Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

Transkript

1 ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns att för x, y R gäller att: e x e y = e x+y Vi skulle nu vilja att även den komplexa exponentialfunktionen följer denna regel. Detta uppfylls om vi definierar: Definition: Komplex exponentialfunktion Låt z C och z = x + yi. Vi definierar: e z = e x+yi = e x (cos y + i sin y). Exempel: Beräkna e z för z = 1 + i. Lösning: Beräkna enligt definition: e z = e 1 (cos(1) + i sin(1)) Vi kan enkelt beräkna absolutbeloppet och argumentet för exponentialfunktionen av ett komplext tal: e z = e x+yi = (e x ) (cos y + sin y) = e x 1 = e x arg(e z ) = arg(e x+yi ) = y om y ( π, π] Detta ger ytterligare ett sätt att representera komplexa tal, nämligen exponentialformen: z = e x+yi, x : e x = z, y = arg(z). Vi kan också se att det ger ett mer kompakt sätt att skriva polärformen: z = re iu, r = z, u = arg(z). 1

2 ht016 Exempel: Skriv om talet z = i på exponentialform. Lösning: Vi kan beräkna z = = 1 och arg(z) = 3π 4. Eftersom e0 = 1 kan vi representera vårt komplexa tal som: z = e 0+ 3π 4 i = e 3π 4 i. Exemplet ovan illustrerar en allmän princip: Om z = 1 så ligger det komplexa talet på enhetscirkeln i det komplexa talplanet, och vi kan beskriva talet enbart med dess argument: z = e arg(z). Im z = 0 + 1i = e π i z = 1 ( 1 + 1i) = e 3π 4 i z = 1 (1 + 1i) = e π 4 i z = 1 + 0i = e πi O Re z = 1 + 0i = e 0i z = 1 ( 1 1i) = e 3π 4 i z = 1 (1 1i) = e 1π 4 i z = 0 1i = e π i Vi kan också märka att multiplikation med ett tal e ui roterar ett komplext tal u rad i talplanet: ze ui = e x+yi e ui = e x+i(y+u). Kopplingen mellan de trigonometriska funktionerna och den komplexa exponentialfunktionen kan beskrivas med:

3 ht016 Sats: Eulers formler cos(x) = eix + e ix sin(x) = eix e ix i Bevis: Vi beräknar: e ix + e ix = 1 (cos x + i sin x + cos( x) + i sin( x)) = = 1 (cos x + cos x + i sin x i sin x) = cos x. Formeln för sinus visas på liknande vis. Dessa formler kan vara ytterst användbara i trigonometriska beräkningar. Vi använder dem här för att som utlovat visa en av vinkeladditionsformlerna: Sats: Bevis för vinkeladdtionsformel Vi ska visa att: cos(u + v) = cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) Vi använder Eulers formler på högerledet och beräknar: cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) = = 1 (eiu + e iu ) 1 (eiv + e iv ) 1 i (eiu e iu ) 1 i (eiv e iv ) = = 1 4 [(eiu + e iu )(e iv + e iv )] [(eiu e iu )(e iv e iv )] = = 1 4 [eiu e iv + e iu e iv ] = = 1 4 [ei(u+v) + e i(u+v) ] = V.S.V. = ei(u+v) + e i(u+v) = cos(u + v) 3

4 ht016 De andra vinkeladditionsformlerna kan visas på liknade sätt. Eulers formler kan också användas för att definiera sinus och cosinus för komplexa tal. Definition: Sinus och cosinus för z C Låt z C. Vi definierar: cos(z) = eiz + e iz sin(z) = eiz e iz i Exempel: cos(i) = ei + e i = e 1 + e 1 Avstånd i det komplexa talplanet Vi såg tidigare hur x a för x, a R beskrev avståndet mellan två reella tal. På samma sätt kan vi beräkna avstånd mellan två tal i det komplexa talplanet. För två tal z, w C sådana att z = a + bi och w = c + di kan vi beräkna: z w = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i = (a c) + (b d) Vi kan se att detta måste vara avståndet genom att betrakta en figur: 4

5 ht016 Im b z = a + bi z w b d d w = c + di a c c a Re Vi kan använda detta synsätt för absolutbeloppet för att beskriva delmängder av det komplexa talplanet. Exempel: Beskriv och skissa följande delmängder av C: a) z 1 = 1 b) z (1 + i) 3 Lösning: a) Ekvationen säger att z ska ligga på avstånd 1 från talet 1, dvs det är en cirkel med radie 1 centrerad runt 1: 5

