Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion

Transkript

1 Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av typ a n z n Æ ledande koefficient + + a k z k Æ koefficient + + a 1 z + a 0 där de s.k. koefficienterna a 0, a 1,, a n œ. Det största k:et sådant att a k är nollskild kallas för polynomets grad. Motsvarande koefficient kallas ledande koefficient. Våra exempelpolynom har ofta (men inte alltid) ledande koefficient lika med 1. EXEMPEL 1 5 z 3 + z 2 -  z + 3  är ett polynom över av grad 3. "@zd, #@zd, $@zd Mängden av alla polynom över "@zd, #@zd, $@zd avser motsvarande polynommängder då polynomens koefficienter tillhör ", # resp. $. Exempel på polynom $@zd #@zd 5 z 3 + z z + 3 z 3 + z z z 3 + p z z + 7 z 3 +  2 z 2 + I + 2 M z +  Vår vanligaste kortbeteckning på ett godtyckligt element är eller HzL. Även bokstäverna ", #, $, %, & kommer att användas. Till varje polynom hör en funktion Notera att ett polynom är inte en funktion, det är bara ett syntaktiskt objekt, ett uttryck en teckensträng. Men till varje hör en funktion, närmare bestämt funktionen z # HzL Funktionen är en s.k. polynomfunktion. Trots den potentiella förvirringsrisken används samma beteckning för polynomet som för dess funktion. Grafen till en polynomfunktion Först specialfallet där och x Œ Input-output-paren Hx, HxLL blir i detta fall en delmängd av " 2. Ty HxL = a n x n + + a 1 x + a 0 är reellt då x och koefficienterna är reella. EXEMPEL 2 x polynom.nb 2 x x 3 - x2 2 - x Nu det allmänna fallet där Œ "@zd och z Œ " Här blir polynomfunktions graf en delmängd av µ = 2 som inte ryms i det tredimensionella rummet. Därför finns det uppenbara problem att visualisera en sådan funktionsgraf. En modern visualiseringsmodell går ut på att måla varje komplex punkt med en unik färg. Se nedanför Färgkodning av " Vid s.k. färgkodning av tillordnas varje z œ en unik kulör och ljushet. Kulören dvs. vilken blandning av rött, gult, grönt och blått som skall användas bestäms av arg z. x

2 3 polynom.nb Argumenten 0, p 3, 2 p 3, p, 4 p 3, 5 p tilldelas tex rent röda, gula, gröna, turkos, 3 blå respektive violetta kulörer. Vad beträffar ljusheten dvs. hur mycket vitt eller svart som skall tillsättas så är det z som avgör. Ju mindre z, ju mer svärta tillsättes. Och z med stort z ljusas upp med vitt. Plan färgkodning av komplexa funktionsgrafer Den s.k. färggrafen till HzL fås genom att man målar varje punkt z med HzL:s färg. Se exemplen nedanför. EXEMPEL 3 Färggraferna till HzL = z 2 respektive z 3. T.ex. visar de turkosfärgade punkterna på imaginära axeln i den vänstra grafen att kvadraten på imaginära tal blir negativa. På motsvarande sätt visar de turkosfärgade strålarna i högra figuren att kuber av tal med argumenten 2 p och p blir negativa. 3 EXEMPEL 4 HzL = Hz - 1L 2 respektive z 3 - z2 2 - z Polynom och delbarhet Polynom och naturliga tal Decimalrepresentationen av ett naturligt tal bygger på att naturliga tal kan skrivas som polynom i $ där $ 10 = 80, 1,, 9< och z = 10: heltal ÿ ÿ polynom över $ 10 z z z + 2 Därför är det inte konstigt att många heltalsbegrepp har motsvarigheter för polynom något som kommer att visa sig strax DEFINITION Man skriver " \ (uttalas "" delar ") om det finns något % sådant att " ÿ% =. Man säger även att " är en delare i eller att är delbart med ". EXEMPEL 5 Hz - 1L \ Iz 3-1M, ty Hz - 1L Iz 2 + z + 1M = Iz 3-1M polynom.nb 4 Den tredimensionella färggrafen Här avbildas funktionen z # HzL som en yta i det tredimensionella rummet µ" och målas med färger (utan tillsatser av vitt eller svart) som bestäms av arg HzL på samma sätt som i de plana färggraferna ovanför. lemma 1 Om " \ # och " \ $ så " \ H 1 ÿ # + 2 ÿ$l för alla 1, 2 Divisionsalgoritmen Att dividera ett polynom med ett polynom " som är skild från nollpolynomet innebär att hitta ett polynom % (kallas kvoten) sådan att skillnaden & mellan och % ÿ" (denna skillnad kallas resten) endera blir nollpolynomet eller åtminstone ett polynom av lägre grad än ". Dvs. så att = " ÿ% + & där & = 0 eller & " 0 och av lägre grad än ". EXEMPEL 6 Vi dividerar z z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2 med z z 2 + z - 6:

