sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

Transkript

1 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos π + cos x sin π = cos π = 0 sin π = sin x cos x 0.8 = 0.57 sin x cos x Svar: sin x cos 55 + cos x sin sin x cos x ger sin x 0 + cos x = cos x Svar: cos x d b Använd subtraktionsformel för cosinus cos(v u) = cos v cos u + sin v sin u cos(x 7 ) = cos x cos 7 + sin x sin 7 cos 7 och sin 7 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare Använd additionsformel för cosinus cos(v + u) = cos v cos u sin v sin u cos(x + π) = cos x cos π sin x sin π = cos π = sin π = 0 ger cos x ( ) + sin x 0 = cos x Svar: cos x cos x sin x 0.9 = 0.96 cos x sin x Svar: cos x cos 7 + sin x sin cos x sin x

2 34 a Använd additions- och subtraktionsformel för sinus sin(v u) = sin v cos u cos v sin u sin(x + 0 ) + sin(x + 0 ) = sin x cos 0 + cos x sin 0 + sin x cos 0 cos x sin 0 = Två termer identiska med ombytt tecken sin x cos 0 + sin x cos 0 = sin x cos 0 = cos 0 sin x cos 0 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare 0.68 sin x Svar: cos 0 sin x 0.68 sin x b Använd additions- och subtraktionsformel för cosinus cos(v + u) = cos v cos u + sin v sin u cos(v u) = cos v cos u sin v sin u cos (x + 3π 5 ) + cos (x + 3π 5 ) = cos x cos 3π 5 + sin x sin 3π 5 + cos x cos 3π 5 sin x sin 3π 5 = Två termer identiska med ombytt tecken cos x cos 3π 5 + cos x cos 3π 5 = cos x cos 3π 5 = cos 3π 5 cos x cos 3π beräknas med 5 tekniskt hjälpmedel TI-räknare ställ in räknaren på radianer 0.6 cos x Svar: cos 3π cos x 0.6 cos x 5

3 35 Använd additionsformel för sinus sin(x + 30 ) = (sin x cos 30 + cos x sin 30 ) = sinus och cosinus för 30 har exakta värden cos 30 = 3 sin 30 = (sin x 3 + cos x ) = sin x 3 + cos x = sin x 3 + cos x = 3 sin x + cos x Svar: 3 sin x + cos x 36 sin x cos x = sin x sin v = sin v cos v VL = sin x cos x cos x = sin x = HL v. s. v 37 cos v + sin v = cos v Använd cosinus för dubbla vinkeln cos v = cos v sin v VL = cos v + sin v = cos v sin v + sin v = cos v = HL v. s. v 38 cos (3x + π ) = sin 3x Använd additionsformel för cosinus cos(v + u) = cos v cos u sin v sin u HL = cos 3x cos π sin 3x sin π = cos π = 0 sin π = cos 3x 0 sin 3x = sin 3x = HL v. s. v 39 cos 45 sin 45 Använd cosinus för dubbla vinkeln cos v = cos v sin v cos 45 sin 45 = cos( 45 ) = cos 90 = 0 Svar: 0 Kommentar: Svaret är inte helt överraskande då sin 45 = cos 45, som kan ses som sidor i en halv kvadrat.

4 40 sin x + (sin x cos x) = sin x = sin x cos x Samt utveckla kvadraten mha andra kvadreringsregeln sin x cos x + sin x sin x cos x + cos x = sin x + cos x = Trigonometriska ettan sin v + cos v = Svar: 4 cos v = cos v sin v VL = cos v = cos(v + v) = Använd additionsformel för cosinus cos(v + u) = cos v cos u sin v sin u cos v cos v sin v sin v = cos v sin v = HL v. s. v. 4 sin x = cos x Man kan inte dividera med noll. cos x kan vara lika med noll och sålunda undviker vi att dela med cos x Lös ekvationen så här sin x = cos x Flytta alla termer till en sida sin x cos x = 0 sin x = sin x cos x sin x cos x cos x = 0 bryt ut cos x cos x ( sin x ) = 0 Använd nollprodukten vilket ger ekvationerna cos x = 0 () { sin x () Lösning av () ger x = ±90 + n 360 x = 90 + n 80 Lösning av () ger sin x = 0 sin x = Fall x = sin ( ) + n 360 x = 30 + n 360

