KAPITEL 5. Komplexa tal. 1. Introduktion.

Transkript

1 KAPITEL 5 Komplexa tal. Your momma thinks square roots are vegetables (förolämpning i ett Calvin och Hobbesalbum) 1. Introduktion Bakgrund. Att något är ett tal innebär löst sagt att det ska gå att räkna med det, ungefär som man kan räkna med vanliga heltal. Alltså att samma räknelagar - t ex den distributiva lagen - ska gälla. Vi har stött på flera typer av tal förutom heltal (betecknade med Z), nämligen rationella tal (alltså kvoter mellan heltal, betecknade Q) och reella tal eller oändliga decimalbråk (betecknade med R). Ytterligare en typ är komplexa tal. De komplexa talen har två ursprung. Ett är algebraiskt, och idéhistoriskt tankeväckande: i 1500-talsformler för rötter för tredje och fjärdegradsekvationer dyker det upp kvadratrötter ur negativa tal, som ett nödvändigt mellanled. Sådana finns ju inte, enligt de definitioner vi hittils använt oss av, och det ansåg man också på medeltiden. Men det var tekniskt bekvämt att behandla kvadratrötterna som ett slags tal, fast imaginära, på låtsas, till skillnad mot de verkliga, reella talen. Slutresultaten blev ju ändå lösningar som var riktiga reella tal, och det kunde kollas med insättning av rötterna att denna utflykt i fantasin gav korrekta resultat. Efter några hundra års komplext slavarbete och i ett mer filosofiskt sofistikerat tankeklimat, bestämde matematiker sig för att att ge de komplexa talen samma status som de reella - d v s de existerar. Man utvecklade kring 1800 den teori för dem som vi strax ska gå igenom. Detta skedde också under påverkan av det andra ursprunget till intresset för dem - det geometriska. Visst är det så att reella tal är som mest övertygande och dessutom användbara när vi utnyttjar dem för att beskriva ett läge längs en linje och ser dem som punkter längs den rella tallinjen. Addition och subtraktion kan dessutom på linjen tolkas som geometriska operationer där vi flyttar punkter. Då uppstår naturligt frågan: kan vi inte göra detsamma i planet? (Eller rummet?) Med syftet ställt på att förenkla en del geometri, t ex vinkelberäkningar. Vi ska se att de komplexa talen svarar precis mot punkter i ett talplan, och multiplikation och addition av dem blir alltså multiplikation och addition av punkter. (Att detta var praktiskt användbart, indikeras av att en av 63

2 64 5. KOMPLEXA TAL. pionjärena för detta geometriska synsätt var en lantmätare - dansken Caspar Wessel ca 1800.) I en viss mening är det trots allt mycket enklare att ha att göra med oändliga decimalbråk än med ändliga. Om vi inskränker oss till ändliga decimalbråk, så finns det t ex ingen lösning till ekvationen 3x = 1, eller x 2 = 2. Det finns förstås närmevärden till lösningar, alltså ändliga decimalbråk x för vilka 3x 1 och x 2 2, men ska vi arbeta med dessa i praktiken, tvingas vi hela tiden bokföra hur exaktheten i dessa närmevärden förändras i olika matematiska räkningar, tex när vi multiplicerar med riktigt stora tal. Det är vad man måste göra i numerisk matematik och ofta i tillämpningar av matematik. Därför är det faktiskt mycket enklare att kunna ta till oändliga decimalbråk, veta t ex att det alltid existerar lösningar till x 2 = a 0, och bara bekymra sig om lösningarnas decimaler när man verkligen måste, eller det okomplicerade livet i R mist sin oskuldsfulla tjusning. På ett liknande sätt gör de komplexa talen livet enklare. Vi ska se några exempel på detta, t ex hur ekvationer alltid har lösningar, men det finns många fler. Komplexa tal är också väsentliga för många tillämpningar, t ex i teoretisk fysik eller signalbehandling, och även, osannolikt nog, för snabba moderna algoritmer för att multiplicera ihop heltal på datorer. 2. Definition. Först ska vi ge en formell definition, som inte gör någon glad, och sedan ska vi se hur enkelt det ändå är att räkna med komplexa tal i praktiken. Definition 13. Ett komplext tal z är ett talpar z = (a, b) av reella tal a, b. Summan av två komplexa tal definieras genom addition komponentvis: (a 1, b 1 ) + (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2 ), medan multiplikation definieras av en mer komplicerad formel (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2 b 1 b 2, a 1 b 2 + a 2 b 1 ). Mängden av de komplexa talen betecknas med C. Notera att additionen är enkel och sker koordinatvis. Den är för övrigt precis densamma som additionen av vektorer i R 2, så redan här har vi en koppling till geometrin i planet. Multiplikationen verkar däremot uppsatt på en höft, och visst ser det osannolikt ut att den ska följa vanliga multiplikationsregler? Här är några direkta konsekvenser av definitionen. Exempel 47. (a 1, a 2, b, c, d R) 1) (1, 1) (1, 1) = (0, 2) 2) (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0)

3 2. DEFINITION. 65 3) (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0) 4) (a 1, 0) (c, d) = (a 1 c, a 1 d). 5) (a, b) (1, 0) = (a, b) 6) (a, b) + (0, 0) = (a, b) 7) (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Definitionen ovan av multiplikation och addition är förstås lätt att tillämpa, men samtidigt svår att få känsla för. För att förenkla detta ska vi först se att de reella talen faktiskt är innehållna i de komplexa talen (fast under en pseudonym). Om vi nämligen tittar på 2)- 3) i exemplet ovan, ser vi att komplexa tal av typen (a, 0) beter sig precis som vanliga reella tal a under multiplikation och addition. Vi upprepar följande lättverifierade regler: Sats 20. (a 1, a 2, c, d R) 1) (a 1, 0) + (a 2, 0) = (a 1 + a 2, 0) 2) (a 1, 0) (a 2, 0) = (a 1 a 2, 0) 3) (a 1, 0) (c, d) = (a 1 c, a 1 d). Den sista regeln säger att multiplikation med (a 1, 0) bara innebär att varje koordinat av det komplexa talet (c, d) multipliceras med a 1. Den operationen dyker också upp i R 2 som multiplikation av en vektor med en skalär. Vi kommer nu överens om att det reella talet a och det komplexa talet (a, 0) bara är två beteckningar för samma tal, och har därmed att de reella talen är innehållna i de komplexa. Eftersom den algebraiska strukturen är densamma - multiplikation och addition beter sig likadant - ger detta inte några problem med räkningar. (Detta sker med samma självklara moraliska rätt som vi låter heltalen vara en del av de rationella talen, genom att identifiera ett heltal m med bråket m/1). Vi kan därmed identifiera det komplexa talet (a, 0) med det reella a. Nu kommer den avgörande förenklingen. Vi kan skriva varje komplext tal z = (a, b) som z = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) (0, 1) = a + b (0, 1), där vi i sista likheten använder identifikationen mellan a och (a, 0), samt b och (b, 0). Vi sammanfattar. Sats 21. Definiera i := (0, 1). Varje komplext tal z = (a, b) kan skrivas som z = a + bi, a, b reella tal. Det komplexa talet i kallas den imaginära enheten. Detta är det vanliga sättet att skriva komplexa tal på, och det är den form av talen med vilken man bör lära sig räkna med dem. Lägg märke till att vi har a + 0 i = a och 0 + bi = bi.

