Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Transkript

1 TENTAMEN 17 dec 010 Moment: TEN (Analys), 4 hp, skriftlig tentamen Kurser: Analys och linjär algebra, HF1008 (Program: Elektroteknik), lärare: Inge Jovik, Linjär algebra och analys, HF1006 (Program: Datateknik), lärare: Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic Betygsgränser: För godkänt krävs 10 av max 4 poäng. För betyg A, B, C, D, E, Fx krävs, 19, 16, 13, 10 respektive 9 poäng. Hjälpmedel på tentamen TEN: Utdelad formelblad. Miniräknare ej tillåten. Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx). Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med läsningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. 1. a) Bestäm inversen, om den existerar, till funktionen b) Bestäm gränsvärdet lim c) Bestäm gränsvärdet lim d) Bestäm gränsvärdet lim. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten 1, 1 till kurvan (p) 1 3. För funktionen a) eventuella stationära punkter b) eventuella asymptoter c) och skissa grafen mha resultaten i a- och b-uppgiften 4. Beräkna följande integraler: a) (p) b) 3 sin c) sin sin cos Var god vänd!

2 5. Beräkna arean av det oändliga område som ligger mellan x-axeln och (p) kurvan då Bestäm lösningen till differentialekvationen då 0 1. (p) 7. Bestäm spänningen över kondensatorn y(t) i nedanstående krets om (3p) 3. Dessutom är 5 ö 0 och 0 0. Ledning: Spänningen över kondensatorn laddning och strömmen., där q är kondensatorns + U i R C 8. Bestäm strömmen i(t) och laddningen q(t) i nedanstående LRC krets (4p) om L=1 henry, R= 4 ohm, C= farad och 8cos4sin volt då i(0)= ampere och q(0)= 0 coulomb. Lycka till!

3 Facit: Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. 1. a) Bestäm inversen, om den existerar, till funktionen b) Bestäm gränsvärdet lim c) Bestäm gränsvärdet lim d) Bestäm gränsvärdet lim a) ä ä b) lim c) lim " 0 " lim 0 d) lim lim lim lim lim0. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten 1, 1 till kurvan (p) 1 Vi implicit deriverar 1 m a p x och får: Vi substituerar punktens koordinater och får tangentens riktningskoefficient 1 Tangentens ekvation : 11 1 Svar:

4 3. För funktionen d) eventuella stationära punkter e) eventuella asymptoter f) och skissa grafen mha resultaten i a- och b-uppgiften a) Stationära punkter Teckenstudie av derivatans tecken för x-värden mindre än och större än ger ex b) Vågräta asymptoter fås då lim 0 det finns en vågrät asymptot och den är Lodräta asymptoter fås då 1 0 å 1 å 1 å 1 Det finns en lodrät asymptot och den är c)

5 4. Beräkna följande integraler: a) (p) b) 3 sin c) sin sin cos a) ln ln 3 {dela upp i partiella bråk} b) 3 sin 3 cos 3 cos sin. Partiell integration: 3, sin 1, cos c) sin sin cos Substitution: sin cos

6 t t C Svar: C 5. Beräkna arean av det oändliga område som ligger mellan x-axeln och (p) kurvan då Svar: a. e. 6. Bestäm lösningen till differentialekvationen då 0 1. (p) METOD 1 (integrerande faktor (IF): ( Lös differentialekvationen(de) mha integrerande faktor Multiplicera DE med IF: 1 1 ;0 1 1 y( x) = e METOD Vi använder formeln P( x) dx ( C + Q( x) e P( x) dx Först beräknar vi ( och väljer en primitiv funktion) P ( x) dx = xdx = x Formeln ger dx)

7 y( x) = e e x ( C + x 1 ( C + e x x e ) = Ce x x dx) = e + 1 ) x ( C + 1 x e x dx) = Villkoret y ( 0) = 1 ger 1/ och därför 1 Svar: METOD 3 ( Separabla DE) Vi separerar variabler och därefter integrerar ln ln Villkoret y ( 0) = 1 ger 1/ och därför 1 7. Bestäm spänningen över kondensatorn y(t) i nedanstående krets om (3p) 3. Dessutom är 5 ö 0 och 0 0. Ledning: Spänningen över kondensatorn laddning och strömmen., där q är kondensatorns + U i R C

8 METOD 1. Kalla spänningen över resistansen för och spänningen över kondensatorn för. Då får vi mha Kirchoffs spänningslag att (1) Eftersom ö å : ekv (1) Med givna värden på R, C och U: Kan exempelvis lösas mha integrerande faktor: 5 Svar: 51 volt METOD. (Först beräknar vi strömmen i(t) därefter laddningen q(t) och till slut spänningen över kondensator /) Från kretsen får vi följande ekvation Vi substituerar R, C och U och får För att eliminera deriverar vi ekvationen och får (eftersom ) ekv 3 är en homogen DE med konstanta koefficienter och har karakteristiska ekvationen 3 0 ä ö 3. Därför ä ä ö 3. Från ekv beräknar vi :

9 Spänningen (y) över kondensatorn är dvs Till slut villkoret 0 0 ger 6 10 och därmed 5 5 Svar: Bestäm strömmen i(t) och laddningen q(t) i nedanstående LRC krets (4p) om L=1 henry, R= 4 ohm, C= farad och 8cos4sin volt då i(0)= ampere och q(0)= 0 coulomb. Från kretsen får vi följande ekvation Vi substituerar L,R, C och u(t) och får cos 4 sin Ekvationen (*) innehåller två obekanta funktioner och. För att eliminera en av obekanta, använder vi sambandet Vi eliminerar genom att substituera och därför i ekv (*). [Anmärkning: Som en alternativ metod, kan vi derivera ekv(*), eliminera q(t) och få en ekvation med avseende på i(t): ] Efter substitutionen får vi följande ekvation med avseende på

10 4 3 8 cos 4 sin i) Den karakteristiska ekvationen 43 3, 1. Lösningen till homogena ekvationen är ii) En partikulär lösning söker vi på formen Acos sin. Acos sin sin cos Acossin Från (***) har vi Acossin 4 sin cos 3Acossin8cos4sin eller,efter förenkling, 4 cos 4 sin 8 cos 4 sin. Härav Från systemet får vi 0 och och därmed sin. Därför sin Vi deriverar och får strömmen 3 cos Till slut, för att bestämma konstanter, använder vi villkoren i(0)= och q(0)= 0. q(0)= 0 0 i(0)=

11 Därför sin och cos. Svar: sin coulomb, cos ampere)