Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Transkript

1 Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med den sista delen av kursen, som handlar om polynom och algebraiska ekvationer. Komplexa tal, andragradsekvationer och binomiska ekvationer ingår i baskursen men det skadar säkert inte att repetera dessa saker inför polynomavsnittet. Både andragrads- och binomiska ekvationer är exempel på algebraiska ekvationer, som helt enkelt är ett samlingsnamn på de ekvationer där man söker nollställen till polynom. Rekursionsformler En talföljd är en följd av tal. Inte deras summa, inte deras produkt, utan helt enkelt bara tal som man skriver efter varandra med kommatecken emellan: a 1, a 2, a 3, a Man kan ange talföljder på olika sätt. Exempel 5.1. Om vi deklarerar att a i = 2 i, får vi talföljden 2 i ) i=1 = 2, 4, 8, 16, 32,.... Man kan också definiera en talföljd rekursivt. Det betyder att man istället för att ange en sluten formel, som i exemplet ovan, anger följdens tal i termer av de föregående talen. Exempel 5.2. Fibonacciföljden definieras av att a 1 = a 2 = 1, och a k = a k 1 + a k 2 för k 3. Det ger upphov till följden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.... För en rekursivt definierad följd, behöver man först i princip beräkna a 1, a 2,..., a i 1 för att få reda på vad a i är. Därför är det ofta önskvärt att hitta en sluten formel istället så att man, som i Exempel 5.1, kan veta vad a i är utan att först behöva beräkna alla föregående tal. Komplexa tal repetition) Här följer en kort repetition av komplexa tal, andragrads-, och binomiska ekvtioner. För mer detaljer eller ingående förklaringar, se [Vre06, kap 6]. Ett komplext tal z C är ett tal som kan skrivas på formen a + bi, där a = Re z och b = Im z är reella tal och i 2 = 1. a) Addition: a + bi) + c + di) = a + c) + ib + d). b) Multiplikation: a + bi)c + di) = ac bd) + iad + bc). c) Ett komplext tal z C, z = a + bi har konjugat z = a bi och absolutbelopp z = a 2 + b 2 = z z. Om z och w är komplexa tal, har vi: zw = z w, z/w = z / w, z + w z + w, z = z, Re z z, och Im z z.

2 d) Division av komplexa tal: a + bi a + bi)c di) a + bi)c di) = = c + di c + di)c di) c 2 + d 2. e) Polär form: Ett nollskilt komplext tal z = a + bi har polär form z = rcos θ + i sin θ), där r = a 2 + b 2 är beloppet av z, och θ är argumentet 1 : θ = arctan b a. f) Eulers formel: cos θ + i sin θ = e iθ, så vi kan skriva z som z = re iθ. g) de Moivres lag: Om z = rcos θ + i sin θ) och w = scos φ + i sin φ), så är zw = rscosθ + φ) + i sinθ + φ)) z/w = r s cosθ φ) + i sinθ φ)) z n = r n cosnθ) + i sinnθ)), n Z. Andragradsekvationer I [Vre06, 6.5] handlar det om att lösa andragradsekvationer med komplexa tal som koefficienter. Lösningsmetoden illustreras väl av följande exempel: Lös ekvationen z i)z 1 + 7i = 0. 1) Lösning: Vi börjar med att kvadratkomplettera: z i)z 1 + 7i = z i ) 2 ) 2 + i i 2 2 = z i ) i. Ekvation 1) är alltså ekvivalent med z i ) 2 = 7 6i. 2) 2 4 Ansätt w = z + 2+i 2, och låt a = Re w), och b = Im w), så att w = a + bi. Då gäller w 2 = a 2 b 2 + 2abi = 7 4 6i. Genom att jämföra realdel, imaginärdel, och absolutbelopp av de två sidorna i ekvation 2) får vi följande ekvationer: a 2 b 2 = 7 4 2ab = 6 a 2 + b 2 = ) 2 = = Addition av den första och tredje ekvationen ger att 2a 2 = 8, så att a = ±2. Om den första ekvationen subtraheras från den tredje får vi 2b 2 = 9 2, så att b = ± 3 2. Den mittersta av de tre ekvationerna visar att a och b måste ha motsatt tecken, så att de två lösningarna är w 1 = 2 3i 2 w 2 = 2 + 3i 1 Om a = 0, tar vi istället θ = π/2 om b > 0 π/2 om b < 0. 2.

3 Det ger slutligen följande lösningar till ekvation 1). z 1 = 1 2i z 2 = 3 + i. Den binomiska ekvationen En binomisk ekvation är, som man kan läsa i [Vre06, 6.6], en ekvation på formen z n = a, där z är ett obekant komplext tal, och a C är givet. Vi illustrerar lösningsmetoden genom att lösa ekvationen: z 4 = 1 + i. Lösning: Om z = re iθ, så är z 4 = r 4 e 4iθ, och 1 + i kan skrivas på polär form på följande vis: Ekvationen lyder alltså: 1 + i = 2e πi/4. r 4 e 4iθ = 2e πi/4. Det följer att r = 2 1/8 och att 4θ = π/4 + 2πk. Det leder till att θ = π/16 + πk/2, k = 0, 1, 2, 3. Sammanlagt har vi alltså fyra lösningar: re iθ, där r = 2 1/8, och π θ 16, 9π 16, 17π 16, 25π }. 16 Polynom I [Vre06, 7.1] kan man läsa om vad reella polynom och komplexa polynom är, hur man adderar och multiplicerar polynom med varandra, vad ett konstant polynom är, vad ett polynoms koefficienter är, vad graden av ett polynom är dock avstår vi inte, som Vretblad, från att låta deg 0 = ) och när två polynom är lika med varandra. Där framgår också att man kan se polynom som funktioner, genom att man sätter in ett tal istället för variabeln. Om f och g är två polynom så säger vi, precis som för heltal, att g är en delare i f om det finns ett polynom h sådant att f = gh. I så fall skriver vi g f. Till exempel gäller det att Exempel 5.3. a) x + 3) x 2 9). b) 17 x 3 + 1). c) x + 1) 2x 2). d) 3 5. Här är 3 och 5 två konstanta polynom; motsvarande delbarhetsrelation för heltal gäller inte, trots att den betecknas på samma sätt. När man skriver symbolen för delbarhet, är det alltså viktigt att hålla reda på om man betraktar delbarhetsrelationen på mängden av heltal eller delbarhetsrelationen på mängden av polynom. Definition 5.4. En trivial delare till ett polynom f är en delare på formen λ eller λf för något nollskilt tal λ. För att ett polynom ska kunna ha äkta delare behöver det vara av grad minst två, och en delare g till ett sådant polynom f är en äkta delare om och endast om 1 degg) < degf).