4 66 5. KOMPLEXA TAL. 3. Att räkna på riktigt med komplexa tal. Enligt definitionen på multiplikation är i i = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Alltså är kvadraten på det komplexa talet i det reella talet 1: i i = i 2 = 1, så det finns ett komplext tal vars kvadrat är 1! Varför utropstecknet? Jo, något sådant reellt tal finns förstås inte. (Genom en fiffig nydefinition av multiplikation har vi fixat en kvadratrot till 1, och om läsaren känner att det ligger något av bilskojeri över detta, och vägrar bli impad, så är det inte helt fel. Men vi återkommer till varför detta inte är ett fall för allmänna reklamationsnämnden om ett tag.) Vi ska se att identiteten i 2 = 1 är så gott som det enda man behöver komma ihåg av multiplikationsformeln i definitionen av komplexa tal. Ty addition (a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i, är ju bara samma typ av addition som vi haft för polynom - tänk på i som en slags variabel, typ x. Multiplikation beter sig också som multiplikation av polynom. Enligt den jobbiga definitionen av multiplikation ovan är (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. Men det är samma resultat som vi får om vi bara räknar på och använder den distributiva lagen vid multiplikation ev två parenteser. (a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) =a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + b 1 b 2 i 2 = =(a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i. Mer precist: den första likheten här är precis vad vi skulle ha fått om vi betraktat a 1 + b 1 i som ett polynom i variabeln i och multiplicerat det med ett annat polynom a 2 + b 2 i, medan den sista likheten bara använder sig av den fundamentala likheten i 2 = 1, för att ersätta b 1 b 2 i 2 med b 1 b 2. Vi har alltså följande praktiska tumregel: Räkna med komplexa tal som om de vore polynom, med den extra regeln att så fort som i 2 dyker upp ersätts den med 1. Exempel 48. 1) (1+2i)+(3+4i)+(5+6i) = (1+3+5)+(2+4+6)i = 9+12i. 2) (2 + 3i)(1 i) = ( i) + (3i) 1 + 3i ( i) = 2 2i + 3i + 3 = 5 + i. 3) (a + bi)(a bi) = a 2 abi + bai b 2 i 2 = a 2 + b 2. 4) Ekvationen z + 2i = 1 + 3i löses på vanligt sätt genom att dra bort 2i från bägge sidor och har lösningen: z = (z + 2i) 2i = (1 + 3i) 2i = 1 + i. Den viktiga intuitionen att vi kan räkna med komplexa tal enligt samma regler som med reella tal och polynom kan preciseras så här. Nedanstående regler är det som certifierar att de objekt vi definierat verkligen kan kallas tal.

5 4. KOMPLEXA TALPLANET. 67 Sats 22.. Följande räknelagar gäller för räkning med komplexa tal: 1) 0 + z = z, 2) z + u = u + z, 3) (z + u) + w = z + (u + w), 4) om z + u = w + u så följer att z = w, 5) 1 z = z, 6) z u = u z, 7) (z u) w = z (u w), 8) om z u = 0 och u 0, så är z = 0, 9) z (u + w) = z u + z w. Bevis. De flesta av dessa lagar är lätta att verifiera genom att man går tillbaka till definitionen av multiplikation och addition. T ex så följer 1) direkt ur (0, 0) + (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b). Låt oss emellertid bevisa 8), som är lite klurigare. Antag att z = x + yi och att u = c + di. Då är zu = (xc yd) + (xd + yc)i, som är 0 precis när både xc yd = 0 xd + yc = 0 Multiplicera den undre ekvationen med c och den övre med d och ta skillnaden: c(xd + yc) d(xc yd) = (c 2 + d 2 )y = 0. Eftersom u = (c, d) 0, så är åtminstone en av c, d skilda från 0 och därför c 2 + d 2 0, och därmed måste y = 0. Då blir systemet ovan xc = 0 = xd, och eftersom åtminstone en av c, d var skild från 0, måste också x = 0. Alltså är z = x + yi = Komplexa talplanet. Varje komplext tal a + bi svarar mot talparet (a, b), som i ett rätvinkligt koordinatsystem ger en punkt med dessa koordinater i planet. När man ser planet som bestående av komplexa tal a + bi = (a, b), så kallas planet det komplexa talplanet. Den horisontella koordinataxeln består av alla komplexa tal av formen a = (a, 0) = a + 0 i, d v s av alla reella tal. Den kallas därför reella axeln. Den vertikala axeln består av alla komplexa tal som har formen (0, b) = bi, de s k rent imaginära talen, och kallas den imaginära axeln. Om z = a + bi kallas koordinaterna a respektive b för realdelen respektive imaginärdelen av z, och man skriver Re z = a, Im z = b.

6 68 5. KOMPLEXA TAL. Imaginära axeln 2 i 2 2 i 2 Reella axeln Figur 1. Komplexa talplanet Exempel 49. 1) Mängden av komplexa tal z = x + iy sådana att Re z = 0 är precis den imaginära axeln, medan den reella talaxeln kan beskrivas med ekvationen Im z = 0. 2) Vilka komplexa tal z = a + bi uppfyller Re (1 + i)z = 0? Eftersom (1 + i)z = (a b) + (a + b)i är Re (1 + i)z = a b. Alltså är de sökta talen precis de som uppfyller att a b = 0 a = b. Det är den ekvation som definierar diagonalen i det komplexa talplanet. Definition 14. Om z = a + bi, a, b R är ett komplext tal kallas z = a bi dess (komplexa) konjugat. Geometriskt svarar konjugering mot spegling i den reella talaxeln. Den absolut viktigaste egenskapen hos konjugatet är att zz = (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 0, d v s produkten är ett reellt ickenegativt tal som bara är 0 om z = 0. Genom multiplikation med konjugatet kan vi alltså få ett läbbigt komplext tal att bli slätslickat reellt. 5. Division av komplexa tal. Saker blir (ibland) klarare (till en viss gräns) ju mer filosofisk man är. Vad är alltså filosofiskt sett kvoten a/b av två reella tal a, b egentligen? Uppenbarligen är b(a/b) = a, så kvoten är ett reellt tal med egenskapen att om man multiplicerar den med b får man a. Vi vet också att a/b är det enda talet med denna egenskap. Alltså skulle vi ha kunnat definiera x = a/b, som det unika talet med egenskapen bx = a. Detta är ett elegant sätt att definiera talet, som träffar den väsentliga egenskapen hos division: att vi använder det

