Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Transkript

1 Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga lösningar kan givetvis inte rättas och därmed inte ge några poäng. Skrivtid: 80 minuter Hjälpmedel: Formelblad, samt på del digitala verktyg Redovisning: I alla uppgifter om det inte står (endast svar krävs) krävs någon form av redovisning. Redovisa dina beräkningar, motivera dina lösningar och rita figurer vid behov. Kravgränser Provet består av två delprov, del utan digitala verktyg och del med digitala verktyg Tillsammans kan de ge 45 poäng varav 8 E-, 6 C-, -A-poäng E: poäng D: 7 poäng varav 5 poäng på minst C-nivå C: 3 poäng varav 9 poäng på minst C-nivå B: 30 poäng varav 3 poäng på A-nivå A: 36 poäng varav 6 poäng på A-nivå Efter varje uppgift anges hur många poäng du kan få för en fullständig lösning eller ett svar. Där framgår även vilka kunskapsnivåer (E, C och A) du har möjlighet att visa. Till exempel betyder (3//) att en korrekt lösning ger 3 E-, C- och A-poäng. Till uppgifter där det står (endast svar krävs) behöver du endast ge ett kort svar. Till övriga uppgifter krävs att du redovisar dina beräkningar, förklarar och motiverar dina tankegångar och ritar figurer vid behov.

2 LÖSNINGSFÖRSLAG Del Utan digitala verktyg. För funktionen f gäller att f(x) = cos x Bestäm f(30 ) (endast svar krävs) (/0/0) f(30 ) = cos( 30 ) = cos 60 = Svar: Kommentar: Formelblad Ma 4 > Trigonometri > Exakta värden avläs ur tabell, cos 60 =. I det komplexa talplanet nedan är två komplexa tal z och z markerade a. Bestäm z + z (endast svar krävs) (/0/0) z = 4 + i z = 3i z + z = 4 + i + ( 3i) = 4 + i 3i = i b. Rita noga in talet i z i koordinatsystemet (endast svar krävs) (/0/0) i z = i(4 + i) = 4i + i = + 4i multiplikation med i medför en rotation med + 90

3 3. Bestäm (/0/0) f(x) dx f(x) dx Svar: om f(x) dx = + ( ) = b Kommentar: f(x) dx = a = och f(x) dx c f(x) dx + a b f(x) dx c = där a < c < b 4. Derivera a. f(x) = (3x + ) 4 (/0/0) f (x) = 4(3x + ) 4 3 = (3x + ) 3 b. f(x) = e x x (/0/0) f (x) = e x x + e x = e x (x + ) 5. Skriv talet z = ί a. i polär form (/0/0) z = (5 3) + 5 = = 0 5 arg z = tan ( 5 3 ) = tan ( 3 ) = 50 Svar: z = 0(cos 50 + i sin 50 ) eller z = 0 (cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) Kommentar: Formelblad Ma 4 > Trigonometri > Exakta värden avläs ur tabell, tan ( 3 ) = 50 b. på formen re iv (/0/0) Svar: 0e i 5π 6 Kommentar: Vid användning av polär form kan vinkeln anges i grader eller radianer Vid användning av potensform måste vinkeln anges i radianer

4 6. Bestäm ekvationen för sinuskurvan på formen = A sin(kx) + B (//0) Kurvan ska jämföras med y = sin x Kurvans amplitud är y max y min = ( 3) = 4 = A = Kurvans period P = π k k = π P = π 4π = Kurvans vågräta symmetrilinje ligger en enhet under x axeln B = Svar: y = sin x Kommentar: Om sinuskurvan ska uttryckas på formen y = A sin(kx) + B så innebär det att förskjutningen i x-led är noll 7. Figuren visar grafen till f(x) = a x + h + k Bestäm konstanterna a, h och k (//0) Grafen jämförs med y = x a =, a anger lutning till höger om brytpunkten, vertex. h =, h anger horisontell förskjutning av vertex och alla andra punkter från origo k =, k anger vertikal förskjutning från av vertex och alla andra punkter från origo

