y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen"

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Djordjevic PROV I MATEMATIK Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer Skrivtid: Tillåtna hjälpmedel: Mathematics Handbook Beta eller Physics Handbook. Betygsgränser: 3-18p, 4-25p, 5-32p. Anmärkningar: Varje uppgift ger maximalt fem poäng. Lösningarna skall innehålla relevanta förklaringar och uträkningar. 1. Bestäm den lösning till differentialekvationen y + 1 y + x 1 = 2x som uppfyller att y(0) = 2. Ledning: Sätt z = y + x. Lösning. Substitutionen z = y + x ger y = z x och y = z 1. Insättning i ekvationen ger z z 1 = 2x som är separabel. Separering av variabler ger 1 z 1 dy = 2xdx ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Återsubstitution ger y = Ce x2 x + 1 och villkoret y(0) = 2 ger C = 1 så den sökta lösningen är y(x) = e x2 x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + 3 x y = 1 x 2. Lösning. Eftersom y inte förekommer i ekvationen så kan vi göra substitutionen z(x) = y (x), z (x) = y (x), och då omvandlas ekvationen till z + 3 x z = 1 x 2, vilket är en linjär ekvation av första ordningen. Så vi multiplicerar båda leden med er 3 x dx = e 3 ln x = x 3,

2 vilket ger oss x 3 z + 3x 2 z = x d dx (x3 z) = x x 3 z = y = z = 1 2x + c x 3 y(x) = xdx = x2 2 + c ln x 2 + c 1 x 2 + c 2 (där c 1 = c 2 ) 3. Bestäm en lösningskurva till ekvationen (y + 1 x 2 )dx + 2xdy = 0 y som passerar igenom punkten (1, 2). Den givna ekvationen har en integrerande faktor som endast beror på y. Lösning. Antag att µ(y) är en integrerande faktor, så ( µ(y) y + 1 ) x 2 dx + 2µ(y)xdy = 0 y är exakt, vilket innebär att ( ( µ(y) y + 1 )) y x 2 = y x (2µ(y)x). Partiell derivering samt lite förenkling ger oss µ y + µ x 2 y = µ + µ x 2 y 2 ( y ) x 2 y 2 µ = µ µ = 1 y. Detta ger oss ln µ(y) = ln y och µ(y) = y. Så ( x 2 y 2 ) µ (y x 2 ) dx + 2xydy = 0 är exakt. Denna differential har samma lösningar som den ursprungliga och deras lösningskurvor kan skrivas på formen f(x, y) = c där f uppfyller att f x = y x 2 och f y = 2xy. Det första av dessa uttryck medför, via integration med avseende på x, att f(x, y) = xy 2 1 x + h(y), så f y = 2xy + h (y).

3 Nu har vi två uttryck för f y och dessa ger tillsammans 2xy = f y = 2xy + h (y), vilket gäller om och endast om h (y) = 0, vilket i sin tur gäller om och endast om h(y) konstant. Så vi kan låta h(y) = 0, vilket ger f(x, y) = xy 2 1 x, och därmed beskrivs lösningskurvorna av xy 2 1 x = c. Villkoret att kurvan skall passera igenom (1, 2) ger oss c = 3 så den sökta lösningskurvan är xy 2 1 x = Funktionen y 1 (x) = x är en lösning till differentialekvationen 3x 2 y + 6xy 6y = 0. Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen. Lösning. Ekvationen är linjär och homogen så en andra linjärt oberoende lösning kan man finna genom att sätta y 2 (x) = v(x)x, där v(x) skall bestämmas. Derivering ger y = v x + v, y = v x + 2v, och insättning i ekvationen ger (efter lite förenklingar) 3x 3 v + 12x 2 v = 0, v v = 4 x, ln v = 4 ln x = ln x 4, v = x 4, v(x) = 1 3x 3, vilket ger y 2 (x) = v(x)x = 1 3x 2. Så den allmänna lösningen är y(x) = cx + c 2 x 2 (eftersom 1 3 kan absorberas av konstanten c 2). 5. Bestäm den allmänna lösningen till systemet x (t) = y(t) y (t) = 5x(t) 2y(t) 25t 5 Lösning. Den övre ekvationen ger y = x, y = x,