7 5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL. 69 för att lösa ekvationer, men det har förstås nackdelen att vi inte inser hur vi ska beräkna det, eller ens om det finns. Men det kan man lösa, om inte annat så vet närmsta lilla mobiltelefon hur. Sålunda, den väsentliga egenskapen hos en kvot av reella tal är: bx = a x = a/b, (a, b reella tal, b 0.) För att definiera division av komplexa tal, ska vi alltså definiera och sedan lösa motsvarigheten till detta. Så vi definierar lätt Definition 15. Kvoten z = u/v är den unika lösningen till ekvationen vz = u (u, v komplexa tal, v 0.) (13) Det ser ju bra ut, men är förstås bara snömos, tills vi har visat i) att det finns en lösning och ii) att det bara finns en enda lösning. Det är rätt lätt. Titta på följande komplexa tal som vi påstår löser ekvationen och alltså är kvoten u/v. z = (vv) 1 uv = uv vv. Observera först att vv är ett reellt tal som är skilt från 0 eftersom v 0 (enligt Sats 22.8)) och därför finns (vv) 1 som en vanlig reell kvot, och kan alltså också betraktas som ett komplext tal. Alltså är z, som produkt av tre komplexa tal ett komplext tal. Stoppar vi in detta z i ekvation (13) ser vi att vz = v ( (vv) 1 uv ) = vv vv u = 1 u = u, så z löser ekvationen. Observera att (13) också talar om hur vi ska räkna ut kvoten. Sats 23.. Givet två komplexa tal u, v 0. Då finns en och endast en lösning till ekvationen nämligen vz = u, z = (vv) 1 uv. (14) Bevis. Vi såg ovan att det finns en lösning, som ges av den angivna formeln. Antag att det fanns fler, så att vi också hade vz 1 = u = vz 2. Då är 0 = vz 1 vz 2 = v(z 1 z 2 ). Sätt w := z 1 z 2, så att vi har två komplexa tal v, w vars produkt är 0. Då gäller, enligt Sats 22.8) att w = 0. Eftersom 0 = w = z 1 z 2, så är då z 1 = z 2, och vi har inte två olika lösningar, utan bara en enda! Vilket ju var det vi ville visa. Det är dags att se några konkreta exempel på kvoter.

8 70 5. KOMPLEXA TAL. Exempel 50. 1) Lös ekvationen (2+3i)z = 1+i. Istället för att bara själlöst skriva upp formeln ovan, löser vi denna ekvation så här. Multiplicera på bägge sidor med konjugatet 2 3i till 2 + 3i. Det ger (2 3i)(2 + 3i)z = (2 3i)(1 + i) ( )z = 5 i z = 5 13 i 13. Här använde vi att (2 3i)(2 + 3i) = = 13, och att delning med reella tal sker koordinatvis. 2) Beräkna (2 + i)/(1 i). Vi gör samma räkning, men presenterar den så här: 2 + i 1 i (2 + i)(1 + i) = (1 i)(1 + i) = 1 + 3i 2 = i 2. Här har vi alltså förlängt med konjugatet till nämnaren, så att vi får ett reellt tal i nämaren, samt räknat ut täljaren med vanlig multiplikation av komplexa tal Mer om konjugat. Sats 24. Låt z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. Då gäller följande. 1) (z) = z. Vidare är z = z om och endast om z är ett reellt tal. 2) zz = a 2 + b 2 0 är ett ickenegativt reellt tal. Likhet zz = 0 gäller bara om z = 0. 3) zw = z w. 4) z/w = z/w. Bevis. 1) (a + bi) = a bi = a + bi = z. Om z = a + bi = z = a bi, så är b = 0, d v s z är reellt. 2) Vi har redan tidigare räknat ut zz = a 2 + b 2. Som en summa av kvadrater är detta tal uppenbarligen positivt och kan bara vara 0 om bägge kvadraterna är noll, d v s a = b = 0, så att z = 0. 3) Det är en enkel kalkyl men för den som vill se den följer den här. Produkten zw = (ac bd) + (ad + bc)i, så att (zw) = (ac bd) (ad + bc)i och eftersom produkten så är 3) bevisad. z w = (a bi)(c di) = (ac bd) (ad + bc)i 4) Eftersom z = zw w så är z = zw w = z w =... enligt likheten 3) ovan är det... w = ( z ) ( z ) w. Båda leden i z = w dividerar vi med w och får önskade likheten. w w Följande samband mellan konjugering och real- respektive imaginärdel är ofta användbart.

9 5. DIVISION AV KOMPLEXA TAL. 71 Sats 25. Om z är ett komplext tal så är Re z = z + z 2, Im z = z z. 2i Bevis. Om z = a + bi, a, b R, så är z + z = a + bi + a bi = 2a = Re z, så att division med 2 ger den första identiteten i satsen. Den andra följer på samma sätt av z z = a + bi (a bi) = 2bi = 2i Im z Absolutbelopp av komplexa tal. Som vi kan se i figuren nedan är avståndet från z = a + bi i komplexa talplanet till origo precis lika med a 2 + b 2. Enligt Sats är detta precis zz. z=a+bi z a 2 b 2 z=a-bi Figur 2. Konjugat och absolutbelopp Definition 16. Absolutbeloppet av ett komplext tal z = a + bi är z := a 2 + b 2 = zz. Sats 26. Låt z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. Då gäller 1) z = 0 z = 0, 2) zw = z w, 3) z/w = z / w, 4) z 2 = zz. Bevis. Dessa egenskaper följer av de algebraiska egenskaperna för konjugatet. Vi nöjer oss med att verifiera 2). Enligt sats 24 är zwzw = zwzw = (zz)(ww),

10 72 5. KOMPLEXA TAL. vilket ger att zw = (zw)(zw) = (zz)(ww) = zz ww = z w. Vi kan få ut mer genom geometrin i det komplexa talplanet. Sats 27. (Triangelolikheten för komplexa tal.) Låt z = a + bi och w = c + di vara komplexa tal. Då gäller z + w z + w Bevis. Detta syns lätt i nedanstående figur. Eftersom 0, z, w, z + w spänner upp ett parallellogram har sidorna i triangeln med hörn 0, z, z + w längderna z, w, z + w. Men det räta linjesegmentet från 0 till z + w, som har längd z + w är den kortaste vägen från 0 till z + w, och alltså kortare än summan av de två andra sidornas längder z + w, som är längden av omvägen över w. z+w w z z+w z w Figur 3. Triangelolikheten för komplexa tal Exempel 51. Avståndet mellan de komplexa talen u och z är u z. Argument: Sätt w = z u. Då är u = z + (u z) = z + w, och ur figuren som vi använde nyss framgår att avståndet är w = u z.

