Elteknik. Komplexa tal

Transkript

1 Sven-Bertil Kronkvist Elteknik Komplexa tal Revma utbildning

2 KOMPLEXA TAL Komplexa eller imaginära tal kan användas för algebraiska växelströmsberäkningar på samma sätt som i likströmsläran. Den läsare som redan är förtrogen med komplexa beräkningar kan hoppa direkt till avsnittet med växelströmstillämpningar. Imaginära tal Från matematiken vet vi att kvadratroten ur ett positivt tal (a), är ett positivt eller negativt tal (en rot) som multiplicerat med sig själv ger talet (a). Både (+) och (-) multiplicerat med sig själv blir lika med 4. För negativa tal existerar däremot inget tal (rot) som multiplicerat med sig själv blir talet. Inget hindrar oss emellertid från att föreställa (imagin) och använda oss av sådana tal. För detta ändamål används beteckningen j för den imaginära enheten som definieras enligt j = För att algebrans regler ska gälla följer att: j = j = j 4 j =+ 5 j = j,osv ALLMÄNT OM KOMPLEXA TAL I ett koordinatsystem placeras de reella talen utmed den reella talaxeln och alla de imaginära talen utmed en imaginär talaxel enligt bild 6-a. Uttryck som består av ett reellt tal ( a ) och ett imaginärt tal ( jb ) i formen (a + jb) kallas ett komplext tal i rektangulär form. Ett exempel på ett sådant komplext tal är 4 + j Grafiskt kan talet åskådliggöras som en punkt P med koordinaterna 4 och j i det komplexa talplanet Imaginära talaxeln - -j -j ϕ Z 4 + j P 4 Reella talaxeln Det imaginära talet (4 + j) kan även representeras av absolutbeloppet (längden) för visaren ( Z ) tillsammans med vinkeln ( ϕ ). Betckningen ( Z ) markerar därvid att visaren har såväl storlek som riktning. Visarens storlek betecknas med ett enkelt ( Z ) utan understryckning och beräknas med Pythagoras sats. Vinkeln ( ϕ ) är det komplexa talets vinkel eller vinkelargument och beräknas trigonometriskt. Då visarlängden ( Z ) och vinkeln ( ϕ ) är kända kan ett komplext tal i rektangulär form skrivas i trigonometrisk form på följande sätt: Z = 4 + tanϕ= 4 Då visarlängden ( Z ) och vinkeln ( ϕ ) är kända kan ett komplext tal i rektangulär form skrivas i trigonometrisk form så här: z cosϕ + jz sinϕ

3 Omvandla det komplexa talet ( + j) från rektangulär till trigonometrisk form. Z = + =,6 tan ϕ= 0, 6667 tan ϕ = 0,6667 motsvarar vinkeln,7º Z cosϕ+ jz sinϕ Då ( cos ϕ + jsin ϕ) = e j ϕ kan ett komplext tal i trigonometrisk form, också skrivas i exponentiell form Z. e j ϕ Omvandla 0 cos6,9 + j0 sin6,9 från trigonometrisk till exponentiell form 0 cos6,9 + j0 sin6,9 j6,9 0 e 6, cos 7, º + j6, sin 7, º Förkortat brukar den trigonometriska formen skrivas på ett sätt som kallas polär form Z. cos ϕ +j Z. sinϕ Z ϕ Omvandla ( 5 + j0 ) från rektangulär till trigonometrisk och polär form. Z = tan ϕ= 0, 6667 ϕ, 7 5 Trigonometrisk 8 cos, 7º + j8 sin, 7º 8, 7 Polär form Omvandla ( 0 6, 9 ) från polär till rektangulär form ( a + jb). 0 cos 6, 9º + j0 sin 6, 9º 0 0, j0 0, j 6 Addition av komplexa tal Addition av två eller flera komplexa tal görs genom att skriva talen i rektangulär form. Därefter adderas real- och imaginärdelarna var för sig. Addera de komplexa talen ( + j ) och ( 4 + j) i bilden nedan +j5 6+j ( + j ) + ( 4 + j) j + j = 6 + j5 Subtraktion av komplexa tal Vid subtraktion görs på samma sätt. Skriv de komplexa talen i rektangulär form och subtrhera real- och imaginärdelarna separat.

4 Subtrahera det komplexa talet ( + j ) från ( 5 + j ) i bilden +j5 - +j ( 5 + j ) - ( + j ) 5 + j - - j = + j Bild 6-c Multiplikation av komplexa tal Vid multiplikation ett komplext tal med ( j ) erhålles ett nytt tal med samma visarlängd, förskjutet 90º i matematisk positiv led. Multipliceras det reella talet ( ) till vänster med ( j ), blir produkten ( j ) som till höger Multiplikation med j medför 90º:s rotation Multiplicera ( + j ) med j. j. ( + j ) = j + j = j + ( -) = j - dvs Multiplikation av komplexa tal är enklast i polär form, men går naturligtvis bra i vilken form som helst. Multipliceras två eller flera komplexa tal erhålls ett nytt tal som är produkten av talens storlek och med en vinkel som är summan av de ingående talens vinklar. Beräkna multiplikationen ( + j4). ( + j) i både rektangulär och polär form.. Omvandling till polär form ( + j4) 5 5,º ( + j) 4, 45º - 4. Multiplikation Rektangulär form Polär form ( + j4). ( + j) 5. 4, (5,º + 45º) 9 + j9 + j + j, 98.º 9 + j + (-) 9 + j j