4 och tillsammans med den undre ekvationen i systemet får vi som ger Dess homogena motsvarighet är x = 5x 2( x ) 25t 5 x + 2x + 5x = 25t + 5. x + 2x + 5x = 0 som har karakteristisk ekvation m 2 + 2m + 5 = 0 med rötterna m 1 = 1 + 2i, m 2 = 1 2i. Så den allmänna lösningen till x + 2x + 5x = 0 är Nu söker vi en partikulärlösning till x h (t) = e t (c 1 cos 2t + c 2 sin 2t). x + 2x + 5x = 25t + 5. Sätt x p (t) = at + b, så x p = a, x p = 0. Insättning i ekvationen ger 2a + 5(at + b) = 25t + 5, så vi måste ha 5a = 25 2a + 5b = 5 vilket gäller om a = 5, b = 1, och vi får x p (t) = 5t 1. x + 2x + 5x = 25t + 5 är då x(t) = e t (c 1 cos 2t + c 2 sin 2t) + 5t 1. Derivering av x(t) och användning av y = x ger att y(t) = e t ((c 1 2c 2 ) cos 2t + (2c 1 + c 2 ) sin 2t) 5. Systemets allmänna lösning är (x(t), y(t)) där x(t) och y(t) är som ovan. Den allmänna lösningen till 6. Betrakta systemet x = xy + 2 y = (x 2)(1 y) Bestäm alla kritiska punkter samt deras typ och stabilitetsegenskaper. Lösning. Ekvationssystemet xy + 2 = 0 (x 2)(1 y) = 0 har exakt två lösningar: (2, 1) och ( 2, 1). Dessa är de kritiska punkterna. Vi försöker lösa problemet med hjälp av linearisering. Sätt F (x, y) = xy + 2 och G(x, y) = (x 2)(1 y), och vi får Vi betraktar först punkten (2, 1): F x = y, F y = x, G x = 1 y, G y = 2 x. F x (2, 1) = 1, F y (2, 1) = 2, G x (2, 1) = 2, G y (2, 1) = 0.

5 Lineariseringen blir då x = x + 2y y = 2x Vi har så vi går vidare till att betrakta den karakteristiska ekvationen som ges av 1 m 2 2 m = 0 det vill säga av m 2 + m 4 = 0 som har rötterna m = 1± Alltså reella rötter med olika tecken, vilket medför att (2, 1) är en instabil sadelpunkt, för såväl lineariseringen som det ursprungliga systemet. Lineariseringen för punkten ( 2, 1) blir x = x 2y y = 4y Determinanten för koefficientmatrisen är även i detta fall skild från noll och den karakteristiska ekvationen har rötterna 1 och 4 som är reella och positiva. Så ( 2, 1) är en instabil nod för såväl lineariseringen som det ursprungliga systemet. 7. Visa att (0, 0) är den enda kritiska punkten för systemet x = x 3 y 3 y = x 5 y 2 y och bestäm punktens stabilitetsegenskap med hjälp av en Lyapunovfunktion. Lösning. Man ser direkt att origo är en kritisk punkt. Antag att x 3 y 3 = 0 x 5 y 2 y = 0 och att (x, y) (0, 0). Då medför den övre ekvationen att både x och y är skilda från noll, och vi får också x 3 = y 3 y(x 5 y 1) = 0 som i sin tur ger x 3 = y 3 y( x 2 y 4 1) = 0. Eftersom x, y 0 så följer att x 2 y 4 1 = 0 vilket är omöjligt. Så vi drar slutsatsen att (0, 0) är den enda kritiska punkten. Som Lyapunovfunktion ansätter vi E(x, y) = ax 2m + bx 2n, där a, b, m, n > 0 och m, n är heltal. Vi försöker bestämma dem så att E x F + E y G är negativt (semi-)definit. Vi får E x F + E y G = 2max 2m+2 2max 2m 1 y 3 + 2nbx 5 y 2n+1 2nby 2n.

6 Eftersom 2max 2m+2 2nby 2n < 0 för alla (x, y) (0, 0) så blir E x F + E y G negativt definit om vi kan bestämma a, b, m, n > 0 så att 2max 2m 1 y 3 + 2nbx 5 y 2n+1 = 0 för alla (x, y) (0, 0). Den sista ekvationen gäller om 2m 1 = 5 2n + 1 = 3 2ma = 2nb vilket gäller om m = 3, n = 1, a = 1, b = 3. Så Lyapunovfunktionen E(x, y) = x 6 + 3y 2 visar att (0, 0) är asymptotiskt stabil. 8. Betrakta följande system: dx dt = x2 dy dt = 3xy Bestäm en ekvation för den lösningsbana som går igenom punkten ( 1, 1) samt beskriv banans riktning med hjälp av en skiss. Lösning. Vi söker en lösningskurva till ekvationen som är separabel och vi får dy dx = dy dt /dx dt = 3xy x 2 = 3y x, 1 3 y dy = x dx ln y = 3 ln x + c y = e c x 3 y = Cx 3. Om banan skall passera igenom ( 1, 1) så måste vi har 1 = C så C = 1. Den sökta banan beskrivs av ekvationen y = x 3. För att veta om banan är riktad från eller mot origo så betraktar vi hastighetsvektorn (x (t), y (t)) = (x 2, 3xy). I punkten ( 1, 1) får vi (x (t), y (t)) = (( 1) 2, 3( 1)( 1)) = (1, 3), så i denna punkt pekar (x (t), y (t)) åt nordöst i xy-planet. Detta medför att den sökta banan, som består av punkterna på kurvan y = x 3 i tredje kvadranten (utom origo), är riktad mot origo.