11 6. ANDRAGRADSEKVATIONER Andragradsekvationer. Nu ska vi se hur livet (i princip) blir enklare med komplexa tal, i alla fall om man slipper räkna med dem, utan kan hålla sig på ett teoretiskt plan. Vi har sett att det ibland kan hända att andragradsekvationer saknar reella rötter, t ex så har z = 0 inte några reella rötter z. Däremot så finns det ju en komplex rot z = i, och t o m två stycken, eftersom i också är en rot. Om vi löser ekvationer i komplexa tal, så finns det förstås rimligtvis fler lösningar, eftersom vi har en större mängd att leta lösningar bland. Men det som är förvånande, det är att det alltid finns lösningar, och vi ska nu ge en metod att hitta dem (som alltid fungerar). Vi kan t o m tillåta koefficienterna i ekvationen att vara komplexa tal. Genom att på halvt taskspelarvis lägga till en rot till en enda ekvation, har vi alltså fått rötter till alla ekvationer. Sats 28. Ekvationen (u, v vilka komplexa tal som helst) har alltid lösningar. z 2 + uz + v = 0 (15) Om vi drar oss till minnes hur man hittade eventuella reella lösningar till en andragradsekvation, så inser vi att det var två steg. Först kom en algebraisk identitet: kvadratkomplettering och sedan en rotutdragning. Dessa två steg kan vi fortfarande använda. Den största skillnaden är att rotutdragningen är mer komplicerad. Exempel 52. Lös z 2 + 4iz (7 + 4i) = 0. Först gör vi kvadratkompletteringen. Den säger bara att polynomet z 2 + uz + v = (z + u/2) 2 + (v u 2 /4). I vårt fall blir det (efter att ha räknat ut v u 2 /4 = (3 + 4i)) att z 2 + 4iz (7 + 4i) = (z + 2i) 2 (3 + 4i). Inför vi sedan den nya variabeln w = z + 2i, så blir ekvationen alltså w 2 = 3 + 4i. (16) Notera att precis som i lösningen av den reella andragradsekvationen återstår nu bara en rotutdragning. Emellertid har vi ingen funktion att ta till, utan får nu göra detta för hand. Ansätt att w = x + yi, och stoppa in detta i (16). Då får vi w 2 = x 2 y 2 + 2xyi = 3 + 4i, så att vi vet att x 2 y 2 = 3 (17) 2xy = 4. Vi kan få en ekvation till genom att ta absolutbeloppen av bägge sidor i (16). x 2 + y 2 = w 2 = w 2 = 3 + 4i = 5. (18)

12 74 5. KOMPLEXA TAL. Nu har vi alltså hela tre ekvationer som ger egenskaper hos futtiga två obekanta, och det vore väl skrutt om vi inte kan bestämma x, y! Hur ska vi då göra? Observera att om vi lägger ihop ekvation (17) och (18), så blir vi av med y:na. Tar vi istället skillnaden så blir vi av med x:en. 2x 2 = (x 2 y 2 ) + (x 2 + y 2 ) = = 8 2y 2 = (x 2 y 2 ) + (x 2 + y 2 ) = = 2. Av detta ser vi att vi får x 2 = 4 x = ±2 och y 2 = 1 y = ±1. Detta ger oss fyra möjliga lösningar, men bara w = x + yi = 2 + i och w = x + yi = 2 i uppfyller villkoret att 2xy = 4, och är alltså lösningar till (17-18). Utnyttjar vi nu att z = w 2i, ser vi att vår urprungliga ekvation har de enda lösningarna z = 2 i och z = 2 3i Kommentar till lösningen. Låt oss sammanfatta lösningen i exemplet nyss, i mer abstrakta termer. Först skrev vi, via kvadratkomplettering, om ekvationen som Sedan satte vi Vår ekvation (15) är alltså ekvivalent med z 2 + uz + v = (z + u/2) 2 + (v u 2 /4) = 0. w = z + u/2 z = u 2 + w. w 2 = u 2 /4 v. Har vi en lösning w till w 2 = u 2 /4 v, så ges en annan av w, och fler finns inte, som vi strax ska se. Vi kan alltså formulera den lösning vi genomförde till (15) så här. Sats 29. Lösningarna till z 2 + uz + v = 0 är z = u 2 ± w, där w är en lösning till w 2 = u2 4v. 4 Bevis. Sätt b = u2 4v. Det enda som återstår att visa är att de lösningar som 4 anges i satsen är de enda. Det följer av att om w = a löser w 2 = b, så har ekvationen w 2 = b endast lösningarna w = ±a. Nämligen, ur konjugatregeln får vi, eftersom vi vet att a 2 = b, w 2 b = w 2 a 2 = (w a)(w + a) = 0 w a = 0 eller w + a = 0, eftersom en produkt av komplexa tal är 0 om och endast om någon av faktorerna är 0. Men w a = 0 w = a och w + a = 0 w = a.

13 7. ÖVNINGAR. 75 Satsens formel är precis den formel som vi använde för att lösa andragradsekvationer med reella koefficienter u och v, utom att då skrev vi lösningarna till w 2 = u2 4v, som 4 u2 4v w = ±. 4 För allmänna komplexa koefficienter u och v bör vi inte kalla w i satsen ovan för kvadratroten ur u2 4v, fast det är frestande. Det går nämligen inte att definiera en 4 entydig kvadratrot ur komplexa tal, faktiskt går det inte ens att ge en definition av en entydig kvadratrot ur negativa tal och samtidigt förvänta sig att alla de kvadratrötter vi definierat snällt ska uppfylla samma räkneregler som vi är vana vid. Det följer av följande argument. Antag att vi bestämmer oss för att kalla en av de två rötterna ±i vars kvadrat är 1 för 1. T ex kan vi testa 1 = i. Då är 1 = 1 1 = ( 1) ( 1) = 1 = 1, vilket är omöjligt. (Det blir samma fel med 1 = i.) Alltså uppfyller våra kvadratötter inte längre den enkla räkneregeln a b = ab, och man kan undra vad det då är för vits med att använda kvadratrotssymbolen. (Ibland använder man ändå i litteraturen symbolen 1 istället för i, men det kan alltså leda till problem, och därför har vi undvikit detta här.) När vi definierar kvadratroten ur ett reellt positivt tal a 0, så är situationen annorlunda. Det finns en positiv och en negativ lösning till x 2 = a, och vi väljer en av dem, nämligen den positiva och kallar den a. Den andra lösningen är då a, och bägge lösningarna kan beskrivas som ± a. Vi använder alltså i denna definition att vi har en ordning på de reella talen: av två reella tal är alltid ett störst, och så definierar vi kvadratroten a som det största av de två lösningarna till x 2 = a. För komplexa tal finns det ingen liknande naturlig ordning, vilket är ett skäl till våra problem nyss med kvadratrötter. Vi ska i nästa kapitel se hur man kan bevisa att det alltid finns lösningar till en komplex andragradsekvation, med hjälp av polära koordinater. 7. Övningar. (1) Bestäm Re z och Im z om z är följande tal: a) 2 + 3i, b) 2 3i, c) 2, d) 5i, e) i. (2) Bestäm följande tal på formen a+bi: a) (2+3i)+(1+2i), b) (2+3i)+(1 2i), c) (2+3i) (1 2i), d) (2+3i) (1+2i), e) (2+3i) 2, f) (5+i) 3, g) (1 i) 4. (3) Beräkna a) 2 + 3i, b) 1 3i, c) 3i, d) (2 + 3i)(2 + 3i), e) 3 + 4i, f) 3 4i, g) 4i, h) 7i, i) i

