= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t.

HTML
DOWNLOAD

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "= y(0) 3. e t =Ce t, y = =±C 1. 4 e t."

Filip Bengtsson
för 6 år sedan
Visningar:

1 Löningförlg till tentmenkrivning i SF16 Differentilekvtioner I Tidgen den 8 jnuri 1, kl Hjälpmedel: BETA, Mthemtic Hndbook Redovi löningrn på ett ådnt ätt tt beräkningr och reonemng är lätt tt följ Svren kll ge på reell form Del 1 Modul 1 Betrkt differentilekvtionen d dt = För vilk trtvärden = () är gränvärdet lim (t) ändligt? t Betäm därefter den löning om uppfller villkoret () = 4 mt nge de exitenintervll Vi betämmer fört de ttionär löningrn De erhålle då derivtn är lik med noll Vi får: 1 =, = För tt underök gränvärdet tuderr vi derivtn tecken Nu över till det endimenionell fporträttet Gränvärdet lim (t) är ändligt för trtvärden = () t Nu över till den eprbl differentilekvtionen ( Den är även Bernoullk) Kontntlöningrn uppfller ej villkoret Vi omformr differentilekvtionen och prtilbråkuppdelr ( ) d dt = 1, d dt = 1 Integrtion med veende på t ger: ln + ln = t + ln C 1 Lö ut Vi får ln = t + ln C 1, Villkoret () = 4 ger C = 4 4 = 1 4 = 1 4 e t Exitenintervllet är { t :t < ln4} ln4 =±C 1 e t =Ce t, = 1 Ce t SVAR: Gränvärdet lim (t) ändligt för trtvärden = () t Den ökt löningen är = 1 t och de exitenintervllet är t :t < ln4 4 e { } t Modul Betrkt det linjär temet X = AX, där X dt = d och X = x dt Den kvdrtik mtrien A uppfller följnde likheter: A 1 1 = 9 9 och A 11 = 8 44 Betäm temet llmänn löning mt betäm gränvärdet lim X(t) då X() = 4 t

2 Vi betämmer mtrien A : egenvärden och egenvektorer A 1 1 = 9 9 och A 11 = 8 44 kn kriv om A 1 1 = repektive A 11 = 4 11 Härur kn direkt vlä tt A : egenvärden och egenvektorer Vi får = 9, v = och 1 = 4, v = 11 1 Stemet llmänn löning kn kriv X = c 1 e 9t 1 + c e 4t 11 Vi betämmer den löning om uppfller villkoret X() = 4 X() = 4 = c c 11 ger c =, c 1 = Vilket ger X = e 4t 11 = 4 e 4 t Det ökt gränvärdet är lim X(t) = t Det kn även ine genom tt trtpunkten ligger på egenvektorn hörnde till det negtiv egenvärdet 1 SVAR: Stemet llmänn löning är X = c 1 e 9t 1 + c e 4t Det ökt gränvärdet är lim X(t) = 11 t Modul Funktionen f (x) = + x, <x<5 kn utveckl i en coinuerie, en inuerie och en fouriererie Betäm vd repektive erie konvergerr mot för x = 5 Efterom funktionen och de derivt är kontinuerlig ( Det räcker med tckvi kontinuerlig,) på intervllet å konvergerr erien mot medelvärdet i den ktuell punkten För coinuerie kll en jämn funktion betrkt Coinuerien konvergerr mot f (5+ ) + f (5 ) = f ( 5+ ) + f (5 ) = =1 För inuerie kll en udd funktion betrkt Sinuerien konvergerr mot f (5+ ) + f (5 ) = f ( 5+ ) + f (5 ) = 1 +1 = Foiriererien konvergerr mot f (5+ ) + f (5 ) SVAR: Coinuerien konvergerr mot 1 Sinuerien konvergerr mot Foiriererien konvergerr mot 8 = f ( + ) + f (5 ) = + 1 = 8 Del 11 Ange det tört intervll i vilket löningen till = x ( + 1), () = 1 exiterr Är löningen entdig? Är följnde påtåenden nn eller flk b Låt = f (x) vr en löning till differentilekvtionen = + 9 Löningkurvn hr lokl extrempunkter c = x 5 är en löning till begnnelevärdeproblemet = 5 4 5, () = Löningen är entdig Den givn differentilekvtionen är eprbel Den knr reell kontntlöningr Vi omformr ekvtionen: +1 = x Integrtion med veende på x ger rctn = x + C

