a = 3 och b = (flera val är möjliga).

4 Figur. Den -periodika funktionen f(x) = x, x [, ]. 3. a) Vi er att funktionen f(x) är jämn. Alltå är b n =, n =,,..., och f(x) = a + ( ) a n co L x med a n = L ( ) f(x) co L L x dx, n =,,... där L =, dv L =. Alltå är ] a = ( x )dx = [x x3 = 4 3 x= 3 och, för n =,,..., [ a n = ( x ) co (x) dx = {P.I.} = ( x ) ] in (x) + 4 = 4 n π [ x co (x)] + 4 n π co (x) dx 4 co = n π + 4 n 3 π 3 [in (x)] x= = 4( )n n π Därför är f(x) = 3 4 ( ) n π co(x). b) Om vi ätter x = i Fouriererien ovan, får vi = f() = 3 4 ( ) n π n n co() = 3 4 π där S är den ökta umman. Vi löer ut S och får S = π Multiplicera ekvationen med en tetfunktion v V, där V = {v : v L(,) + v L(,) <, v() = } n = 3 4 π S, x in (x) dx och integrera över [, ]. Genom partialintegration och med hänyn till randdata får vi följande variationproblem: Finn u V å att () (4u v + u v)dx = vdx, v V. En motvarade Finita Element Metod med cg() formulera om: Hitta U V h å att () (4U v + U v)dx = vdx, v V h V

5 där V h = { v : v är tyckvi linjär och kontinuerlig i en partition av [, ] med teglängd h, v() = }. Vi anätter U(x) = ξ ϕ (x) + ξ ϕ (x) + ξ 3 ϕ 3 (x) där h (x x j ), x [x j, x j ) ϕ j (x) = h (x j x), x [x j, x j+ ), j =,, 3, annar är hattfunktionerna varande mot nodpunkterna x j = j/3, j =,, 3. Notera att ϕ 3 är en halv hatt. Vi ätter in U(x) = ξ ϕ (x) + ξ ϕ (x) + ξ 3 ϕ 3 (x) i () och väljer tetfunktioner ϕ = ϕ i, i =,, 3. Vi får då ekvationytemet (4A + C) ξ = b, där A är tyvhetmatrien med element A ij = ϕ i ϕ jdx, i, j =,, 3, och C är konvektionmatrien med element C ij = ϕ iϕ j dx, i, j =,, 3. b är högerledvektorn med element b i = ϕ idx, i =,, 3 och ξ = (ξ, ξ, ξ 3 ) T är löningvektorn. Beräkning av matrielementen ger A ii = /h, A i,i± = /h, i =, och A 33 = /h (halv hatt), amt C ii =, C i,i± = ±/, i =, och C 33 = / och reten nollor. För högerledvektorn får vi b i = h, i =, och b 3 = h/. eller, med h = /3, 4 + h (Löningen är ξ (.65,.4,.48) T.) ξ ξ ξ 3 = h 4 3/ ξ /3 5/ 4 3/ ξ = /3 5/ 5/ ξ 3 /6 5. För att betämma u(x, t), ätt u(x, t) = X(x)T (t). Inättning i differentialekvationen ger X T = XT eller X X = T T = λ = cont. Vi har ett att med homogena randvillkor är λ < (även för vågekvationen). Sätt λ = µ. Detta ger { X + µ X =, T = µ T. X() = X() =. Löningen för X(x) är då / X(x) = A co µx + B in µx. X() = = A = och X() = = B in µ = = µ = (ty B = ger trivial löning). Vi har alltå µ n =, X n (x) = B n in x, n =,,.... För T gäller då T n = µ nt n = T n (t) = C n in (t) + D n co (t), n =,,.... Superpoition ger den allmänna löningen u(x, t) = (C n in (t) + D n co (t)) in (x), där vi bakat ihop B n med övriga kontanter. Då u(x, ) = måte vi ha C n =, n =,,.... Alltå gäller u(x, ) = x x = D n in (x), och vi er att D n är Fourier-inu koefficienter för funktionen x x på intervallet (, ): 3,

6 D n = (x x ) in x dx = [ (x x ) co x ] x= = n π [x in x] x= + n π Alltå är löningen ( ) n u(x, t) = 4 n 3 π 3 co (t) in (x) = 6. Se FEM-boken, at.. /TG x co x dx in x dx = 4 n 3 π 3 [co x] ( )n x= = 4 n 3 π 3 m= 8 (m ) 3 co ((m )πt) in ((m )πx) π3 4