14 76 5. KOMPLEXA TAL. (4) Bestäm följande tal på formen a + bi: a) d) 3 + 4i 1 5i, e) 1 i, f) (1 + i) 2. (5) Beräkna absolutbeloppet av a) (1 + 3i)(4 5i)(1 + i), b) (6) Beräkna absolutbeloppet av (1 + 2i)(1 + 3i) (1 + i) 3. (7) Lös ekvationen z + (1 + i) z = 1 i. (8) Lös ekvationerna a) 2z + i z = 3 + 3i, b) z(2z) = 1 + i i, b) 1 2 5i, c) 1 + i 1 i, (9) Tolka geometriskt i komplexa talplanet ekvationen Re z + Im z = 2. (1 + 3i)(4 5i) i (10) Rita i det komplexa talplanet de z som uppfyller a) Re z = 2, b) Im z = 2, c) Im z 0, d) z + z = 0, e) z = z. (11) Lös ekvationerna a) z 2 +(3+4i)z 1+5i = 0, b) z 2 +(1+4i)z 3+3i = 0, c) z 2 + (2 2i)z + 4 2i = 0.

15 KAPITEL 6 Komplexa tal: polär form, och binomiska ekvationer. Why do it simple when you can do it complex? Anonym amerikan Nu ska vi utnyttja att komplexa tal är punkter i det komplexa talplanet. Punkter i ett plan kan man beskriva inte bara med rätvinkliga koordinatsystem, utan också i termer av vinklar och avstånd till origo, s k polära koordinater. Vi ska se att detta är intimt förknippat med multiplikation av komplexa tal, ett av naturens stora under... tillsammans med DNA och SVT Polär representation Polära koordinater i planet. Vi arbetar med ett (x, y)-plan - det som vi använde i förra kapitlet för definitionen av de komplexa talen. Först påminner vi om definitionen av cosinus- och sinusfunktionerna. En stråle L från origo har en viss vinkel 0 θ < 2π (moturs) till x-axeln. Vi kan se det som att vi har börjat med att låta strålen vara parallell med positiva x-axeln och sedan snurrar den θ radianer moturs för att få L. Omvänt, om vi startar med ett tal θ R, så bestämmer θ en stråle med denna vinkel, genom att vi snurrar det positiva halvan av x-axeln θ radianer runt origo. (Snurra medurs, om θ är negativt.) På strålen med vinkeln θ finns det en unik punkt på cirkeln med avståndet 1 från origo, alltså på enhetscirkeln 1. Denna punkts koordinater kallas (cos θ, sin θ). Observera att det följer ur definitionen att cos(θ + 2π) = cos θ, och sin(θ + 2π) = sin θ : det betyder ju bara att om vi snurrar på strålen ett helt varv (2π) så får vi tillbaka samma stråle. Alla punkter P = (x, y) på strålen L med vinkeln θ kan beskrivas som (r cos θ, r sin θ), när r 0 varierar. Så för en punkt P = (x, y) på strålen L gäller, med r som P :s avstånd till origo att och x = r cos θ, y = r sin θ. 1 enhetscirkeln = cirkeln med radie 1 och centrum i origo 77

16 78 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER P=(x,y)= (rcosθ, rsinθ) L 0.5 (cosθ, sinθ) x Figur 1. Polära koordinater Paret (r, θ) bestämmer alltså P och kallas polära koordinater för punkten. Observera att r 0. Den vinkel som bestämmer L är bara bestämd upp till addition av en heltalsmultipel av 2π, så det finns oändligt många uppsättningar polära koordinater för samma punkt. Det är något vi ska använda senare. Notera emellertid att om vi antar att P inte är origo och vi kräver att 0 θ < 2π, så är beskrivningen i polära koordinater unik. (Origo, å andra sidan är beskriven av alla (r, θ) = (0, θ), med vilken godtycklig vinkel θ som helst.) Exempel 53. 1) Vilka polära koordinater har P = (1/ 2, 1/ 2)? Lösning: Avståndet till origo är r = 1/2 + 1/2 = 1. Vi kan vidare lätt hitta en lämplig vinkel. Det framgår enklast ur bilden vilken stråle P ligger på, och att denna har vinkeln π/4 mot x-axeln. Eller så kan man använda att man vet att cos(π/4) = sin(π/4) = 1/ 2, så att vi har 1 ( cos(π/4), sin(π/4) ) = P. Alla andra möjliga vinklar fås sedan genom att vi roterar L ytterligare några (säg n stycken) hela varv, motsols (n positivt) eller medsols (n negativt). Svaret blir alltså att de möjliga polära koordinaterna är eller omständligare r = 1, θ = π/4 + n 2π, n Z, θ =... 7π/4, π/4, 9π/4, 17π/4,... 2) Av föregående uppgift följer att punkter på diagonalen x = y i första kvadranten, alltså på strålen från origo genom P, har polära koordinater (r, π/4), r 0. På samma sätt beskrivs den positiva reella talaxeln som mängden av punkter med polära koordinater (r, 0), r 0, och den negativa reella talaxeln som mängden av punkter (r, π), r 0.