3 Villkoret ger C = rctn1 = π 4 Vi får rctn = x + π 4 Men π < rctn < π Dett ger o följnde olikheter π < x + π 4 < π Omform π 4 = π π 4 < x < π π 4 = π 4 eller Det tört intervllet är x : π < x < π 4 4 π < x < π 4 4 Vi hr tt både f (x, ) = x ( f (x,) +1) och = x är kontinuerlig Då är löningen entdig b Flkt, t derivtn är törre än noll c Flkt, t vi finner två löningr Det är = x 5 och = SVAR: Det tört intervllet är x : b Flkt c Flkt π < x < π Löningen entdig Låt 1 och vr två löningr till differentilekvtionen + 1 (x) + (x) = Hur underöker mn om 1 och är linjärt oberoende? b Vi tt WronkinenW( 1, ) till 1 och tifierr differentilekvtionen dw + 1 (x)w = c Härled Abel formel W = Ce 1 ( x ) Mn underöker WronkinenW( 1, ) = 1 1 Om den är kilt ifrån noll är löningrn linjärt oberoende b Wronkinen W( 1, ) = 1 = Inättning i väntr ledet v ekvtionen ger VL = (x)( ) + 1 (x)( 1 1 ) Vi omformr å tt den givn differentilekvtonen, (x ) + 1 (x) + (x ) =, kn nvänd VL = (x)( ) + 1 (x)( 1 1 ) VL = 1 ( (x) + 1 (x) ) ( (x) (x) 1 ) Vi dderr och ubtrherr 1 (x) VL = 1 ( (x) + 1 (x) + (x) ) ( (x) (x) 1 + (x) 1 ) Men 1 och är två löningr till (x ) + 1 (x) + (x ) = Vi får då VL = 1 = = HL c Differentilekvtionen (x ) dw + 1 (x )W = är linjär ( Även eprbel) Vi betämmer en integrernde fktor Fört omform differentilekvtionen: En integrernde fktor är e Vi erhåller e ( x) ( x) dw + e Multiplicer 1 ( x ) ( x ) dw + (x) 1 (x) W = med e 1 (x) (x) W = vilket kn kriv dw + 1 (x) (x) W =, (x) d We ( x) ( x) =

4 1(x ) Integrer med veende på x : We ( x) = C vilket ger Abel formel W = Ce (x ) SVAR: För, b och c e ovn 1 Definier Heviide tegfunktion U(t ) och betäm därefter de lplcetrnform utgående från lplcetrnformen definition b Betäm lplcetrnformen till funktionen f (t) = U(t )U (b t) där < b c Betäm lplcetrnformen till funktionen g (t) = 1 U(t )U( + t) där > Låt därefter i lplcetrnformen d Betäm ( π ) då = (t π 4 ) och () = () = Heviide tegfunktion U(t ) = 1, t >, t< Lplcetrnformen för en funktion f (t) ge v L f (t) För Heviide tegfunktion får vi { } = U(t )e t dt L U (t ) = 1e t dt = { } = f(t)e t dt e [ t ] = > b Då U(t ) = 1, t > och U(b t) = 1, b>t, t<, b<t 1, <t <b f (t) = U(t )U (b t) =, fö { } = f(t)e t dt L f (t) { } = e följer tt = U(t )U (b t)e t dt = e t dt b = e e b = e c L{ g (t)} = 1 U(t )U( + t)e t dt = 1 e t dt = e e ( + ) L{ g (t)} = e (1 e ) = e (1 (1 + O( ))) = e ( O( )) = e (1 O( )) Här hr vi McLurinutvecklt exponentilfunktionen Låt i L g (t) Då erhålle lim L g (t) { } = e (1 O( )) { } + = e vilket är lplcetrnformen v Dirc deltfunktion d Lplcetrnformer = (t π 4 ) Y() () () + ( Y() ()) + 5Y() = e π 4 ( + + 5) Y ( ) = e π 4 Y() = e π = π 4 e ( + 1) + 4 Då den inver lplcetrnformen v Z() = (t) = U(t π 4 )e ( t π 4 ) in(t π 4 ) ( + 1) + 4 ger z(t) = e t int blir