5 8. Det komplexa talet z är markerat som en visare i det komplexa talplanet nedan. Rita det komplexa talet z 3 i samma talplan. (0//0) z = + i z = + = arg z = tan ( ) = tan () = 45 z = (cos 45 + i sin 45 ) z 3 = ( ) 3 (cos(3 45 ) + i sin(3 45 )) = (cos 35 + i sin 35 ) 9. Bestäm funktionen f om f (x) = x cos x x sin x (0//0) Högerledet x cos x x sin x = x cos x + x ( sin x) ger oss anledning att anta att f är en produkt av två funktioner f = g h f = g h + g h som jämförs med x cos x + x ( sin x) vilket ger g = x och h = cos x f = g h = x cos x Kontroll: f = x cos x f = x cos x + x ( sin x) = x cos x x sin x Svar: f = x cos x

6 0. Lös ekvationen tan x = 3 och svara i grader (//0) tan x = 3 x = tan ( 3) x = 60 + n 80 x = 30 + n 90 Svar: x = 30 + n 90 Kommentar: Formelblad Ma 4 > Trigonometri > Exakta värden avläs ur tabell, tan ( 3) = 60. Beräkna integralen (//0) 4 x + dx x 4 x 4 + dx = ( x x x x ) ( 4 4 dx = (x x ) dx = [ x 4 ln x] = ln 4) ( ln ) = 8 ln + 0 = 5 ln Svar: 5 ln Kommentar: Svaret 7.5 ln 4 bedöms likvärt

7 . Antag att f(x) = { x g(x) = x a. Bestäm f(g(x)) (endast svar krävs) (/0/0) f(g(x)) = g(x) = x Svar: f(g(x)) = x b. Ange definitionsmängden för f(g(x)), x R (0//) a kräver att a 0 x 0 x { x x kräver att a 0 a x 0 x 0 x x ± Svar: D = {x R x < eller x > }

8 3. Bestäm samtliga asymptoter till (0//) f(x) = x3 + x x Lodräta asymptoter fås då nämnaren är noll, vilket ger ekvationen x = 0 { x = x = Då täljarens gradtal är exakt högre än nämnaren finns en sned asymptot Skriv om f(x) med hjälp av Polynomdivision x + x x 3 + x x 3 x x + x x x f(x) = x + + x x lim f(x) = lim (x + + x ± x ± Svar: x =, x = och y = x + x x ) = x + 4. En lösning till ekvationen z 3 4z + 3z = 0 är z = 4 Bestäm övriga lösningar till ekvationen (0//0) Om z = 4 är en lösning så är (z 4) en faktor i z 3 4z + 3z Faktorisera med hjälp av polynomdivision z + 3 z 4 z 3 4z + 3z ( z 3 4z ) 3z 3z 0 z 3 4z + 3z = (z 4)(z + 3) z + 3 = 0 z = ± 3 z = ±i 3 Svar: z = i 3 och z 3 = i 3

9 5. Bestäm den inversa funktionen f (x) till f(x) = 0 x (0/0/) Om y = f(x) så är x = f (y) X f f Y Sätt y = f(x) ger y = 0 x Den inversa funktionen fås genom att lösa ut x lg y = lg 0 x lg y = x x = lg y + Variabelbyte ger y = lg x + Svar: f (x) = lg x +

10 6. Figuren nedan visar graferna till funktionerna y = x, y = 5 x Bestäm arean av det markerade området. (0//) För att få integrationsgränserna sätt upp ekvationen x = 5 x multiplicera VL och HL med mgn ( x = 5 x) x x = 5 x x x x = 5x x x 5x + = 0 x 5 x + = 0 x = 5 4 ± ( 5 4 ) x = 5 4 ± 9 6 x = 5 4 ± 3 4 { x = x = Sökt area b A = (övre funktion undre funktion) dx a A = (( 5 x) ( x )) [ 5x x ln x] = ( 5 5 ln ln ln = 8 3 ln 9 8 = 5 8 ln Svar: 5 ln a. e. 8 dx = ( 5 x x ) dx = ln ) (5 ( ) ln ( )) =

