Referens :: Komplexa tal

Transkript

1 Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen z = x + iy, där x, y R och i 2 = 1. x kallas för realdelen och y kallas för imaginärdelen till z. Mängden av alla komplexa tal skriver vi som De fyra räknesätten C = {z : z = x + iy, x, y R} För komplexa tal gäller samma räkneregler som för reella tal. Det är i princip att räkna precis som vanligt bar att man kommer ihåg att i 2 = 1. Addition, subtraktion: Låt z = x + iy och w = u + iv vara två komplexa tal. Då adderas/subtraheras de på följande sätt: z + w = (x + iy) + (u + iv) = x + u + i(y + v), z w = (x + iy) (u + iv) = x u + i(y v) dvs realdel och imaginärdel adderas/subtraheras för sig. Multiplikation: Två komplexa tal multipliceras: z w = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i 2 yv = xu yv + i(xv + yu). Observera att vi använde i 2 = 1 i den sista likheten! Division: Vid division handlar det ofta att skriva om ett bråk så att bråket har ett reellt tal i nämnaren i stället för ett komplext. Låt oss se hur vi gör i fallet z/w: z w = x + iy (x + iy)(u iv) xu + yv + i(yu xv) = = u + iv (u + iv)(u iv) u 2 + v 2, m.a.o. vi förlänger med vad vi kommer kalla för konjugatet till w = u+iv, dvs med w = u iv. Konjugatet är viktigt och vi behandlar detta i nästa avsnitt. Konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Vi definierade konjugatet z till ett komplext tal z = x + iy genom z = x iy. Geometriskt är detta en spegling av z i den reella axeln, dvs x-axeln. Se figur 1. Absolutbeloppet eller bara beloppet z av ett komplext tal är längden av sträckan mellan origo och vårt tal. I figur ser vi att vi kan använda Pythagoras sats och få följande uttryck för beloppet: Vi noterar också att z 2 = x 2 + y 2. x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy) = z z, och detta blir utgångspunkten för definitionen: Beloppet till det komplexa talet z = x+iy definieras som z = z z, 1

2 z c Mikael Forsberg 10 oktober 2008 y x+iy x x-iy Figur 1: Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal Räkneregler för konjugat och belopp Räkneregler för konjugat: 1. (z + w) = z + w 2. zw = zw 3. z w = z w 4. z = z Räkneregler för absolutbelopp: 1. z 2 = zz 2. zw = z w 3. z w = z w 4. z = z Rektangulära och polära koordinater Det finns framförallt två olika sätt att beskriva komplexa tal; på rektangulär form och på polär form. Den rektangulära formen är den beskrivning vi hittills använt. Den polära formen går ut på att beskriva ett komplext tal mha avståndet till origo samt med den vinkel som linjen mellan origo och det komplexa talet bildar till den reella axeln. Detta illustreras i följande figur I figur två ser vi att vi kan gå mellan de två olika representationerna: Från rektangulär till polär beskrivning: Utgångspunkten är här ett komplext tal på formen z = x + iy och vi vill beskriva z mha beloppet och vinkeln ϕ. Vi kan utnyttja vår triangeltrigonometri och få z = x 2 + y 2 ϕ = arctan( y x ) Från polär beskrivning till rektangulär beskrivning Här ges ett komplext tal mha absolutbelopp z och en vinkel ϕ och vi vill återfå vår rektangulära beskrivining. Vi har att x och y kan uttryckas mha z och ϕ på följande sätt: x = r cos ϕ y = r sin ϕ Då gäller att z = r(cos ϕ + i sin ϕ), som är vår polära form. 2

3 z=x+iy= r(cos φ+isin φ) r= z y=rsin φ φ x=rcos φ Figur 2: Rektangulär och polär beskrivning av komplexa tal Polär form och exponentialfunktionen I komplex analys visar man att exponentialfunktionen kan vidgas så att den gäller för komplexa tal, dvs så att e z har betydelse för z C. I detta får man för z = x + iy och därför e z = e x+iy = e x e iy. Den sista faktorn e iy är speciellt intressant eftersom man också kan visa följande likhet e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ Vi kan nu skriva ett komplext tal z = x + iy som z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ, som är mycket trevligt att räkna med tack vare exponentialfunktionens många räkneregler. En viktig observation är också att beloppet av e iϕ är lika med ett, tack vare den s.k. trigonometriska ettan : e iϕ 2 = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ i sin ϕ) = = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + i(sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ) = = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal Låt oss betrakta två komplexa tal a och b och låt dem vara givna på polär form: a = re α b = Re β Multiplicerar vi dessa tal så får vi ett nytt komplext tal, c säg, och för detta gäller c = ab = re iα r 2 e iβ = r 1 r 2 e i(α+β) Eftersom vi har den trigonometriska ettan så har vi att c = rr γ = α + β, dvs produktens vinkel är summan av faktorernas vinklar och produktens belopp är produkten av faktorernas belopp! Vi illustrerar detta i figur 3. 3