5 Det ökt funktionvärdet ( π ) blir ( π ) = U (π π 4 )e ( π π 4 ) in( π π 4 )=1e π 4 in π = e π 4 SVAR: Heviide tegfunktion U(t ) = 1, t >, t< b L{ U (t )U(b t) } = e e b { } = L 1 U(t )U ( + t) c L g (t) d ( π ) = e π4 L{ U (t ) } = e = e e ( + ) lim L{ g (t)} = e 14 Klificer med veende på tbilitet de kritik punktern till ett plnt utonomt tem vrnde mot den ickelinjär ndr ordningen differentilekvtion x + (x 1) x + x = för ll reell värden på Skriv den givn differentilekvtionen om ett tem x Inför en n vribel enligt = x Vi erhåller temet: = x = (x 1) x Vi betämmer de kritik punktern De erhålle då tngentvektorn är lik med nollvektorrn Vi erhåller endt en kritik punkt: =, x= dv origo För tt underök tbiliteten linjrierr vi det icke-linjär temet Linjrieringen ker med hjälp v Jcobimtrien(funktionlmtrien) 1 Jcobimtrien blir J(x, ) = x 1 (x 1) I den kritik punkten får vi J(,)= 1 1 = A Betäm mtrien egenvärden Den krkteritik ekvtionen = det(a I) = 1 1 ger följnde +1 = Kvdrtkompletter: ( ) = ( ) 1 = 4 Egenvärden 1, 4 ± 4 Då 4, dv eller erhålle reell egenvärden För är den kritik punkten mptotikt tbil För är den kritik punkten intbil Då < 4 dv < < erhålle komplex egenvärden För = Re < är den kritik punkten mptotikt tbil För = Re > är den kritik punkten intbil För = Re = kn ingen lutt dr från det linjrierde temet Men för = Re x = blir det icke-linjär temet = linjärt (x 1) x x Vi erhåller i dett fll = x 1 x 1 Denn mtri hr egenvärden = ±i Den kritik punkten är en center och därmed tbil 1, SVAR: För är den kritik punkten mptotikt tbil För är den kritik punkten intbil < < För = Re < är den kritik punkten mptotikt tbil

6 För = Re > är den kritik punkten intbil För = Re = är den kritik punkten tbil u 15 Lö Lplce ekvtion x + u = i rektngeln < x <, <<1 med rndvärden u(,) = u(, ) = u(x,)=, u(x,1) =1 Vi löer problemet med vribeleprtionmetoden Sätt: u(x, ) = X (x)y ( ) Inåttning i differentilekvtionen ger: X (x)y ( ) + X (x) Y ( ) = X (x) Divider med X (x)y (): X (x) = Y () = kontnt =, R Y() Den prtiell differentilekvtionen övergår i ett tem v ordinär differentilekvtioner X (x) X(x) = Y ( ) + Y () = För "X-ekvtionen" behndl tre olik fll: >, = och < >, =, R = <, =, R X(x)=A 1 e x +B 1 e x X (x) = A x + B X (x) = A co x + B in x Vribeleprtionen och villkoren u(,) = u(, ) = ger X ()Y() = X( )Y() = Dett kll gäll för ll ktuell Ger tt X ()= X( ) = >, =, R = <, =, R =X()=A 1 +B 1 = X ()=B = X ()=A = X( ) = A 1 e +B 1 e = X( ) = A + B = X( ) = A co + B in Endt den trivil löningen Endt den trivil löningen Dett tem hr icke-trivil löningr då = n, n N X (x) = B in nx Vi erhåller icke-trivil löningr endt då eprtionkontnten =, R X (x) + X (x ) = Stemet är då: Y ( ) Y() = Nu över till "-ekvtionen" Den hr löningen: Y () = Ce n + De n Villkoret u(x,)= och vribeleprtionen ger: X (x)y ()=, vilket kll gäll för ll ktuell x Vi erhåller: Y ()= Dett ger o: = Y ()= C+ D, D = C Y () = C(e n e n ) Superpoitionprincipen ger: u(x, ) = n (e n e n )in nx Det återtår tt betämm n n=1 Det reternde villkoret u(x,1) = 1 ger: 1 = u(x,1) = n (e n e n )in nx Här är n (e n e n ) fourierkoefficientern för den udd funktion om på intervllet (, ) är lik med 1 n =1 [ ] Vi erhåller: n (e n e n ) = 1in nx = conx 1 con =, n n n = 1 co n n(e n e n ) 1 co n u(x, ) = n(e n e n ) (en e n )in nx n=1 1 co n SVAR: Den ökt löningen är: u(x, ) = n(e n e n ) (en e n )in nx n=1

Relevanta dokument

Introduktion till Laplacetransformen

Introduktion till Laplacetransformen Introduktion till Lplcetrnformen J A S, ht-5 Lplcetrnformen En vnligt förekommnde idé i nlyen (och i mtemtik i tört llmänhet) är tt förök lö ett problem genom tt fört trnformer det till ett nnt (enklre)