17 1. POLÄR REPRESENTATION. 79 Mer generellt kan vi uttrycka mångtydigheten i beskrivningen av punkter i planet med polära koordinater så här. Sats 30. Om P = (x, y) inte är origo och (r 1, θ 1 ) är en uppsättning polära koordinater för P, d v s (r 1, θ 1 ) löser ekvationerna så ges alla polära koordinater (r, θ) för P av (x, y) = (r 1 cos θ 1, r 1 sin θ 1 ), r = r 1 θ = θ 1 + 2nπ, n Z 1.2. Polära koordinater i komplexa talplanet. Eftersom komplexa tal z = x+iy är punkter (x, y) i det komplexa talplanet kan vi beskriva dem med polära koordinater. Om (x, y) = (r cos θ, r sin θ) så är z = x + iy = r cos θ + ir sin θ = r(cos θ + i sin θ). Talet r är absolutbeloppet z. Talet θ kallas argumentet av z och betecknas med Arg z. Det är, som vi såg i föregående avsnitt inte entydigt bestämt, men två olika argument för samma tal skiljer sig åt med en heltalsmultipel av 2π. iy=irsinθ z=x+iy r Θ x=cos Θ x Figur 2. Komplexa polära koordinater. Det komplexa talet cos θ + i sin θ ligger på enhetscirkeln. När θ varierar beskriver det alla punkter på enhetscirkeln och vi introducerar följande exponentiella skrivsätt för det. Motiveringen av detta exponentiella skrivsätt - i form av potenslagar - kommer sedan. Definition 17. Definiera och generellare e iθ := cos θ + i sin θ, (19) e z := e η (cos θ + i sin θ) = e η e iθ,

18 80 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. för z = η + iθ. Polära koordinater beskrivs då så här med exponentialfunktionen. Definition 18. Antag att z C. Ett par av reella tal (r, θ) med r 0, kallas för polära koordinater för z om z = re iθ = r(cos θ + i sin θ). (20) Exempel 54. Skriv z = 1 + i och w = 1 i med polära koordinater. Lösning: Vi ser att avståndet från z resp w till origo är detsamma: z = w = = 2. Vidare ses det av symmetrin i figuren att Arg z = π/4 och Arg w = π/4 + π = 5π/4. Alltså är 1 + i = 2 ( cos(π/4) + i sin(π/4) ) = 2e iπ/4 1 i = 2 ( cos(5π/4) + i sin(5π/4) ) = 2e 5iπ/ i 2 Π/ i 1.0 Figur 3. ±(1 + i) på polär form I rektangulära koordinater (x, y) i planet kan vi lätt beskriva vissa typer av rektangulära områden, nämligen de som består av alla punkter som uppfyller α 1 x β 1 och α 2 y β 2. I polära koordinater kan vi på motsvarande sätt beskriva områden av formen r 1 r r 2 och θ 1 θ θ 2, som svarar mot cirkelsektorer (eller hela cirkelskivor, eller strålar). Exempel 55. Cirkelskivan med radie 2 i komplexa talplanet kan beskrivas som punkter z för vilka z = re iθ, 0 r 2.

19 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLÄR REPRESENTATION. 81 Den del av denna cirkelskiva som ligger i första kvadranten kan beskrivas som de punkter z för vilka z = re iθ, 0 r 2, 0 θ π/2. Negativa rella tallinjen kan beskrivas i polära koordinater som de punkter z för vilka och den positiva reella tallinjen förstås som z = re iπ, r 0 z = re i 0 = r, r 0. Tillämpar vi definitionen av e iθ får vi: e iθ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ. (21) Detta kan vi utnyttja för att lösa ut sinus och cosinus i termer av komplexa exponentialer, en formel som innebär att du så småningom kommer att betrakta trigonometri som en matematikens fotgängarzon, med onödiga fartrestriktioner. Sats 31. (Eulers formler). cos θ = eiθ + e iθ 2 sin θ = eiθ e iθ 2i Bevis. Lägg ihop ekvation (21) med (19): e iθ + e iθ = cos θ i sin θ + cos θ + i sin θ = 2 cos θ, och dela med 2. Det ger utrycket för cos θ, och det andra följer genom att ta skillnaden mellan (21) och (19) och dela med 2i. 2. Multiplikation och division av komplexa tal i polär representation. Det finns ju förstås en intelligent orsak till att vi införde polär representation, och den kommer vi nu till. Polära koordinater gör multiplikation och division av komplexa tal lätt. Sats 32. e iθ 1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ). Bevis. Vänsterledet är (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = = (cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(cos θ 1 sin θ 2 + sin θ 1 cos θ 2 )

20 82 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. medan högerledet är cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ). Additionsformeln för cosinus säger precis att realdelen av vänsterledet och högerledet är densamma, och additionsformeln för sinus motsvarande för imaginärdelen. Beviset för denna sats är förresten en bra minneshjälp för att komma ihåg de trigonometriska additionsformlerna! Notera hur du kan rekonstruera dem genom att gå baklänges i beviset från i) att du vet hur du ska multiplicera potenser och ii) vet vad e iθ är uttryckt i trigonometriska funktioner. Vi kan förstås hantera division analogt. Titta först på inversen. Sats 33. Antag att u = e iθ = cos θ + i sin θ. Då är u 1 = e iθ = u = cos θ i sin θ. Bevis. Vi vet, eftersom u ligger på enhetscirkeln, att uu = u 2 = 1. Tillämpar vi metoden för att beräkna kvoter så får vi u 1 = 1 u = u = u = cos θ i sin θ. uu Å andra sidan är cosinus en jämn funktion (d v s en funktion f(x) för vilken f( x) = f(x)) och sinus är en udda funktion (d v s en funktion f(x) för vilken f( x) = f(x)). Alltså är också e θ = cos( θ) + i sin( θ) = cos θ i sin θ = u. Lägg märke till hur enkelt det är att beräkna inversen till ett komplext tal på enhetscirkeln - bara en fråga om konjugering -, samt att inversen också blir ett tal på enhetscirkeln. En direkt konsekvens av satserna ovan är följande beskrivning av multiplikation och division av godtyckliga komplexa tal i termer av deras polära koordinater. Sats 34. Antag att vi har två komplexa tal och z = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) = r 1 e iθ 1 w = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 2 e iθ 2. Då kan vi beskriva produkten zw i polära termer som zw = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )).

21 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLÄR REPRESENTATION. 83 Kvoten z/w är i polära koordinater Speciellt är z w = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) = r 1 r 2 cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )). w 1 = r 1 2 e iθ 2 = r 1 2 (cos θ 2 i sin θ 2 ). Exempel 56. Titta på multiplikation med i och se den som avbildningen z iz i det komplexa talplanet. Geometriskt svarar denna avbildning mot rotation π/2 runt origo. Ty vi vet sedan tidigare att i = e iπ/2 = cos π/2 + i sin π/2. Om nu z = re iθ, så är iz = re iθ e iπ/2 = re i(θ+π/2). Vi ser att multiplikation med i inte ändrar absolutbeloppet av z, d v s avståndet till origo, men adderar π/2 till argumentet, d v s roterar z en vinkel π/2 radianer moturs. På samma sätt svarar multiplikation av z med 1 + i mot multiplikation av absolutbeloppet med 2 och rotation π/4 radianer: (1 + i)z = 2e iπ/2 re iθ = ( 2r)e i(θ+π/4). Allmänt svarar rotationer θ radianer mot multiplikationer med e iθ. Detta är ett bra exempel på den geometriska användbarheten av komplexa tal. Vi kan uttrycka analysen av multiplikation ovan mer kompakt så här: vid multiplikation av komplexa tal, multipliceras absolutbeloppen och argumenten adderas. Satsen fungerar förstås analogt om vi multiplicerar med fler tal än två. Om vi alltså tar potenser av ett tal så får vi följande sats. Sats 35. (De Moivres formel). Antag att vi har ett komplext tal z = r(cos θ + i sin θ), och att n Z är ett heltal. Då är z n = r n (cos nθ + i sin nθ). (22) Bevis. Vi har z 2 = z z = r 2 (cos(θ + θ) + i sin(θ + θ)) = r 2 (cos 2θ + i sin 2θ). Fortsätter vi, får vi z 3 = z z 2 = r r 2 (cos(θ + 2θ) + i sin(θ + 2θ)) = r 3 (cos 3θ + i sin 3θ). o s v. Negativa tal n behandlas analogt, med utgångspunkt i den nyss bevisade identiteten z 1 = r 1( cos( θ) + i sin( θ) ).