3 5 polynom.nb z z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2 : z z 2 + z - 6 = z 2-2 z +5 ô % z z 4 + z 3-6 z 2-2 z 4-3 z z 2 + z z 4-8 z 3-2 z z 5 z z 2-11 z z z z z 2-16 z + 32 ô & Det följer att z z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2 = Fyra satser Iz z 2 + z - 6M Hz 2-2 z + 5 % L + H-16 z 2-16 z + 32L & Till varje hör ekvationen HzL 0. Ekvationens lösningar benämnes rötter till HzL 0 eller nollställen till HzL. Satserna nedanför visar att och hur rötterna är relaterade till polynomets förstagradsfaktorer. 1. Faktorsatsen Hz 1 L = 0 omm Hz - z 1 L\ 2. Algebrans fundamentalsats Om grad > 0 så är Hz 1 L = 0 för något z 1 œ. 3. Satsen om fullständig faktorisering Om är av grad n 1 och har ledande koefficient 1, så kan (på entydigt sätt) faktoriseras som HzL = Hz - z n Lÿ ÿhz - z 2 LÿHz - z 1 L, där z 1,, z n œ. 4. Satsen om antalet nollställen Varje polynom vars grad är lika med n har exakt n nollställen i om de räknas med multiplicitet. Sambanden mellan nollställen och koefficienter Betrakta ett godtyckligt andragradspolynom med ledande koefficient 1 och nollställen z 1, z 2. Om polynomet är z 2 + a 1 z + a 0 så följer av faktorsatsen att z 2 + a 1 z + a 0 " Hz - z 1 LÿHz - z 2 L Efter expansion av högerledet får man ekvationen Efter expansion av högerledet får man ekvationen z 2 + a 1 z + a 0 " z 2 - Hz 1 + z 2 L z + z 1 z 2 Härav följer sambanden ; z 1 + z 2 " -a 1 z 1 z 2 " a 0 Dvs. summan av nollställena är lika med den linjära termens koefficient med omvänt tecken, och produkten av nollställena är lika med den konstanta termen. För tredjegradspolynomet z 3 + a 2 z 2 + a 1 z + a 0 med nollställen z 1, z 2, z 3 erhålles på motsvarande sätt följande samband z 1 + z 2 + z 3 " -a 2 z 1 z 2 + z 3 z 2 + z 1 z 3 " a 1 z 1 z 2 z 3 " -a 0 polynom.nb 6 Multipla nollställen Två eller flera av nollställena z k kan överensstämma. Man talar då om nollställen av multiplicitet 2. Ett nollställe som bara förekommer en gång i faktoriseringen av kallas enkelt nollställe. T.ex. har Hz -5L 3 Hz - 2 ÂL nollstället 5 av multiplicitet 3. Sats Om a är nollställe av multiplicitet m 2 till så är a nollställe av multiplicitet m - 1 till :s derivata z HzL. EXEMPEL 7 Bestäm l œ så att z z + l får ett multipelt nollställe. Bestäm också samtliga nollställen för nämnda l-värden. LÖSNING Sätt HzL = z z + l. Då är z HzL = 3 z2 + 12, och HzL = 0 omm z = 2 Â. z Enligt satsen är 2  eller -2  ett dubbelt nollställe till. För att bestämma l löser vi H2 ÂL = 0 respektive H-2 ÂL = 0, dvs H2 ÂL = H2 ÂL µ 2  + l = l + 16  = 0 respektive H-2 ÂL = H-2 ÂL H-2 ÂL + l = l - 16  = 0. Det följer att har det dubbla nollstället 2  då l = -16  och det dubbla nollstället -2  då l = 16 Â. Det resterande nollstället till beräknas enklast genom att utnyttja sambandet mellan nollställen och koefficienter. Det