6 ht016 Im z = 1 Re b) Olikheten säger att z ska vara inom ett avstånd av 3 från punkten 1 + i, dvs en fylld cirkel centrerad i 1 + i med radie 3: 6

7 ht016 Im z = 1 + i Re Vi kan observera att till skillnad från det reella fallet är olikheter inte definierade för komplexa tal. Komplexa polynomekvationer För reella kvadratiska ekvationer kunde vi hitta en allmän formel för lösningar. Vi skulle vilja utvidga detta till komplexa tal så att vi kan lösa ekvationer av typen: az + bz + c = 0, a, b, c C Vi kan börja med att lösa ekvationer av typen z = a + bi: Exempel: Hitta samtliga lösningar till z = + i. Lösning: Vi skriver om båda talen på exponentialform. Ansätt z = re iu = z = r (e iu ) = e iu och beräkna + i = e i π 4. För att två komplexa tal ska vara lika måste de ha samma absolutbelopp och samma argument. Detta ger att: r = u = π 4 + πn, n Z Eftersom r är absolutbeloppet av z måste det vara positivt, och vi får endast en lösning 7

8 ht016 r =. För argumentet får vi: u = π 8 + πn Vi behöver endast ta med sådana lösningar på u att u ( π, π]. Detta får vi om vi sätter n till 0 eller -1 vilket ger: π 8 u = π π = 7π 8 8 Svar: Lösningarna till ekvationen är z 1 = e i π 8 och z = e i 7π 8. Vi kan kombinera hur vi löste denna ekvation med kvadratkomplettering för att lösa allmänna kvadratiska ekvationer: Exempel: Hitta samtliga lösningar till z 6iz i = 0. Lösning: Vi kvadratkompletterar vilket ger: (z 3i) (3i) i = (z 3i) i = (z 3i) + 3i vilket ger ekvationen (z 3i) = 3i. Vi kan nu ansätta w = z 3i och lösa w = 3i. Vi beräknar: och 3i = + 3 = = 4 tan v = 3 = 3 = v = π 3 Vi skriver om problemet på exponentialform: w = re iu = w = r e iu och löser + 3i = 4e i π 3 r = 4 8

9 ht016 u = π 3 + πn, n Z r = u = π 6 + πn Vi begränsar oss igen till lösningar u ( π, π], vilket vi får för n = 0 och n = 1. π 6 u = π + π = 5π 6 6 Så lösningarna ges av e i π 6 = ( i) = 3 i w = e i 5π 6 = ( i) = 3 + i Eftersom vi satte w = z 3i z = w + 3i har vi Svar: Lösningarna till ekvationen ges av: z 1 = 3 + i z = 3 + 4i Vi kan genomföra samma procedur genom att använda lösningsformel: Exempel: Hitta samtliga lösningar till z 6iz i = 0. Lösning: Vi använder pq -formeln: z = 6i ± ( 6i ) ( i) = 3i ± (3i) i = 3i ± 3i Vi tänker här på roten av det komplexa talet som ett symboliskt sätt att beskriva lösningarna till ekvationen w = 3. Vi vet att dessa är w = ±( 3 i) så vi får att z = 3i ± ( 3 + i 3 i) = 3 + 4i 9

10 ht016 Ekvationer av högre grad Precis som i det reella fallet finns ingen formel för polynomekvaitoner av godtycklig grad, men vi kan lösa ekvationer av typen z n = a + bi, n Z. Exempel: Hitta samtliga lösningar till z 4 = 1 i. Lösning: Vi skriver om på exponentialform: z 4 = 1 i r 4 e 4ui = e 3π 4 i Precis som tidigare får vi en ekvation för absolutbeloppet och en för argumentet: r 4 = 4u = 3π 4 + πn, n Z r = 8 u = 3π 16 + π n Vi får lösningar u ( π, π] för n =, 1, 0, 1 så, u 1 = 3π 16 π = π u = 3π 16 u 3 = 3π 16 + π = 5 16 π u 4 = 3π 16 + π = π 10

11 ht016 Detta ger lösningar z: z 1 = 8 11 i e 16 π z = 8 e i 3 16 π z 3 = 8 e i 5 16 π z 4 = 8 e i π 11