5 Fall x = 80 sin ( ) + n 360 x = n 360 x = 50 + n Lösningsalternativ tan x = sin x cos x Börja med HL HL = då vi har två olika vinklar x och x skriver vi om vinkeln i täljaren sin ( x ) cos x = sin x = sin x cos x i täljaren Svar: x = 90 + n 80 Är lösningarna som försvinner om man dividerar med cos x De övriga lösnigarna är x = 30 + n 360 x = 50 + n 360 sin x cos x cos x = förkorta cos x sin x cos x = sin x cos x = tan x tan x = VL v. s. v.

6 Lösningsalternativ tan x = sin x cos x Börja med VL VL = tan x = sin x cos x = förläng med cos x sin x cos x cos x cos x = sin x cos x cos x = sin x = sin x cos x i täljaren sin ( x ) cos x = sin x cos x = HL v. s. v. Lösningsalternativ 3 Lösningsalternativ 3 tan x = sin x cos x Då vi har två olika vinklar x och x så börjar vi med att samla x vinklarna i VL tan x cos x = sin x Visa nu att VL = HL VL = tan x cos x = sin x cos x cos x cos x = sin x cos x = sin x cos x = Utnyttja att sin x cos x = sin x sin ( x ) = sin x = HL

7 44 sin 3x = (3 cos x sin x) sin x VL = sin 3x = sin(x + x) = Använd additionsformel för sinus sin x cos x + cos x sin x = Använd cosinus och sinus för dubbla vinkeln cos x = cos x sin x sin x = sin x cos x sin x (cos x sin x) + cos x sin x cos x = sin x (cos x sin x) + cos x sin x = sin x (cos x sin x + cos x) = (3 cos x sin x) sin x = HL 45 Lösningsalternativ + cos x = tan x + VL = + cos x = Trigonometriska ettan = sin x + cos x Cosinus för dubbla vinkeln cos x = cos x sin x Lösningsalternativ Om man kör fast kan man först skriva om likheten och hoppas på att man hittar en ny likhet som är lättare att visa att den är sann + cos x = tan x + Multiplicera båda led med + cos x = tan x + Multiplicera båda led med ( + cos x) = ( + cos x)(tan x + ) Visa nu att VL = HL HL = ( + cos x)(tan x + ) = cos x = cos x ( + ( cos x ))(tan x + ) = cos x (tan x + ) = cos x tan x + cos x = cos x sin x cos x + cos x = sin x + cos x = (sin x + cos x) = = = VL sin x + cos x sin x + cos x + cos x sin x = sin x + cos x cos = x sin x cos x + cos x cos x = sin x cos x + cos x cos x = tan x + = tan x + = HL v. s. v

8 46 a Då cos v = sin(90 v) fås cos(u + v) = sin(90 (u + v)) = sin(90 u v) = sin((90 u) v) b Vi ska visa att cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v VL = cos(u + v) = enligt uppgift a = sin((90 u) v) = Använd subtraktionsformel för sinus sin(u v) = sin u cos v cos u sin v = sin(90 u) cos v cos(90 u) sin v = sin(90 u) = cos u cos(90 u) = sin u cos u cos v sin u sin v = HL v. s. v. 47 Vi ska visa att cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v VL = cos(u v) = Vi utnyttjar att vi känner additionsformlen för cosinus och skriver därför om skillnaden mellan u och v till en summa = cos(u + ( v)) = Använd additionsformel för cosinus cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v = cos u cos( v) sin u sin( v) = cos( v) = cos v sin( v) = sin v = cos u cos v sin u ( sin v) = = cos u cos v + sin u sin v = HL v. s. b.