4 Det resterande nollstället till beräknas enklast genom att utnyttja sambandet z 1 z 2 z 3 " -a 0 = -l mellan nollställen och koefficienter. Det 7 polynom.nb resterande nollstället visar sig därmed i det första fallet bli lika med -4 Â, och 4  i det andra. 2  dubbelt 4  nollställena. De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner: z z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2 " Iz 2-2 z + 5M Iz z 2 + z - 6M Iz 2 + z - 2M z z 2 + z - 6 " Hz + 3L Iz 2 + z - 2M + 0 polynom.nb 8 l = -16  -4  SGD och Euklides' algoritm l = 16  -2  dubbelt Begreppet största gemensamma delare från heltalens värld har en motsvarighet för polynom. Euklides' algoritm likaså. DEFINITION Med SGDH, %L avses ett polynom ' sådant att (1) ' \ och ' \ %, (2) ' har maximal grad av alla ' som uppfyller (1). EUKLIDES algoritm SGDH, 0L = SGDH, %L = SGDH%, RestH, %LL EXEMPEL 8 Bestäm SGD till z z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2 och z z 2 + z - 6, samt alla eventuella gemensamma nollställen. LÖSNING SGDIz z 4-2 z 3-4 z 2 + z + 2, z z 2 + z - 6M = SGDIz z 2 + z - 6, z 2 + z - 2M = SGDIz 2 + z - 2, 0M = Iz 2 + z - 2M Av z 2 + z - 2 = Hz + 2L Hz - 1L följer att -2 och 1 är de gemensamma nollställena. De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner: Polynom Notera följande intressanta resultat Hz - Ha + b ÂLL Hz - Ha - b ÂLL = z 2-2 a z + a 2 + b 2 ( ) säger oss att andragradspolynom med ledande koefficient 1 och konjugerade nollställen har reella koefficienter. Även det omvända gäller: Andragradspolynom med ledande koefficient 1 och reella koefficienter har konjugerade nollställen. BEVIS Betrakta HzL = z 2 + a 1 z + a 0 œ "@zd. Vi visar att om HaL = 0 så följer att HaL = 0: HaL = a 2 + a 1 a + a 0 = a a + a 1 a + a 0 a 1,a 0 œ = aÿa + a 1 a + a 0 a ÿb=a ÿb = a +b=a +b HaL=0 aÿa + a 1 a + a 0 = aÿa + a 1 a + a 0 = HaL = 0 = 0 Anmärkning 2 Bevisa själv de två konjugeringsreglerna a ÿ b = a ÿ b och a + b = a + b Resultatet om konjugerade nollställen kan härledas för polynom i "@zd av godtycklig grad. Därav nedanstående sats.