5 Division av komplexa tal Division av komplexa tal utförs enklast i polär form. När t ex två komplexa tal, Z ϕ och Z ϕ, divideras erhålls ett nytt tal Z ϕ som är kvoten mellan talens storlekar och med en ny vinkel som är skillnaden mellan talens vinklar. Beräkna kvoten av 6,º delat med 8 5,7º. Z Z ϕ = Z Z ϕ Z 6 = (6,9º 5,7º ) 8 =, Sammanfattning. Imaginära tallinjen är vinkelrät i förhållande till den reella tallinjen.. Den imaginära enheten betecknas med j och är definierad som 6. Visarstorleken (längden) betecknas med Z utan understrykning. Riktningen anges av vinkeln mellan visaren och den reela tallinjen och betecknas med t ex ϕ. Z = (realdelen) + (imaginärdelen) 7. imaginärdelen tanϕ = realdelen 8. Komplexa tal kan skrivas i fyra former: Rektangulär Trigonometrisk Polär Exponentiell Z = a + jb Z = Z cosϕ + j Z sinϕ Z = Z ϕ Jϕ Z = Z e 9. Addition och subtraktion av komplexa tal är enklast om de skrivs i rektangulär form, varvid real och imaginärdelarna adderas respektive subtraheras var för sig. 0. Multiplikation av ett komplext tal med j innebär 90º:s rotation av en komplex talvisare. varav följer att j = j =. Multiplikation av två eller flera komplexa tal är enklast i polär form varvid. Komplexa tal kan grafiskt representeras av en punkt i det komplexa talplanet. Punkten har därvid en reell och en imaginär koordinat. 4. Komplexa tal kan också representeras av en visare som pekar på punkten. Visaren har därvid en reell och en imaginär komposant. talens storlek multipliceras och talens vinklar adderas.. Divission av två eller flera komplexa tal är också enklast i polär form varvid talens storlek divideras och talens vinklar subtraheras. 5. I matematiska uppställningar markeras att visaren har både längd och riktning genom en understruken storhetsbeteckning, t ex Z 4

6 Övningsuppgifter. Beräkna a) j. j b) j. j. j c) j 4 d) j 5 e). j. Ange i rektangulär form de komplexa tal som markerats med punkter i bilden Re. -j -j. Ange talen i exempel i trigomometrisk form. 4. Ange talen i exempel i polär form. 5. Ange talen i exempel i exponentiell form. 6. Ange i rektangulär form de komplexa tal som representeras med en visare i bilden härunder. Beräkna i rektangulär form 8. ( + j4) + (5 + j) 9. (7 - j9) + (4 + j6) 0. (- -j5) + ( + j5) + (0 - j9). ( + j4). (5 + j). (7 - j9) + ( 4 + j6) Beräkna i polär form. 5º. 0º 4. º. 4 º. 5 7º º 6 º 4 8º 8 7º 8 4º + j4 j 8. Addera visarna i bilden. 4 Re. 9. Beräkna storleken och visarargumentet för den nya visare som bildas genom addition av visarna i uppgift Re. 0. Subtrahera visare B från visare A. -j -j 7. Beräkna storlek och vinkelargument för talen i exempel 6. 4 Re. 5

7 . Beräkna storleken och visarargumentet för den nya visare som bildas genom subtraktion av visare (A - B) i uppgift 0. 5 a),6. e j 56,º b) 5,7. e j 5º c) 4,5. e. a) Rita ett koordinatsystem med en j 4,4º imaginär- och en reell tallinje. d),7. e j 5º b) Lägg in en visare som pekar på det 6 a) Z = + j komplexa talet ( 5 + j4 ). b) U = - + j c) Multiplicera talet med ( j ) och rita en visare som motsvarar det nya talet. c) I = -4 - j d) S = - j4 d) Mät vinkeln mellan de båda talvisarna med gradskiva. 7 a) Z =, ; ϕ = 5º e) Dividera talet ( 5 + j4 ) med ( j ) b) U =,6 ; ϕ = 46,º f) Rita en visare som motsvarar det nya c) I = 5 ; ϕ = 6,9º talet. d) S = 4,5 ; ϕ = 96,6º g) Mät vinkeln mellan de båda talvisarna. 8) 7 + j7 9) - j FACIT KOMPLEXA TAL 0) 9 - j9 a) j. j = j = - ) - + j6 b) j. j. j = j. j = - j ) 8 + j6 c) j 4 = j. j = (-). (-) = ) 56 55º d) j 5 = j. j. j = (-). (-). j = j 4) 0 5º e). j =. j. j =. (-). j = - j 5) 7 77º a) + j 6) 7 9º b) -4 + j4 7),4 09,4º c) - - j4 8) A + B = 5 + j4 d) - j 9) A + B = 6,4 ; ϕ = 8,7º a) a =,6 ; ϕ = 56,º 0) A - B = j. a =,6 cos56,º + j,6 sin56,º ) A - B = ; ϕ = 90º b) b = 5,7 ; ϕ = 5º. b = 5,7 cos5º + j 5,7 sin5º c) c = 4,5 ; ϕ = 4º. c = 4,5 cos4º + j 4,5 sin 4º d) d =,7 ; ϕ = 5º. d =,7 cos5º + j,6 sin5º 4 a),6 56,º b) 5,7 5º c) 4,5 4,4º d),7 5º 5+ j4 j ) (5 + j4). j = (-4 + j5) ; = ( 4 j5) j -j