4 Om två polynom f och g bara skiljer sig på en nollskild konstant faktor, så att g = λf, för något komplext tal λ 0, säger vi att de är associerade med varandra. Ekvivalent, kan man säga att två polynom f och g är associerade med varandra om både f g och g f gäller. Exempel 5.5. Vi blickar tillbaka till det föregående exemplet. a) x + 3 är en äkta delare i x 2 9. b) 17 är en trivial delare i x 3 +1 ett konstant nollskilt polynom är en delare i vilket polynom som helst, på samma sätt som ±1 är en delare i vilket heltal som helst). c) Polynomen x + 1 och 2x 2 är associerade med varandra. d) De konstanta polynomen 3 och 5 är associerade med varandra. Dessutom är 3 en trivial delare i 5 eftersom 1 deg3) inte gäller. Definition 5.6. Ett polynom av grad minst 1 kallas irreducibelt om det saknar äkta delare, och reducibelt om det det kan skrivas som en produkt av polynom av lägre grad. Nollpolynomet och konstanta polynom kallas varken irreducibla eller reducibla. Irreducibla polynom har egenskaper som liknar primtalens: Varje reducibelt polynom har en äkta delare som är irreducibel, och varje polynom av grad minst ett kan skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Exempel 5.7. Sett som ett reellt polynom är x irreducibelt, men sett som ett komplext polynom har vi x = x i)x i). Varje polynom av grad ett är irreducibelt. Divisionsalgoritmen för polynom Polynom kan divideras med varandra med kvot och rest: Givet två polynom f och g, g 0, finns det polynom q och r sådana att f = qg + r och deg r < deg g speciellt innebär det att r = 0 om g är konstant, eftersom nollpolynomet är det enda polynomet som har negativ grad). För att hitta kvoten och resten kan man utföra polynomdivision med liggande stolen. Exempel 5.8. Låt fx) = 3x 3 + 2x 2 5x + 7 och gx) = x Då är fx) = 3x + 2)gx) 14x + 1. Sats 5.9 Faktorsatsen). Polynomet x α) är en delare i polynomet fx) om och endast om α är ett nollställe till fx). Bevis. Dividera fx) med x α) med kvot och rest: fx) = qx)x α) + r. Eftersom degx α) = 1, följer det att deg r < 1 så att polynomet r är konstant. Om x α) är en delare i fx), blir resten r = 0, och då är fα) = qα)α α) = 0. Om å andra sidan α är ett nollställe till fx), följer det att 0 = qα)α α) + r så att r = 0 och x α) är en delare i fx). Exempel Polynomet x 2 delar polynomet fx) = x 2 5x + 6 eftersom f2) = 0. Enligt faktorsatsen är det ekvivalent att hitta förstagradsfaktorer till ett polynom och nollställen till detsamma.

5 Sats Algebrans fundamentalsats). Varje reellt eller komplext) polynom av grad 1 har minst ett komplext nollställe. Bevis. Kommer i kursen komplex analys. Kombinerat med faktorsatsen, får vi följande sats om faktorisering: Sats Om fx) är ett polynom av grad n, så finns det en konstant c och komplexa tal α i sådana att fx) = cx α 1 )x α 2 ) x α n ). Bevis. Enligt fundamentalsatsen har f ett nollställe, säg α 1, så att fx) = x α 1 )g 1 x) för något g 1 x), med deg g 1 x) = n 1. Om n 1 > 0, har även g 1 x) ett nollställe, vilket leder till fx) = x α 1 )x α 2 )g 2 x) för något g 2 x) av grad n 2. Vi kan upprepa detta så länge kvoten g i x) har positiv grad, och när kvoten till slut blir konstant lika med c) är vi klara. Talen α i är f:s nollställen det är fullt möjligt att flera av dem är lika med varandra. Om samma nollställe förekommer 2 gånger säger man att det är ett dubbelt nollställe, och mer allmänt säger man att ett nollställe som förekommer m gånger har multiplicitet m. Faktoriseringen i Sats 5.12 är entydig i den meningen att om fx) har två olika faktoriseringar: fx) = cx α 1 )x α 2 ) x α n ) = dx β 1 )x β 2 ) x β n ) så är c = d och α 1, α 2,..., α n ) = β 1, β 2,..., β n ) förutsatt att vi skriver följden av β i i rätt ordning. Referenser [Vre06] A. Vretblad och K. Ekstig. Algebra och geometri. Gleerup, 2006.