5 9 polynom.nb Satsen om konjugerade par av nollställen Ickereella nollställen till ett polynom med reella koefficienter kommer alltid i konjugerade par. z 1 z 1 z 2 z 2. Efter faktorisering fås z 4-6 z 2-12 z - 8 = Iz z + 2M Iz 2-2 z - 4M De resterande rötterna finns således som nollställen till z 2-2 z - 4. z 2-2 z - 4 = Hz - 1L 2 - I 5 M 2 = Iz M Iz M Sammantaget har vi nu visat att ekvationens rötter är -1 - Â, -1 + Â, 1 + 5, 1-5. polynom.nb 10 EXEMPEL 9 Lös ekvationenen z 3 + a z 2 + b z + 90 = 0 under förutsättning att a, b œ " och att ekvationen har en rot m œ $ samt en komplex rot n +  n där n œ $. LÖSNING Av informationen i texten följer att z 3 + a z 2 + b z + 90 = Hz - n -  nl Hz - n +  nl Hz - ml = z 3 + H-m - 2 nl z 2 + I2 n m nm z - 2 m n 2. Därvid fås bl.a. -2 m n 2 " 90, dvs. m n 2 " -45 vilket är en enkel diofantisk ekvation med rötterna m = -45, n = 1 eller m = -5, n = 3. Således är rötterna lika med -45, 1 + Â, 1 -  eller -5, Â, 3-3 Â. EXEMPEL 10 Lös ekvationenen z 4-6 z 2-12 z - 8 = 0, givet följande information: Ekvationen har en rot vars realdel är lika med dess imaginärdel. LÖSNING En rot är z = a +  a. Därmed är även a -  a en rot. Låt oss sätta in första roten i den givna ekvationen: Ha +  al 4-6 Ha +  al 2-12 Ha +  al - 8 = -4 a  a 2-12 Ha +  al - 8 = -4 a 4-12 a  12 a Ha + 1L = 0 Härav, ; -4 a4-12 a - 8 " 0 12 a Ha + 1L " 0 Den undre ekvationen säger oss att a måste vara lika med 0 eller -1. Av dessa två a-värden satisfierar endast -1 den övre ekvationen. Alltså är z = -1 -  och z = -1 +  rötter till den givna ekvationen. Ekvationens fjärdegradspolynom är därmed delbart med Hz ÂL Hz ÂL = z z + 2. Efter faktorisering fås EXEMPEL 11 Polynomet z 4-2 z z z har två ickereella nollställen vars kvot är lika med -2. Bestäm samtliga nollställen. LÖSNING Om de två nollställena vars kvot är -2 är lika med a +  b, -2 a - 2  b måste de övriga två nollställena vara a -  b, -2 a + 2  b (Eller hur). Hz - a -  bl Hz - a +  bl Hz - 2 a - 2  bl Hz - 2 a + 2  bl blir lika med z a z 3 + I-3 a b 2 M z 2 + I-4 a 3-4 a b 2 M z + 4 Ia 2 + b 2 M 2 och kan identifieras med det givna polynomet. Därvid uppstår bl.a. de två ekvationerna 2 a = -2 och 4 Ia 2 + b 2 M 2 = 100, dvs. a = -1 och I1 + b 2 M 2 = 25 Härav, a = -1 och b œ 92, -2, Â, 6, -Â, 6=. De ickereella b-lösningarna förkastas givetvis eftersom b skall vara reell. b = 2 ger (precis som b = -2) att det givna polynomets nollställen blir Â, -1-2 Â, 2-4 Â, Â. Kontroll: Hz ÂL Hz ÂL Hz ÂL Hz ÂL " z 4-2 z z z EXEMPEL 12 Om polynomet z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c vet man att

6 11 polynom.nb det har reella koefficienter, att dess nollställen bildar en kvadrat i det komplexa planet samt att två av dem ligger på imaginära exeln. Bestäm samtliga nollställen. LÖSNING Nollställena på imaginära axeln måste vara konjugerade. Säg att de är  b och - b. Om de fyra nollställena utgör hörn i en kvadrat, måste de övriga två ligga som i en av de två figurerna nedanför. Polynom i "@zd Vi tar bara upp en sats i detta avsnitt. polynom.nb 12 Satsen om rationellt nollställe Om œ $@zd och J m N = 0, där n SGDHm, nl = 1, så är :s ledande koefficient delbar med n och :s konstantterm delbar med m. -b b  b b  2b + b  Anmärkning 3 Följande två exempel behandlar specialfallet att nollstället är lika med ett helt tal (dvs. att m n = m 1 = m). -b  -b  2b - b  EXEMPEL 13 Visa att 5 inte är en rot till z z z + 13 = 0. LÖSNING Följer direkt av satsen ovanför, eftersom konstantermen inte är delbar med 5. Av faktorsatsen följer därmed att z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz -  bl Hz +  bl Hz - bl Hz + bl eller z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz -  bl Hz +  bl Hz - H2 b +  bll Hz - H2 b -  bll I första fallet får vi z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c = z 4 - b 4 vilket är omöjligt. I andra fallet får vi z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c = z 4-4 b z b 2 z 2-4 b 3 z + 5 b 4. Identifikation av koefficienterna ger att b " 1, a " 6, b = -4, c " 5. Alltså, z 4-4 z 3 + a z 2 + b z + c = Hz - ÂL Hz + ÂL Hz - H2 + ÂLL Hz - H2 -  LL. Härav, z " - fi z "  fi z " 2 -  fi z " 2 +  EXEMPEL 14 Visa att inget heltal är en rot till = 0, om œ $@zd och H-1L = H0L = H1L = 1. LÖSNING (Motsägelsebevis) Antag att m är en heltalsrot. Då följer av satsen ovanför att konstanttermen är delbar med m. Å andra sidan är konstanttermen lika med H0L som var lika med 1. Och 1 är delbar endast med två tal, nämligen 1 och -1. Det följer att m œ 8-1, 1<. Dvs. att H-1L = 0 eller H1L = 0. Men detta strider mot villkoren i uppgiftstexten.