22 84 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. Exempel 57. Bestäm (1 i) 99 på formen a + bi. Ange speciellt i vilken kvadrant det ligger. Lösning: Eftersom 1 i = 2 och en lösning till 2 cos θ = 1 och 2 sin θ = 1 ges (rita bild!) av θ = 7π/4, så är 1 i = 2e i7π/4. Alltså är Vi kan förenkla. Absolutbeloppet av z är z := (1 i) 99 = ( 2) 99 e i99 7π/4. ( 2) 99 = ( 2) = och z:s argument är 99 7π/4 = π. För att få reda på i vilken kvadrant z ligger utnyttjar vi att alla tal som skiljer sig från π med en heltalsmultipel av 2π också är argument till z. Skriv π = 86 2π π. Alltså är sammantaget (1 i) 99 = e i1.25π. Alltså är svaret tredje kvadranten (kom ihåg att kvadranter numreras moturs med start i första kvadranten där bägge koordinaterna är positiva.) För övrigt kan man lätt beräkna e i1.25π = cos 1.25π + i sin 1.25π = 1 i = 1 (1 + i) Därmed (1 i) 99 = 2 49 (1 + i). Mycket information om trigonometriska funktioner förenklas med användning av komplexa koordinater. Exempel 58. Formel (22) ovan säger (för n = 2) att (cos θ + i sin θ) 2 = cos 2θ + i sin 2θ. Kvadrerar vi vänsterledet på traditionellt sätt får vi (cos 2 θ sin 2 θ) + i(2 sin θ cos θ). Dessa två uttryck ska vara desamma, och alltså har vi att cos 2θ = cos 2 θ sin 2 θ och att sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Detta är ju formlerna för fördubbling av vinkeln, och de är alltså en rätt omedelbar konsekvens av potenslagarna för komplexa tal. (Javisst, logiken här är cirkulär, eftersom vi använde additionsreglerna för att få fram potenslagarna, men det är inte frågan om det här utan vilken trigonometrisk information som ligger gömd i potenslagarna. För övrigt kan man ge direkta bevis av dessa, men då krävs en större apparat.) På samma sätt ger formel (22) (för n = 3) och lite kreativ användning av trigonometriska ettan cos 2 θ + sin 2 θ = 1 att cos 3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ

23 2. MULTIPLIKATION OCH DIVISION AV KOMPLEXA TAL I POLÄR REPRESENTATION. 85 och att sin 3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ. fbinomisk Den första identiteten följer t ex ur cos 3θ = Re (e i3θ ) = Re [(cos θ + i sin θ) 3 ] = = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ. Exempel 59. Givet ett positivt heltal n. Vi vill räkna ut S(x) = cos x cos nx. Om vi tänker lite suddigt men komplext här, ser vi att detta nästan är som en geometrisk serie. Om vi nämligen istället för cos kx hade haft e ikx, så hade alla termerna varit potenser av en och samma e ix. Och geometriska serier kan vi addera. Försöker vi precisera detta, kan vi t ex utnyttja 2 cos x = e ix + e ix Då är S(x) = =1 + 2 cos x cos nx = 1 + (e ix + e ix ) (e inx + e inx ) = =e inx + e i(n 1)x e i(n 1)x + e inx = = ei(n+1)x e inx e ix 1 (Tredje raden visar att det är en geometrisk följd med kvoten e ix, vars första term är e inx och sista är e inx. I den sista likheten har vi använt formeln för summan av en geometrisk följd i följande form: täljaren är skillnaden mellan första termen i följden och den term e i(n+1)x som skulle komma omedelbart efter den sista, nämnaren är skillnaden mellan kvoten av följden och 1.) Eftersom summan av reella tal är reell borde detta väl synas i svaret, så man får fortsätta leta efter en lämplig omformulering. Suck! Vi skulle nu bara kunna ersätta exponentialfunktionerna i uttrycket med sina rektangulära koordinater, och räkna på med formeln för division av komplexa tal och få ut ett uttryck för S(x) i termer av cosinus och sinus av (n + 1)x, nx och x. (Gör inte dessa räkningar, men tänk gärna igenom hur det skulle se ut!). Därmed har vi förstås löst problemet. Men, skam till sägandes i en kurs som inte vill lära ut engångstrick utan bara tjusiga metoder, det finns en ännu enklare formel, men då måste man använda följande idé.

24 86 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. Multiplicera både nämnaren och täljaren i det sista uttrycket nyss med e ix/2. Det förändrar inte uttryckets värde, så S(x) = ei(n+1)x e inx e ix 1 = = (ei(n+1)x e inx )e ix/2 (e ix 1)e ix/2 = = ei(n+ 1 2 )x e i(n+ 1 2 )x e i 1 2 x e i 1 2 x = = sin(n + 1)x 2 sin x. 2 Den sista likheten följer ur uttrycket sin x = eix e ix för sin x i termer av exponentialfunktionen tidigare (Sats 31). Formeln för S(x) är användbar i t ex signalbehandling 2i men här platsar den som ett exempel på samspelet mellan trigonometriska formler och komplexa tal. Exempel 60. Eulers identitet är e πi = 1. Detta eleganta samband knyter ihop fyra fundamentala tal, som kommer från till synes helt olika delar av matematiken. För drivna konspirationsteoretiker är det inte svårt att dra höga växlar på den, men vi hoppar över vad den har med matematisk skönhet att göra och huruvida den är ett bevis på Guds existens och noterar bara att det också mer trivialt är sant att e 2πi = 1 och mer generellt att e x+2πi = e x. 3. Binomiska ekvationer. Vi ska nu studera en polynomekvation med bara två termer, en s k binomisk ekvation. Antag att w C och att n är ett positivt heltal, och betrakta ekvationen z n = w. Hade det handlat om reella tal, så att w = r R, skulle vi ha löst den genom att dra roten ur bägge sidor. Vi hade varit tvungna att skilja på om n är jämnt eller ej, och om r 0, fått lösningarna z = ± n r, om n jämnt z = n r, om n udda Ekvationen z 4 = 1, har sålunda de två reella lösningarna z = ±1, medan z 3 = 1 har den enda reella lösningen z = 1. Situationen för komplexa lösningar är totalt annorlunda. Speciellt så finns det alltid precis lika många lösningar som ekvationens gradtal, och vi