4 c rr R b γ=α+β r α a β Figur 3: Geometrisk tolkning av komplex multiplikation De Moivres formel De Moivres formel säger (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin ϕ Om man tänker på binomialsatsen så förstår man att denna formell inte är självklar. Däremot när vi nu vet att det som står i parantesen till vänster är e iϕ så följer detta lätt av räknereglerna för exponentialfunktionen: (e iϕ ) n = e iϕn = cos nϕ + i sin nϕ Nollställen till andragradspolynom Nu ska vi lära oss hitta nollställena till ett polynom som har komplexa koefficienter. Låt oss titta på ett exempel: Exempel 1. Vi låter p(z) = z 2 + (1 + i)z (6 + 2i). För att hitta nollställena kan vi inte använda den gamla formeln eftersom vi inte vet vad roten ur ett komplext tal innebär. (se Komplex Analys) Däremot kan vi kvadratkomplettera i ekvationen p(z) = 0: (z (1 + i))2 1 4 (1 + i)2 = (6 + 2i), som blir (z (1 + i))2 = i. Genom att göra substitutionen w = z (1 + i) så får vi den enkla ekvationen Sätt nu w = x + iy så ger ekvationen att w 2 = i. x 2 y 2 = 6, och 2xy =

5 Det finns också en tredje ekvation som är väldigt användbar här; Att två komplexa tal är lika betyder att deras belopp också är lika. Vi får: w 2 = w 2 = ww = x 2 + y 2, i = = = Följande ekvationssystem ger lätt lösningar för x 2 och y 2 : x 2 + y 2 = 13 2 x 2 y 2 = 6. Man får alltså x 2 = 25 4 och y2 = 1 4 Den tredje ekvationen visar att x och y har samma tecken vilket ger att w = ±( i 1 2 ). Nu var det ju z vi sökte och vi har att z = w 1 2 (1 + i) så vi får att { z = 1 2 (1 + i) ± (5 2 + i1 2 ) = 2 3 i. Den binomiska ekvationen Ett binom är ett polynom med två termer: b(z) = a 1 z m +a 2 z n, m n. Antag (WLOG) 1 att m > n. När man ska hitta nollställen till denna ekvation kan man faktorisera binomet: z n (a 1 z m n + a 2 ) Den första faktorn ger nollstället 0, medan den andra faktorn ger andra nollställen. När vi i fortsättningen talar om ett binom menar vi ett polynom av typen p(z) = az n b, ty de intressanta nollställena till ett allmänt binom kommer alltid från ett sådant binom, vilket vi visade i ovan. Exempel 2. Alltså, den binomiska ekvationen ser ut som följer: z n = a, och denna ska vi nu lösa! Tricket här är att utrycka allt på polär form. När vi skriver a på polär form har vi uppräkneligt många val av argument. Om vi väljer en vinkel α 0 i principalområdet (α 0 ( π, π]) så kan vi skriva alla andra möjliga vinklar som Med a = r så får vi Skriver vi z = Re iφ, så får vi ekvationen α = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... a = re i(α+2πn), N = 0, ±1, ±2,.... R n e inφ = re i(α+2πn) Detta leder till ett system av två ekvationer, en för beloppet och en för argumentet: R n = r (beloppen lika) nφ = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... Den första ekvationen leder till att R = r 1 n. Den andra leder till att φ = α 0 n + 2π N, N = 0, ±1, ±2,.... n 1 WLOG står för Without Loss Of Generality som betyder utan förlust av allmängiltighet och används för att ange att ett antagande inte ger ett svagare resultat, bara enklare räkningar. I detta fall gäller att vi har två hela tal m n och då kan vi alltid låta m beteckna det större heltalet. 5

6 Notera att eftersom e iθ+2mπ = e iθ, m Z (e iθ är 2π periodisk eftersom cosinus och sinus är det) så gäller att endast n stycken av ovanstående vinklar är olika. Därför får vi n stycken olika lösningar till vår binomekvation: z = r 1 n e i( α 0 n + 2π n N), N = 0, 1,..., n 1. 6