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

dy dx = ex 2y 2x e y.

dy dx = ex 2y 2x e y. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 3 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, poäng 005-04-04 Skrivtid: 14 19. Hjälpmedel: Skrivdon,

Läs mer

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-10-10 Skrivtid: 9.00 14.00. Hjälpmedel:

Läs mer

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x

= ye xy y = xye xy. Konstruera även fasporträttet med angivande av riktningen på banorna. 5. Lös systemet x Uppsala Universitet Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Ordinära differentialekvationer F,Q,W,IT Civilingenjörsutbildningen 1996-6-7 Skrivtid: 15. 21.. Varje problem ger högst 5

Läs mer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Sammanfattning av ordinära differentialekvationer Joakim Edsjö 1 Institutionen för teoretisk fysik, Uppsala Universitet Telefon: 018-18 32 50 eller 018-18 76 30 19 februari 1995 1 Första ordningens differentialekvationer

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

IV, SF1636(5B1210,5B1230). Lösningar till tentamensskrivning i Matematik I, F636(5B,5B3) Tisdagen den 9 augusti 8, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I. Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 23--9, kl 4 9 5B2 och 5B23 Matematik IV, för B, M, och I Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook För godkänt betyg 3 krävs 7 poäng, medan för betyg 4

Läs mer

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Torsdagen den 3 oktober 8, kl 8-3 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant. Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att

Läs mer

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.

SVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)), Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 203-05- kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.

, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december xy = y2 +1 KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 18 december 2017 Tentamen består av sex uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära betygsgränser:

Läs mer

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, F636(5B0,5B30). Tisdagen den januari 0, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3

1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF137 Tisdagen den 11 januari 211, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant

Läs mer

= = i K = 0, K =

= = i K = 0, K = ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00.

Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Lösningsförslag till Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 24 oktober 2014 kl 8:00-13:00. Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Bonus

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0 Preinärt lösningsförslag till del I, v1. Högskolan i Skövde SK) Tentamen i matematik Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 215-8-18 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel

Läs mer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både

Läs mer

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x), Lunds Tekniska Högskola Matematik Helsingborg Lösningar Analys, FMAA5 9-8-9. a) e sinx) cosx) dx e sinx) + C. b) 4x dx polynomdivision] x + x + x + dx x x + ] ln x + + ) ln) + ) ln) ln). c) Trigonometriska

Läs mer

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:

x(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen: Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är

Läs mer

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I

SF1633, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari Lösningsförslag. Del I Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differentialekvationer I Tentamen, torsdagen den 7 januari 26 Lösningsförslag Del I Moduluppgift En liter av lösningen som innehåller 2 gram av kemiska

Läs mer

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1

= 1, fallet x > 0 behandlas pga villkoret. x:x > 1 Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B00 Torsdagen den 0 januari 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 =

(4 2) vilket ger t f. dy och X = 1 = Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I. Torsdagen den 3 maj, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och

Läs mer

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid: HÖGSKOLAN I HALMSTAD Tentamensskrivning Akademin för informationsteknologi MA00 Envariabelanalys 6 p Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari 08 05-670 Skrivtid: 9.00-.00 Inga jälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

= a - bp(t), dp dt. = ap - bp 2. = 5000P - P 2. = 5000P dt

= a - bp(t), dp dt. = ap - bp 2. = 5000P - P 2. = 5000P dt Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0. Onsdagen den 0 oktober 004, kl 400-900. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att

Läs mer

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik),

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018 Lösningsförslag, preinär version 0., 3 januari 08 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel

Läs mer

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser

TNA004 Analys II Tentamen Lösningsskisser TNA004 Analys II Tentamen 20-06-0 Lösningsskisser. a) De båda kurvorna skär varandra i x 0 och x. På intervallet 0 x är x x. Området D är då det skuggade i figuren nedan, där även en tunn rektangel är

Läs mer

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:...

KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl Version: A Namn:... Personnr:... KTH Matematik SF1633 Differentialekvationer I, för I1 Kontrollskrivning nr 2, Måndag den 31 mars 2008, kl. 8.00-10.00 Version: A Namn:... Personnr:... Inga hjälpmedel är tillåtna. Kontrollskrivningen har

Läs mer

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ). KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för

Läs mer

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik v0., 08-03-3 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA5G Matematisk analys MA3G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 08-0-03 kl 4:30-9:30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat formelblad.

Läs mer

y(0) = e + C e 1 = 1

y(0) = e + C e 1 = 1 KTH-matematik Tentamensskrivning, 006-01-14, kl. 14.00 19.00. 5B106 Differentialekvationer I, för BDMP. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg (3) krävs minst 17 poäng, för betyg 4 krävs

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y 1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014 SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer MA71A Matematik för lärare C, delkurs Matematisk

Läs mer

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.

För startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant. Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje

Läs mer

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t), Tentamensskrivning i Matematik IV, 5B110 Måndagen den 1 oktober 005, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta

Läs mer

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x. Lösningsförslag Högskolan i Skövde (SK, JS) Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 202-03-23 kl 4.30-9.30 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 6 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematisk analys, HF95 exempel atum: xxxxxx Skrivtid: timmar Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,, E krävs, 9, 6, respektive poäng

Läs mer

= 0 genom att införa de nya

= 0 genom att införa de nya UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, IT, W Flervariabelanals 9 1 19 Skrivtid: 8 13. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer.

Läs mer

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.

Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18. Föreläsningen ger en introduktion till differentialekvationer och behandlar stoff från delkapitel 18.1, 18.3 och 7.9 i Adams. 18.1 Delkapitlet introducerar en del terminologi och beteckningar som används.

Läs mer

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl

Lösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen

u(x) + xv(x) = 0 2u(x) + 3xv(x) = sin(x) xxx egentliga uppgifter xxx 1. Sök alla lösningar till den homogena differentialekvationen Differentialekvationer I Modellsvar till räkneövning 6 Den frivilliga uppgiften U1 påminner om nyttiga kunskaper, och räknas inte för extrapoäng (fråga vid behov). U1. Lös funktionerna u(x) och v(x) från

Läs mer

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23 Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU3 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillhörande

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål

ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z

Läs mer

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.

Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. Kap 3.7, 17.8 Linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter. 401. (A) Bestäm de allmänna lösningarna till följande differentialekvationer: a. y 3y = 0 b. y 2y 3y = 0 c. y 2y = 0 d. y 4y +

Läs mer

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656. Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206) Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656 Torsdagen den 8 januari 2009, kl 1400-1900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z. Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1)

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) KTH, Matematik Maria Saprykina Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 1) 1 a). Lös ekvationen 3p. 3y 2 y +16x = 2xy 3. b). Finn en lösning som är begränsad

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2 SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

Partiella differentialekvationer av första ordningen

Partiella differentialekvationer av första ordningen Partiella differentialekvationer av första ordningen Kjell Holmåker 23 februari 2005 En kvasilinjär partiell differentialekvation av första ordningen är av formen P (x, y, u)u x + Q(x, y, u)u y = R(x,

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik

Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Högskolan i Skövde (SK, YW) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA52G Matematisk Analys MA23G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 2-5-5 kl 8.3-3.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel utöver bifogat

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis

Läs mer

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder Tentamen ENVARIABELANALYS M 204-2-08 SVAR OCH ANVISNINGAR UPPGIFTER. e 3x2 lim = e x2 ( 3x 2 +...) = lim ( x 2 +...) = lim

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive

Läs mer

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î

ÚÚ dxdy = ( 4 - x 2 - y 2 È Î Lösningsförslag till tentamensskrivning i Matematik IV, 5B0 Måndagen den 0 oktober 00, kl 400-900 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

SF1635, Signaler och system I

SF1635, Signaler och system I SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys

SF1626 Flervariabelanalys 1 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Föreläsning 7 Henrik Shahgholian Vid Institutionen för matematik, KTH VT 2018, Period 3 2 / 14 SF1626 Flervariabelanalys Dagens Lektion Kap 12.8 1. Implicit definierade

Läs mer

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standard LMA515 Matematik KI, del B. MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 343 kl. 8.3.3 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standard 73 88 34 LMA55 Matematik KI, del B Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden

Läs mer