25 3. BINOMISKA EKVATIONER. 87 kan skriva upp dem explicit i polär form. Idén är att skriva w = r(cos θ + i sin θ) på polär form och utnyttja de Moivres sats (Sats 35). Sats 36. Ekvationen z n = r(cos θ + i sin θ), r > 0 har lösningarna ( z =r 1 n cos( θ n + k2π n ) + i sin( θ n + k2πi ) n ) = =r 1 n e ( θ n + k2π n )i, k = 0, 1,..., n 1. Speciellt finns det alltid lösningar, lika många som ekvationens gradtal n. Satsen säger först att alla lösningarna har samma absolutbelopp r 1/n (som för den reella varianten) och sedan att argumentet för en lösning är θ/n adderat med en multipel av ett n:te dels helt varv. Ritar man upp lösningarna i det komplexa talplanet, ligger de alltså som hörnen i en regelbunden n-hörning. (Se figuren nedan.) Bevis. Vi ansätter att i polära koordinater så att enligt de Moivres sats z = s(cos η + i sin η), z n = s n (cos nη + i sin nη), ger polära koordinater för z n. Nu utnyttjar vi att två tal har samma polära koordinater om och endast om deras absolutbelopp är lika, samt deras argument skiljer sig åt med en multipel av 2π. Alltså är z n = w om och endast om Ur detta ser vi att s n = r nη = θ + a 2π, a Z. s = r 1 n η = θ n + 2aπ i, a Z. n Detta verkar ju som detta ger de polära koordinaterna för oändligt många lösningar, en för varje a Z. Men vi vet (enligt en sats i avsnittet om heltal) att varje a Z kan skrivas unikt som a = k + bn där k, b är heltal och resten k = 0, 1, 2,..., n 1. Alltså är a/n = k/n + b och varje η = θ n + 2aπ n i = θ n + 2kπ n i + 2bπ

26 88 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. skiljer sig alltså med en heltalsmultipel 2bπ av 2π från en av lösningarna θ n + 2kπ i där k = 0, 1,..., n 1 n i satsen, och ger alltså samma komplexa tal. Exempel 61. Lösningarna till z 5 = 1 fås direkt ur satsen ovan. Vi har att 1 = 1 (cos 0 + i sin 0) = e 0, och de fem lösningarna är z = cos( 2kπ 5 ) + i sin(2kπ 5 ) = e 2kπ 5 i, k = 0, 1, 2, 3, 4. De är plottade i figuren nedan. 2 2 Πi Π 5 2Π/ Πi 5 e Πi 5 Figur 4. Lösningarna till z 5 = 1 bildar en regelbunden femhörning På återbesök hos komplexa andragradsekvationer. Som en konsekvens av den allmänna teorin för binomiska ekvationer i föregående avsnitt, får vi att en kvadratisk ekvation alltid har lösningar. Vi visar varför i två exempel. Exempel 62. Lös ekvationen z 2 + 4z + 7 = 0. Lösning: Via kvadratkomplettering ser vi att z 2 +4z+7 = (z+2) 2 +3, så att ekvationen är ekvivalent med att w = z + 2 och w = 0. Nu är 3 = 3e iπ, så lösningarna i w till w 2 +3 = 0 w 2 = 3 är dels w = 3e iπ/2 = 3i och dels w = 3e iπ/2+iπ = 3i. Lösningarna till den ursprungliga ekvationen är alltså z = w 2 = 2 ± 3i.

27 Exempel 63. Lös ekvationen z 2 + 2iz 1 2i = ÖVNINGAR 89 Lösning: Kvadratkomplettering ger att z 2 +2iz 1 2i = (z+i) 2 2i, så att ekvationen är ekvivalent med att w = z + i och w 2 2i = 0. Vi ska alltså lösa w 2 = 2i. Nu är 2i = 2e iπ/2, så lösningarna till ekvationen i w är och w 1 = 2e iπ/4 = 2( 1 + i ) = 1 + i 2 2 w 2 = 2e iπ/4+iπ = w 1 = 1 i. Lösningarna till den ursprungliga ekvationen är alltså z = i ± (1 + i) = 1 2i, eller Övningar (1) Skriv på formen a + ib de komplexa tal vars absolutbelopp och argument är a) 2, π/4, b) 1, π, c) 2, 9π/4, d) 1, π/2, e) 1, 2π, f) 1/ 2, π/4, g) 1, 100π. (2) Rita följande komplexa tal i ett talplan och ange argument, absolutbelopp och polär form. a) 17, b) 11, c) i, d) 1 + i, e) i 3 1, f) 3 + 3i (3) Vad är absolutbeloppet av a) cos π 8 +i sin π 2π 2π, b) cos +i sin, c) cos θ i sin θ. (4) Vad är absolutbeloppet av a) e i π 8, b) e i 2π 27, c) e iθ. (5) Beräkna ( i 2 )100. (Att cos(π/3) = 1/2 och sin(π/3) = 3/2 är användbart.) (6) Använd de Moivre s formel för att uttrycka sin 4θ och cos 4θ i termer av sin θ och cos θ (7) Använd Eulers formler för att härleda ett uttryck för sin α cos β, (i termer av andra sinus- och cosinusvärden.) (8) Uttryck sin 4 θ i termer av cos θ, cos 2θ, cos 3θ, cos 4θ. (9) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln π/2 moturs kring origo. I vilket tal övergår 1 respektive 3 + 2i? Och a + bi? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal. (10) Punkterna i det komplexa talplanet vrids vinkeln 5π/6 moturs kring origo och multipliceras med 2. I vilket tal övergår 1 respektive 1+i? Beskriv avbildningen som multiplikation med ett komplext tal. (11) Vad är e z om z är a) 0, b) iπ/2, c) 1 ln 2 + iπ/4, d) iπ, e) 3 i. 2 (12) Bestäm real- och imaginärdelarna av funktionerna

28 90 6. KOMPLEXA TAL: POLÄR FORM, OCH BINOMISKA EKVATIONER. a) x 1 + ix 1 ix, x R, b) x e ( 1+i)x, x R. (13) Visa att om z = x + iy, så är e z = e x. Vad är Arg(e z )? (14) Lös ekvationerna a) z 2 = i b) z 2 (2 + 2i)z 5 10i = 0 (15) Lös ekvationerna (observera att du har tillgång till 2 metoder!) a) z 2 = i, b) z 2 = 1 + i. (16) Lös följande ekvationer och rita ut rötterna i det komplexa talplanet a) z 3 = i, b) z 3 = 1 + i, c) z 5 = 4i.