11 7. Bestäm eventuella maximi- och minimipunkter för funktionen f där f(x) = ln x 4x, x > 0 Derivera f (x) = 4x + ln x 4 = ln x x Ekvationen f (x) = 0 ger x-koordinat för extrempunkt ln x = 0 4( + ln x) = 0 + ln x = 0 ln x = x = e x = e.7 = = 5 = 0.4 (0//) f (x) = x = 4 x f (0.4) > 0 x = e är x koordinat för en minimipunkt f ( e ) = ln e 4 e = ln e 4 e = 4 e Svar: Minimipunkt ( e, 4 e ) 8. Visa att (0/0/) cos( 75 ) = 6 4 VL = cos( 75 ) = cos 75 = cos( ) = [additionsformel för cosinus]= cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 = 3 3 = 6 = = HL 4 4 4

12 Del Med digitala verktyg (miniräknare, grafritande räknare, eller motsvarande utan möjlighet till kommunikation) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Alla papper ska förses med namn och återlämnas 9. Bestäm g ( π ) om g(x) = 5 sin x Svara med två decimaler (/0/0) 7 g(x) = 5 sin x g (x) = 0 cos x g ( π 7 ) = 0 cos ( π 7 ) 6.3 Svar: g ( π 7 ) 6.3 Kommentar: Räknaren ska vara inställd på radianer då vinkeln π är angiven i radianer 7 Om du inte kan ställa om räknaren till radianer omvandla då vinkeln till grader π 7 = 80 7 g ( ) = 0 cos ( 7 7 ) 6.3

13 0. Figuren visar f(x) = sin 3x x och y = samt deras skärningspunkt A Bestäm lutningen på kurvan f(x) = sin 3x i punkten A Svara med 3 värdesiffror. (/0/0) Lösningsförslag : Grafisk lösning med grafritande räknare Mata in funktionerna i räknaren Använd funktionen intersect eller motsvarande för att hitta skärningspunktens x-koordinat Det kan vara lämpligt att spara skärningspunktens x-koordinat i en variabel Lutningen ges av funktionens derivata då x = 0.87 Lösningsförslag : Numerisk lösning med grafritande räknare Med skärningspunktens x-koordinat är lagrad i variabeln A och funktionen lagrad i variabeln Y gå till Math > nderiv( Svar: 4.3

14 . Hur stor är sannolikheten att en slumpvis vald 8-årig man är mellan 80 och 90 cm om längden av alla 8-åriga män är normalfördelad med väntevärdet μ = 8 cm och standardavvikelsen σ = 8 cm (//0) Formelblad Ma4 > Statistik och sannolikhet > Täthetsfunktion för normalförelning Gå till Y = knappen och mata in funktionen Sannolikheten ges av arean under kurvan mellan 80 och 90 Svar: 0.4 = 4%

15 . Figuren nedan visar graferna till de tre funktionerna y = x, y = x, y = x 4 Beräkna arean av det markerade området. (0//0) Beräkna först x-koordinaterna för de tre skärningspunkerna Intersect mellan y = x och y = x 4 ger x = 0.5 Intersect mellan y = x och y = x ger x = Intersect mellan y = x 4 och y = x ger x =

16 Beräkna area A A = 0.5 (x x 4 ) dx 0.09 Beräkna area B B = ( x x 4 ) dx 0.38 Addera arean A och B Svar: 0.59 a. e.

17 3. Bestäm volymen av den rotationskropp som uppkommer då det område som begränsas av kurvan y = x + samt linjerna x = och x = får rotera kring linjen y = (0/0/3) Lösningsalternativ : V = π (x + ) dx = π (x + ) dx.7 v. e. Svar:.7 v. e. Lösningsalternativ : Exakt lösning utan tekniskt hjälpmedel V = π (x 4 + x + ) dx = π [ x5 5 + x3 3 + x] = π (( ) (( )5 + ( )3 )) = π ( ) = π ( ) = π (30 ) = 56π Bild från WolframAlpha som visar roationskroppen